pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

О Решение: Рассмотрим функцию /(х)			= arctgx. По формуле (24.4)
имеем:
arctg(x + дх) ~ arctgx + (arctgx)' · дх,
т. е.				Лх
arctg(x + дх) ~ arctgx + -				-- •
		~	1	+х2
Так как х + Лх = 1,05, то при х = 1 и Лх = 0,05 поJiучаем:					•
0,05			7Г
arctgl,05 ~ arctgl + -	-	= - + 0,025 ~ 0,810.
1	+ 1		4
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не
превышает величины М ·(Лх)2 , где М -			наибольшее значение l/"(x)J
на сегменте [х;х + Лх) (см. с. 196).

Прuмер :ц.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении

на Луне за 10,04 <"'от начала падения. Уравнение свободного падения

тела Н = V't2 9л = 1,6 м/с2 •

О Решение: Требуется найти H(l0,04). Воспользуемся приближенной формулой (ЛН ~ dH)

H(t + дt) ~ H(t) + H'(t) · Лt.

При t = 10 с и Лt = dt = 0,04 с, H'(t) = 9лt, находим
H(l0,04) ~	1,6 · 100	+ 1,6 · 10 · 0,04 =80 + 0,64 =80,64 (м).	8
	2

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т =

= 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно

кинетическую энергию тела ( Ек = m;2 ; Ек(10,02) ~ 1004 (Дж)).

24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х -

независuма.R nepeмeнtta.R. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(x) dx

есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции у = f(x) называется

се вторым дифференv,иало.м (или дифференциалом второго порядка) и

обозначается d2y или d2 f(x).

Итак, по определению d2y = d(dy). Найдем выражение второго

дифференциала функции у= f(x).

Так как dx = Лх не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постояннr~rм:

d2 y = d(dy) = d(J'(x) dx) = (f'(x) dx)' · dx = J"(x) dx · dx = f"(x)(dx) 2 ,

190

т. е.	2 .	(24.5)
d2 y = f"(x)dx

Здесь dx2 обозначает (dx) 2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по­

рядка:

И, вообще, дифференциал п-го порядка есть дифференциал от

дифференциала (п - 1)-го порядка: d:'y = d(dn- 1 y) = j(n)(x)(dx)n.

Отсюда находим, что J(n)(x)					= :f;K. В частности, при п = 1, 2, 3
соответственно получаем:								= ~:~,
dx	f	"(	х	) =		dx2'	f/11(.i;)
J'(x) = dy'						d2y

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее

дифференциала соответствующего порядка к соотве1ствующей степени

дифференциала независимой переменной.

li! Отме'lим, что все приведенные выше формулы справедливы 1оль-

ко, если :r - независимая переменная. Если же функцию у= f(x),

где х - функция от какоiL-то другоii. независимоiL nеременноii., то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем

это на примере дифференциала в'Iорого порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(u ·v) =

= vdu + udv), получаем:

d2 y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + J'(x) ·d(dx) = J"(x) dx ·dx + f'(x) ·d2 x,

т. е.	+ J'(x) ·d2x.	(24.6)
d2 y = J"(x) dx2
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся,		что в случае

сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя­

ется: появляется второе слагаемое f'(x) · d2x.

Ясно, что если х - независимая переменная, то

d2 x = d(dx) = d(1 ·dx) = d:r ·d(I) = dx ·О= О

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

Пример 24. 6.	Найти d2y, если у = е3х и х - независимая пере­
менная.
Q Решение: Так как у' = Зе3х, у" = 9е3х, то по формуле (24.5) имеем
d2y = 9езх dx2.	8
Пример 24. 7.	Найти d2y, если у = х2 и х = t3 + 1 и t - незави­
симая переменная.

