49

E

Таким образом, уровень Ферми — это уро-

вень, совпадающий с уровнем максимальной

EF

энергии, которой могут обладать электроны при

T = 0 K. При любой другой температуре, отлич-

ной от нуля, это энергетический уровень, вероят-

ность заполнения которого равна 1/2.

0

При определении среднего числа частиц, нахо-

Рисунок 3.9. Распределение

дящихся при данной температуреТ на энергети-

электроноввметаллеприT = 0 K

ческомуровнеЕ, функцияраспределенияФерми-Ди-

ракаиспользуется применительно кметаллами квырожденнымполупроводникам. Ес-

ли же определяется вероятность

T = 0K

kT2

kT1

заполнения фермионами уровней

FФ.Д.(Е,Т)

зоны проводимости полупровод-

1

T1

ника, то можно использовать рас-

пределение Максвелла–Больцма-

1/2

T2

на, посколькувэтомслучаечисло

kT1

энергетических уровней взоне

значительно превышает возмож-

En En+1

EF

kT2

E

ное число частиц в ней и специ-

Рисунок 3.10. Распределение Ферми-Дирака

фикафермионовнепроявляется.

при T > 0;T2 > T1

Вероятность того, что энер-

гетический уровень E занят не электроном, а дыркой, будет равна 1 – f(E,T).

3.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 3

Пример 1

Уровень Ферми полупроводника находится на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстоянии 3kТ выше дна зоны проводимости, заняты электронами? Какова вероятность того, что уровень у потолка валентной зоны содержит дырки, если ширина запрещённой зоны 1,1 эВ?

Решение Зонная структура полупроводника для данного случая показана на рис. 3.11.

Для электронов проводимости (или дырок) правомерно использовать как распределение Максвелла-Больцмана, так и распределение ФермиДирака, поскольку при E >> EF, единицей в знаменателе fФ.Д. можно

50

пренебречь и fФ.Д. → fМ.Б.

−1

E

3kT

Ε −Ε

fФ.Д. (E,T) = exp

kΤ

F

+1 .

EC

0,3 эВ

EF

Имеем:

1,1 эВ

Ε −ΕF = 3kT −0,3 эВ= 0,3 1,6 10−19 +3kT (Дж) .

При

Т = 2 9 0 K

разность

EV

Ε −ΕF = 4,8 10−20 +1,2 10−20 =

6 10−20 (Дж) .

Рисунок3.11. ПояснениякПримеру1

Тогда

[

]

f

Ф.Д.

(E,T) =

exp (14,99) +1 −1 =3,08 10−7 .

Для второй части задачи имеем

Ε −ΕF = (−1,1 эВ) −(−0,3 эВ) = −0,8 эВ= −1,28 10−19 (Дж) .

Вероятность заполнения электронами уровня у потолка валентной зоны: fФ.Д. =[exp(−31,98) +1]−1 = 1,286 10−14 +1 −1 ≈1.

	Для дырок соответствующая вероятность будет										равна
	1−f	Ф.Д.	=1−	1		=		1,29 10−14		≈1,29	10−14 .
				1,29 10−14 +1			1,29 10−14 +1

3.1. На какое количество подуровней расщепляется р – уровень изолированного атома при образовании кристалла? Привести рисунок.

3.2. Кристаллическое вещество имеет кубическую структуру. Постоянная решётки a = 0,25 нм. Для образца объёмом 1 см3 вычислить: а) число уровней в каждой энергетической зоне; б) расстояние между уровнями в энергетической зоне шириной 1 эВ.

3.3.	Кристалл имеет кубическую структуру. Постоянная решётки
a = 4Å .	Определить расстояние между уровнями в энергетической зоне

шириной 1 эВ. Как изменится среднее расстояние между уровнями если первоначальный объём кристалла, равный 1 см3, уменьшится в 10 раз?

3.4.	Решить задачу, рассмотренную в примере 3 темы 2, в предпо-
ложении, что в потенциальной яме находятся три бозона.
3.5.	Решить	задачу,	рассмотренную в примере 3 темы 2,
в предположении, что в потенциальной яме находятся три фермиона.
3.6.	Найти	полную	концентрацию ионизированных примесей Nn

в полупроводнике n – типа, если концентрация компенсирующих акцепторов Na,

51

аконцентрация основных носителей заряда n (задачу решить в общем виде).

3.7.Вместо распределения Ферми-Дирака используют распределение Максвелла-Больцмана. Определить относительную ошибку такой замены при Е – ЕF = kT и Е – ЕF = 4kT.

