pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Так как -1Г < arg z ~ 1Г, то из формулы tg ip = 'll получаем, что

					х
у			arctg 'll		для внутренних точек
			х		1, N четвертей,
zз=i
z2=-З	z1=2 х argz =		arctg '11..	+'7f	для внутренних точек
			х		11 четверти,
			arctg 'll	- 1Г	для внутренних точек
			х		111 четверти.
		Если точка z лежит на действительной или мни­
	Z4 =-8i	мой оси, то arg z можно найти непосредственно
		(см. рис. 162). Например, argz1 =О для z1 = 2;
Рис	162	argz2 = 1Г для z2 =			-З; argzз = ~для zз = i; и
		argz4 =-~для Z4 = -8i.
Используя формулу Эi1.лера
		1 ei<p	= cos ip + zsin ip, 1

~комплексное число z = r (cos r.p + i sin r.p) можно записать в так называемой nокаэаmельноil (или эксnоненцuальноil) форме

z = re1'P, где r = lzl - модуль комплексного числа, а угол ip = Arg z =

=argz + 2kn (k =О, -1, 1, -2, 2, ... ).

Всилу формулы Эйлера, функv,w~ е11{) периодическая с основным периодом 21Г. Для записи комплексного числа z в показательной форме,

достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.

считать r.p = arg z.

Пример 27.1. Записать комплексные числа z1 = -1 + i и z2 = -1

в тригонометрической и показательной формах.
О Решение: Для z1 имеем			argz = arctg(~1) + 1Г = -~ +7Г = ;,
lzl = r = J(-1) 2 +12	= Ji,
							3
т. е. ip = 34.Поэтому
.	Гn(		37Г	.	37Г)		Гn • 3"
-1 + z = v 2		cos 4		+ i	sin 4	=	v 2е т.
Для z2 имеем
r = J(-1)2 + 02			= 1,	argz = arg(-1) = 1Г,
т. е. r.p = 1Г. Поэтому -1 = cos 1Г + i				sin 1Г = е"'.			•

220

§ 28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

28.1.Сложение комплексных чисел

~Суммоii. двух комплексных чисел z1 = Х1 + iy1 и z2 = Х2 + iy2

называется комплексное число, определяемое равенством

1z1 + z2 = (х1 + х2) + i(y1 + Y2). j

(28.1)

Сложение комплексных чисел обладает nереместuтельным

(коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойст-

вами:	+ Z2	= Z2 + Z1,
Z1
(z1 + z2) + zэ		= z1 + (z2 + zэ).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 163).

Непосредственно из рисунка видно, что lz1 + z2I :::;;			lz1I + lz2I· Это
соотношение называется неравенством треугольника.
у
		у
о	х	о	х
Рис 163		Рис. 164

28.2.Вычитание комплексных чисел

~Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз­

ностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое ком­

плексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т. е. z = Z1 - Z2' если z + Z2 = Z1.

Если z1 = х1 + iy1, z2 = х2 + iy2, то из этого определения легко

получить z:

(28.2)

Из равенства (28.2 следует, что геометрически комплексные числа вы­

читаются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что lz1 - z2I ~ lz1J - lz2J. Отме-

тим, что		= J(x1 -	х2)2 + (У1 -	У2)2 = d,
li\	lz1 - z2I
	т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию

d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство lz-2il = 1 определяет на комплекс­

ной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0 = 2i, т. е. окружность с центром в z0 =2i и радиусом 1.

221

28.3. Умножение комплексных чисел

~Произведением комплексных чисел z1 = Х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2

называется комплексное число, определяемое равенством
/ z = z1z2 = (х1х2 - У1У2) +4(х1у2 + Y1xz). /	(28.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
	(28.4)
Действительно, i 2 = ii = (О+ li)(O + li) = (О - 1) + i(O +О)	= -1.

Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально

путем перемножения двучленов х1 + iy1 и х2 + iy2:

(х1 + iy1)(x2 + iy2) = Х1 Х2 + Х1iy2 + iy1x2 + iy1iY2 =

= Х1Х2 + i2Y1Y2 + i(X1Y2 + У1Х2) = Х1Х2 -		У1У2 + i(X1Y2 + У1Х2).
Например,
(2 - 3i)(-5 + 4i) = -10 + 8i + 15i - 12i2 =	-10 + 23i + 12 = 2 + 23i.
Заметим, что zz = (х + iy)(x - iy) = х2 + у2	-	действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче­

тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

		Z1Z2 =	Z2Z1,
		(z1z2)zз =	z1 (z2zз),
		z1(z2 + zз) = z1z2 + z1zз.
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
	Найдем произведение комплексных чисел z1 = r 1 ( cos <р1 + i sin <р1)
и z2	= r2(cosip2 + isin<p2), заданных n тригонометрической форме:
z1z2 = r1 (cos <р1 + i sin <p1)r2 (cos <р2			+ i sin <р2) =
= r1 r2 (cos <р1 cos <pz		+ i sin <р1 cos <р2	+ i cos <р1 sin <р2 - sin <р1 sin <р2)	=
=	r1 r2 ((cos <р1 cos <р2	- sin <р1 sin <р2) + i(sin <р1 cos fP2 + cos <р1 sin <р2))		=
		=r1r2(cos(<p1 +<р2) +isin(<p1 +<р2)),

т. е. / z1z2 = r1r2(cos(<p1 + <р2) + isin(<p1 + <р2)). /

liJ Мы показа.ли, что nри умно:нсении комплексных чисел их модули nеремни.нсаюmс.я, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множите­

лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то

/ zn = (r(cos <р + i sinip))n = rn(cosn<p + i sin n<p). \

(28.5)

~ Формула (28.5) называется формулоfi. Муавра.

Пример 28.1. Найти (1 + v13i) 9 .

222

О Решение: форме:

Запишем сначала				число z = 1 + v'Зi в тригонометрической
r = J1	+ (v'з)	2					v'з
			= 2;		arg z = arctg - -				===>
				z= 2(cos			1		7Г)
		7Г				7Г . .
===>	arg z = З'					3	+isш	3		.

По

формуле

Муавра

имеем

z

9

=

(1

+

v'зi)

9

= 2	( cos9~	+ i	sin9~) =
9
		9	(cos 37Г + i	siп 31Г)
	= 2

=

2

9(

-1)

=

-512.

8

28.4.

Деление

комплексных

чисел

~

Деление определяется как действие, обратное	умножению. Часm­
Н'Ьl.М двух комn.11.ексных -ч.uceJ1. z1 и z2 =f.	О называется ком­

плексное	число z, которое,
т. е. ~ = z, если z2z = z1.
Z2				= х1
Если	положить z	1
раненства (х2 + iy2)(x			+ iy)

будучи

+ iy1,

= х1 +

умноженным

z2	= х2 + iy2
iy1	следует

на =f. О,

z	2	,
	z

дает число

= х + iy, то

z	1	,
иэ

{

ХХ2 ху2

-уу2 + ух2

= =

Х1, Yt·

Решая систему,

найдем

значения

х и

у:

Таким

образом,

На

практике

частное

двух

комплексных

чисел

находят

путем

умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное

телю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

знамена­

Пример 28.2.		Выполнить				деление			1	+ 3.i.
									2	+i
О Решение:	1 + Зi	=	(1	+ Зi)(2	-		i)	2-i+6i+3
	2+i		(2	+i)(2	-		i)			4+1

5

+ 5

5i

1

+ i. •

223

Для тригонометрической формы комплексного числа формула де­

ления имеет вид

ri (cos rp1	+ i sin re1)	ri (	(	'Р1 -	)	.	. (	'Р2	))
r2 (cos re2	. . ) = -		cos		re2	+ i	sш re1 -		.
	+ i sш rp2	r2

liJ Прu iJeлeнuu комплексных чuсел их модули, соответст­

венно, дел.яте.я, а аргументы, соответственно, вычита­

юmс.я.

28.5. Извлечение корнеi.1 из комплексных чисел

Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обрат­

ное возведению в натуральную степень.

~Корнем n-iJ. степени из комплексного числа z называется

комплексное число w, удовлетворяющее равенству wn = z, т. е.

Vz = w, если wn = z.	а w = р(cos (} + i sin О), то, по
Если положить z = r(cos rp + i sin rp),
определению корня и формуле Муавра, получаем
z = wn = pn(cosnO + isinnO) = r(cosrp + tsinrp).
Отсюда имеем pn = r, п(} = rp + 2nk, k	= О, -1, 1, -2, 2, ... То есть
(} = rp + 2nk и р = Vr (арифметический корень).
n
Поэтому равенство Vz = w принимает вид
Vr (cos <р + i sin rp) = Vr (cos rp +	2	1Р +	2
	7r k + i sin		7r k ) ,
п		п
k = О, 1, ... , n -	1.

Получим n различных значений корня. При других значениях k, в силу

периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада­

ющие с уже найденными. Так, при k = п имеем

Итак, для любого z-::/- О корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных значений.

Пример 28.З. Найти значения а) И= w; 6) А= w.

224

О Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче­

ской форме: i = 1 ( cos ~ + i sin ~). Стало быть,

зr:

3

7Г

11"

зг.(

Е2 + 27Гk

!!.2 + 27Гk)

vi=

cos

2

+isin 2 ==

vl

cos

3

+isin

3

,

k=0,1,2.