191

О Решение: Используем формулу (24.6): так как
у'= 2х, у11 = 2,	dx = 3t2 dt, d2 x = 6tdt2 ,
то
d2 y = 2dx2 + 2х · 6t dt 2 = 2(Зt2 dt) 2 + Z(t3 + 1)6t dt 2 =
=18t4 dt2	+ 12t4 dt2 + 12t dt2 = (30t4 + 12t) dt2 .
Другое решение: у = х2 , х :::::: t3 + 1. Следовательно, у == (t3 + 1)2 .
Тогда по формуле (24.5)

т. е.	= (З0t4 +12t)dt2 .	•
d2 y

§ 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ

ПРОИЗВОДНЫХ

25.1.Некоl"орые l"еоремы о Аифференцируемых

функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при­

кладное значение.

Теорема 25.1 (Ponnь). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка при­ нимает одинаковые значения /(а) = f(b), то найдется хотя бы одна точка сЕ (а;Ь), в которой производная f'(x) обращается в нуль, те.

/'(с) =О

Q Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то она дости­

гает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по

теореме 19.4), соответственно, М и m. Если М = т, то функция f(x) постоянна на [а; Ь] и, следовательно, ее прои-зводная f'(x) =О в любой точке отрезка [а; Ь].

Если М -f:. т, то функция достигает хотя бы ОДНО из значений М или т во внутре11:нрt/, точке с интервала (а; Ь), так как f(a) = f(Ь).

Пусть, например, функция принимает значение М в точке х =

= с Е (а; Ь), т. е. j(c)		= М. Тогда для всех х			Е (а; Ь) выполняется
соотношение			f (с) ;;:: f (х).		(25.1)
Найдем производную f'(x) в точке х =с:
!	;(	) _	.	f(c + дх) - !(с)
		с -	1lffi	дх	.
			дх--то

192

у

уу

_ш	м	-1	о1
m		1	1	m'1
1		1	:m 1
1		1	1
о а с ь х о а			с ь х о а С1	с2 ь х

Рис 139 Рис 140 Рис 141

В силу условия (25.1) верно неравенство /(с+ дх) - !(с) ~ О. Если д:г > О (т. е. дх --+О справа от rочки х =с), то

f(c + Дх) - f(c) ~О и поэтому f'(c) ~О.

дх

Если дх < О, то

f(c + л;; -f(c) ~о и !'(с) ~о.

Таким образом, /'(с)= О.
В случае, когда /(с)= т, доказательство аналогичное.	8

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у= f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллель­ на оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.

Теорема 25.2 (Коши). Если функции f (х) и ip(x) непрерывны на

отрезке (а;Ь1. дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем r.p'(x) '1- О

для х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка r Е (а; Ь) такая, что

выполняется равенство f(b)	-	f(a)	= f'(c)
ср(Ь)	-	ср(а)	ср1 (с)

Q Отметим, что ср(Ь)-<р(а) i:- О, так как 11 нро'lивном случае по теореме

Ролля нашлась бы точка с, такая, что ip'(c) =О, чего не может быть по

условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

f (Ь) - j(a)

F(x) = f(т) - f(a) - ср(Ь) _ ср(а) (ip(x) - tp(a)).

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от­

резке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является

7 Конспект лекuик по высшеи математике Полный курс

193

линейной комбинацией функций f(x) и <р(х); на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a) = F(b) =О.

На основании теоремы Ролля найдется точка х = с Е (а; Ь) такая,

что F'(c) =О. Но F'(x) = f'(x) -	~~:~::::~~:~<р'(х), следовательно,
F'(c) =/'(с)-	~i:~=~~:~1.р'(с) =О.
Отсюда следует
f'(c) = f(Ь) - f(a) <р'(с) и f'(c)		f (Ь) - f (а)	•
1.р(Ь) - 1.р(а)	<р'(с)	1.р(Ь) - 1.р(а).

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]. дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство

f(b) - f(a) = f'(c)(b - а).

(25.2)

О Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х) = х, находим

<р(Ь) - <р(а) = Ь - а, <р'(х) = 1, <р'(с) = 1.