3.8.Показать, что вероятность того, что электрон в кристалле обла-

дает энергией, превышающей энергию Ферми ЕF на величину Е, в точности совпадает с вероятностью отсутствия электрона в состоянии, энергия которого меньше значения ЕF на ту же величину Е.

3.9.Энергия Ферми для кристалла серебра равна 5,5 эВ. Для серебра при температуре, немного меньшей точки плавления 1230 K, найти вероятность того, что электрон имеет энергию 5,0 и 5,6 эВ.

3.10.Во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,1 эВ ниже уровня Ферми и температура изменится от 200 до 500 K?

3.11.Вычислить, во сколько раз изменится вероятность заполнения

электронами в металле	энергетического		уровня, расположенного
на 0,1 эВ выше ЕF, если температуру металла повысить с 300 до 1000 K.
3.12. Кристаллическое	вещество имеет		кубическую структуру.
Постоянная решётки a = 0,45		нм. Для образца объёмом 1 см3 вычис-
лить число уровней в каждой		энергетической зоне.

3.13.Используя распределение Ферми-Дирака, рассчитать при 300 К вероятность заполнения электронами энергетического уровня, лежащего выше уровня Ферми на: а) 0,1 эВ; б) 1,0 эВ и ниже уровня Ферми на 0,1 эВ.

3.14.В образце кремния n – типа при комнатной температуре уровень

Ферми равен 0,244 эВ; принимая энергию активации донорного уровня

Εc −Εd =50 мэВ, определить вероятность того, что донорный уровень занят.

3.15.Для предыдущей задачи определить относительную долю ионизированных атомов с незанятым донорным уровнем.

3.16.Определить положение уровня Ферми в образце кремния, легированного атомами фосфора, если Εc − Εd = 0,044 эВ и при Т=153 К доля

ионизированных атомов примеси составляет 95%.

3.17.Определить температуру, при которой в твёрдом проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%.

3.18.В образце германия, легированного атомами мышьяка, доля ионизиро-

52

ванных атомов примеси при Т = 150 K составляет 90%. Определить относительную долю ионизированной примеси при Т = 50 и 300 К, если Εc −Εd = 0,05 эВ.

3.19.Ширина запрещённой зоны чистого полупроводника равна 1 эВ. Вычислить вероятность заполнения уровня вблизи дна зоны проводимости при 300 К. Изменится ли эта вероятность, если на полупроводник действует электромагнитное излучение: а) с длиной волны 1,0 мкм; б) с длиной волны 2,0 мкм.

3.20.Уровень Ферми расположен на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенныенарасстоянии3 эВвышедназоныпроводимости, занятыэлектронами?

3.21.В чистом германии ширина запрещённой зоны равна 0,72 эВ. Насколько надо повысить температуру по сравнению с 300 К, чтобы число электронов проводимости увеличилось в 2 раза?

3.22.Ширина запрещённой зоны полупроводника равна 0,72 эВ. Какова вероятность того, что уровень у потолка валентной зоны содержит дырки, если при

Т= 300 K уровень Ферми находится на 0,07 эВ ниже дна зоны проводимости.

3.23. Уровень Ферми полупроводника находится на 0,01 эВ выше потолка валентной зоны. Рассчитать вероятность появления дырки на верхнем уровне валентной зоны при 300 К и при 80 K.

3.24.Уровень Ферми полупроводника находится на 0,01 эВ выше потолка валентной зоны. Определить вероятность нахождения электрона на дне зоны проводимости при 300 К, если ширина запрещённой зоны полупроводника 0,67 эВ.

3.25.Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня, расположенного на 10kТ выше уровня Ферми. Как изменится вероятность заполнения этого уровня электронами, если температуру увеличить в 2 раза?

3.26.В чистом германии при температуре 300 K имеется 4,4 1028 ато-

мов на 1 м3 и 2,3 1019 электронов проводимости на 1 м3. Чему равна концентрация дырок и электронов проводимости при этой температуре в примесном германии, содержащем 1 атом донорных примесей на 1010 основных атомов и такую же концентрацию акцепторных примесей?

3.27.В кремнии, легированном атомами бора, доля ионизированных атомов примеси при Т = 150 K составляет 85%. Определить относительную долю ионизированной примеси при Т = 50 и 300 К, если Εc −Εa = 0,1 эВ.

3.28.В образце кремния n – типа при комнатной температуре уровень Ферми равен 0,44 эВ; принимая энергию активации донорного уровня