Подставляяэти значения в формулу ~ш =: ~t:~	= ~;~~~, получа-
ем f(bl =~(а) = f'(c) или f(b) - f(a) = f'(с)(Ь - а).	8

liJ Полученную формулу называют форму.п.оti. Лагракнса или

форму.п.оil, о конечном npupaщeнuu: приращение дифференци­

руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно­

женному на значение производной функции в некоторой внутренней

точке этого отрезка.

у			y=f(x)
		1
		:J(b)-f(a)
О а	с	Ь	х
	Рис. 142

Теорема Лаграюка имеет про­ стой геометрический смысл. Запи­

шем формулу (25.2) в виде

f(b)-f(a) =!'(с),

Ь-а

где а<с<Ь. Отношение f(b)-f(a)

Ь-а

есть угловой коэффициент секущей

АВ, а величина f'(c) - угловой ко­

эффициент касательной к кривой в

точке с абсциссой х =с.

194

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:

на графике функции у= f(x) найдется точка С(с; f(c)) (см. рис. 142),

вкоторой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото­

ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Q Пусть f'(x)			= О для \:/х Е (а; Ь).		Возьмем произвольные х1		и х2 из
(а;Ь)	и пусть х1		< х2. Тогда по теореме Лагранжа :Эс Е (х1 ;х2)				такая,
что /(х2) - f(x1)				= f'(c)(x2 - х1). Но по условию f'(x)		=О, стало быть,
f'(c)	=	О, где Х1		< с < Х2. Поэтому имеем f(x2) -		f(x1) =	О, т. е.
f(x2 )	=	f(x 1 ). А так как х1 и х2 -			произвольные точки из интервала
(а; Ь), то Vx Е (а; Ь) имеем f (х) =с.							•

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на

некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян­

ное слагаемое.

Q Пусть !{(х)		= fHx) при х Е (а;Ь). Тогда (/1(х) - f2(x))' = !{(х) -
-	f~(x) =О. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция /1 (х) -
-	f2(x) есть постоянная, т. е. fi (х) - f2(x) =С для \:/х Е (а; Ь).				•
	Пример 25.1. Доказать, что arcsinx+arccosx =~,где х Е [-1; 1].
О Решение: Пусть f(x)			= arcsinx + arccosx. Тогда \:/х Е (-1; 1) имеем
f'(x) = h		2 + h		2 =О. Отсюда следует, что f(x) =С, т. е.
	1- х	1 -	х

arcsinx + arccosx =С. Положив х =О, находим О+~= С, т. е. С=~·

Поэтому arcsin х + arccos х = ~. Это равенство выполняется и при

х = ±1 (проверьте!).	8
Аналогично доказывается, что arctgx + arcctgx = ~-
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему
Лагранжа к отрезку [х; х + Лх] (Лх >О), будем иметь
f(x + Лх) - f(x) = f'(с)Лх.	(25.3)
Каждое число с Е (х; х + Лх) можно записать в виде с= х + ВЛх,
где О < (} < 1 (действительно, х < с < х + Лх ==> О < с -	х < Лх ==>

==>О< сЛхх < 1; положим с;;.: =(}==>с= х + ВЛх). Формула (25.3)

примет вид

f(x + Лх) - f(x) = !'(х + ВЛх)Лх,

где О<(}< 1.

195

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли­

женного равенства ду ~ dy. Сделаем это, считая, что функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f 11 (x):

ду -	dy = (f(x + дх) - f(x)) - J1(х)дх = f'(с)дх - J'(х)дх =
	= (!'(с) - J'(х))дх = /"(с1)(с - х)дх,
где с1	Е (х; с) (рис. 143).

Итак, ду - dy = /"(с1)(с - х)дх. Пусть М = ma.x J/"(x)J. Так

[х,х+дх]

как Jc-xJ < дх, а /"(с1)::::;; М, то получаем оценку Jдy-dyJ::::;; МJЛх/2 .

ХС1 с х+Лх

Лх :го с х х

Рис. 143 Рис. 144

25.2. Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия нсопределенностей вида 8и ~, ко­

торый основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лоnиталн раскрытия неоnределенностей

ВИАёt s). Пусть функции ! (х) и <р(х) непрерывны и дифференци-

руемы в окрестности точки х0 и обращаются в нуль в этой точке:

J(x0 ) = <р(х0) = О. Пусть <р1 (х)		-:/:- О в окрестности точки хо. Если
существует предел lim	f:(x) = l, то lim			J(x)	= lim	f;(x) = l.
x-txo	1.р ( Х)	x-tx0		<р(Х)	x-txo	<р (Х)
Q Применим к функциям /(х) и <р(х) теорему Коши для отрезка [х0; х],
лежащего в окрестности точки х0 . Тогда				f(x) -	f(xo~	= 1;(с)	где с
				<р(х) -	<р(хо	1.р (с)'
лежит между х0 и х (рис. 144). Учитывая, что J(xo)						= 1.р(хо)	= О,
получаем	f(x)	!'(с)
							(25.4)
	<р(х)	= <р'(с) ·
При х-+ х0, величина с также стремится к х0; перейдем в равен­
стве (25.4) к пределу:
lim J(x)		= lim	f'(c).
x-txo 1.р(Х)		c-txo	1.р'(С)

196

так как

.

f'(x)

=

l

, то

li

iJ!?l

=

l

.

П

1·

ftx)

=

l

.

8

lнn

'(

Х

)

m

'(

С

)

озтому

im

)

z-tzo rp

c-tzo rp

z-t:co ip Х

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по­

следний существует.

Заме'Чанuя: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции /(х)

и rp(x) не определены при х

= х0

, но

lim

f(x)

= О и

lim ip(x) = О.

x-tzo

х-+"о

Достаточно положить /(хо) =

lim

/(т) =О и rp(x0 ) =

lim ip(x) =О.

x-t:co

x-t:i:o

2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х --+ оо. Дей­

ствиТt'льно, положив х = 1, получим

z

lirn f (.:с)

= liш ! (~)

= lim

(/ ( ~))' = lim

/' ( ~)(- ~)

= liш !'(х) .

x-too ip(x)

z--;O ip(~)

z--;O

(ip(~))'

z-tO ip'(~)(-fr)

z-too ip'(x)

3. Если производные f'(x)

и ip'(x) удовл('творяюттем же условиям,

что и функции /(х) и rp(x),

теорему 25.4 можно применить еще раз:

lirn

f(x)

= lim

f'(x)

= lim

f"(x)

"-+хо ip(x)

х-+"о <р'(х)

:c-txo rp"(x)

и т.д.

Прu.мер 25.2. Найти lim х - 1 .

:c-+l

х 1nx

•

р

х-+1 xlnx

[~]

z-tl (xlnx)'

х-+1lnx+1

(!,.

ешение:

1"

х -1

=

=

.

(х -

1)'

=

.

1

= 1.

~

im

~~

l1m

lш1

Прwи.ер 25.З. Найти lim

1 -

соsбх

х-+О

2х2

Q Решение:

lim 1 -

соsбх = (О] =

lim 6sin6x = (О]

=

~ lim 6cos6x = 9_

8

ж--+0

2х2

О

ж--+О

4х

О

2 x-tO

1

Теорема 25 .4 дает возможность раскрывать неопределенность вида

о

0. Сформулиру~м без доказательства теорему о раскрытии неопреде-

ленности вида - .

00

197

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытиR неоnрЩ\еленностей

вида .00 ).

00

Пусть функции f(x) и rp(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест­ ности точки х0 (кроме, может быть, те.чки х0), в этой окрестности

lim f(x) =	lim rp(x) = оо, ip'(x) -::/:- О. Если существует предел
х--+хо	х--+хо

lim 1;(х), то

lim

f(x)

= lim

1;(х).

х--+хо 'Р (Х)

х--+хо rp(Х)

x--+.i:o

'Р (Х)

Пример 25.4.

Найти Хlim--+~

ttgg З5x.Х

О Решение:

lim

tgЗx

= [оо]

= lim

3 · cos

2 5х = ~ lim

1+cos10х =

[~]

=

х-+~

tg5x

оо

х-+~ соs2 Зт·5

5.r+j

l+cos6x

= ~ lim

-10 sin 10х = lim

sin 10.r = [О]

=

lim lOroslOx = ~-

5 х--+~ -

6 sin 6х

х--+~

sin 6х

О

x-+j 6 ros 6х

3

2-й способ:

lim

tgЗx

= [00 ] [ х -t _! - t

]

=

х-+~

tg5x

00

-. 0

•

= lim tga11"+3t) =lim ctg3t = lim tg5t = ~-

t--+0 tg( ~11" + 5t)

но ctg 5t

но tg Зt

3

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенно­

стей вида 8и ~, которые называют основнЪtм~. Неопределенности

вида О · оо, оо -		оо, 100 , 00°, о0 сводятся к двум основным видам путем
тождественных преобразований.
1. Пусть f(x) -+О, rp(x) -+ оо при х-+ Хо. Тогда очевидны следую­
щие преобразования:
lim (!(х)ср(х)) =(О.оо] = lim			f~x)		= [О]	(	или	lim ip~x)	= [~J).
х-+хо		х--+хо	=		О			х-+хо 7(Х)	00
			'{!\Х)
Например,
lim tg ~(2-		х) = (оо ·О]= lim		2 -"~ =		(0)
х--+2	4	z--+2		ctg 4		0

198

2. Пусть f(x) --+ оо, <р(х) --+ оо при х--+ х0. Тогда можно поступить

так:

lim (/(х) - <р(х))

= (оо -

оо] =

x-txo

= lim (+ ---i-)

1

1

[аО].

= lim

iP<XJ

-

[ГхУ

=

X-tx 0

ТГхJ

<р(х)

x-txo <р(х) 7Гх)

На практике бывает проще, например,

.

(

1

1

)

= [

x-1-lnx

[О]

т-+1

lnx

х -

1

- ] = l~ ln х

· (х -

1) =

О

=

11m ----

00

00

i

- 1

[о]

=~~

~

i

=~~ ~ +ln Х

= О

1 х+ _!._

= 2·

х

~

~

3.

Пусть или f(x) --+ 1 и <р(х)

--+ оо,

иJш f(x) --+ оо и ip(:r) --+ О,

или f(x)

--+О и <р(х)

--+О при т --+ х0. Для нахождения пpeдPJiii вида,

lirn f (х)"'(х)

удобно снач1iJ1а прологарифмировать выражение

J,-tжo

А= f (х)"'(х).

При.мер 25.5.

Найти

1

lim (cos 2х) ;-2".

x-tO

О Решение: Имеем неопределенность вида 100 • Логарифмируем выра-

				1	получим: lnA = -!z lncos2x. Затем находим пре-
жение А= (cos2x);2",
дел:
.		А	.	lncos2x	[О]	.	1	.	tg2x
	1Il						cos 2x(-sin2x)2
1lffi			=1IШ	х2	::: -	=1lffi	2х	=-21lffi	-- =
х-+0			х-+О		О	ж-tО		x-tO	2х

=-2,т. е. ln lim А=-2. Отсюда lim А=е-2 , и lim(cos2x);\ =е-2 . е

х-->0	х-->0			х-->О
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой»
формулой
11m	<p(x)lnf(x)	= ехр	(	lim <р(х) ln J(x)	)
lim f(x)"' (х) = е•--+•о
x-txo				x-txo

(использовано основное логарифмическое тождество: f"' = e1 fV'). n

Пример 25.6.

Найти lim(!)tgx.

х-->0 ж

О Решение:

1 )tgx

= [оо0

1

ln !

lim -

] = ~xp(lim tgxln-)

= exp(lim -"'-) =

ж-tО ( Х

ж-->0

Х

ж-->0

ctg Х

.

х(-Ь})

= ехр

(.

х

(sinx)

2 )

=е

01

=е

0

= 1.

е

=ехр ( 11m

1

х

11m

--

х-;О

- sin2

ж-+0

Х

199