При k = О имеем

1Г

. • 11"

vГз

.1

w0 = гоsб +~sщб

= 2

+i2;

при k = 1 имеем

4'i = cos

.!!: + 27Г

.!!: + 27Г

57Г

571"

v13

1

2

+ i sin Т = cos б + i sin 6

= - 2 + i

2;

3

при k = 2 имеем

9; . .

9;

37Г .

. 371"

.

w2 =

соsЗ +isш 3

= cos

2

+isш 2

= -i.

б) Снова запишем подкоренное выражение в три!'ОномРтриЧf'<'КОЙ

форме:

-1 = cos 7Г + i

sin 7Г.

Поэтому

г-:;-

.

11"

+ 2nk . .

7Г + 27rk

k = 0,1.

v-1=VCOS7Г+ZSШ7Г=COS

2

+zsш

2'

При k = О получаем (A.lo = cos ~ + i sin ~ = i,

а при k

= 1 получаем

UIJ = cos з; + i sin з; = -i. Таким образом, А= i

и А= -i. •

....

Глава Vll. НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ

1Лекции 25-28 J

§29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

29.1.Понятие неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении решается задача: по данноiJ,

функции f(x) на11,ти ее производную (или дифференциал). Интеграль­

ное исчисление решает обратную задачу: наiJ,ти функцию F(x), з-ная

ее производную F'(:i:) = J(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

~Функция F(x) называется nервообразноii. функции /(х) на ин­ тервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенство

F'(x) = j(x) (или dF(x) = f(x) dx).

Например, первообра-зной функции у = х2 , х Е IR, является функция

F(x) = хз , так как

3

F'(x) = (~3 )1 = х2 = f(x).

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

хз

F(x) = З +С,

где С - постоянная, поскольку
F'(x) = (х; +с)'== х2 = f(:r) (х Е JR).
Теорема 29.1. Если функци11	F(x) 11вл11етс11 первообразной функции
f(x) на (а; Ь), то множество	всех первообразных для f(x) задается
формулой F(x) +С, где С -	постоянное число

Q Функция F(x) +С является первообразной J(x). Действительно,

(F(x) +С)' == F'(x) = f(x).

Пусть Ф(х) -	некоторая другая, отличная от F(x), первообразная
функции f(x), т. е.	Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х Е (а; Ь)		имеем
(Ф(х) -	F(x))' = Ф'(х) - F'(x) == f(x) -	f(x) =О.
А это означает (см. следствие 25.1), что
	Ф(х) - F(x) =С,
где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х) ==		F(x) +С.	8

226

~ Множество всех первообразных функций F(x) +С для f(x) на­ зывается неоnреде.аеннъtм. интегралом от функции f(x) и

обозначается символом Jf(x) dx.

Таким образом, по определению

1Jf(x) dx = F(x) +С.,

~ Здесь f(x) называется nодынтегральноii. функцuеii., f(x) dx - nодынтегра.аьн:ым выра;нсением, х - nеременноii. интегри-

рования, J- знаком неопределенного uнmегра.аа.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на­ зывается интегрированием этой функции.

~Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у = F(т) +С (каждому число­

вому ·шачению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) на"'!ывается инте­ гра.аьноii. кривоii..

у

~y=F(:r)+C1

~y=F(x)

х

О~y=F(x)+C2 ~у=F(х)+Сз

~

Рис. 165

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? liJ Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая нf'прерывная

на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а

следовательно, и неопределенный интеграл.

29.2. Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из

его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте­

гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав­

на подынтегральной функции:
d(j f(x) dx) = f (х)dx, (J f(x) dx)	1	= f (х).

227

Q Действительно,

d(j J(x) dx) = d(F(x) +С)= dF(x) + d(C) = F'(x) dx = J(x) dx

и	(J f(x)dx)	1	8
		= (F(x) +С)'= f'(x) +о= f(x).

Благодаря этому свойству правильность интегрирования npoвep11- emC11 дифференцированием. Например, равенство

j (3х2 + 4) dx = х3 + 4х +С

верно, так как (х3 + 4х +С)'= Зх2 + 4.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­ ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

/ dF(x) = F(x) +С.
Q Действительно, j dF(x) = j F 1 (x) dx = j f(x) dx = F(x) +С.			8
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
j а!(х) dx =а· j f(x) dx,	а#- О -	постоянная.
а Действительно,
j af(x)dx = j aF'(x)dx = j(aF(x))' dx = j		d(aF(x)) =
=а·F(x) + С1 =а· ( F(x) + ~1	) = a(F(x) +С) =аj f(x) dx		•
(положили 9;- = с).

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

J(f(x) ± g(x)) dx = j f(x) dx ± j g(x) dx.

Q Пусть F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда

j (f(x) ± g(x)) dx = j (F'(x) ± G'(x)) dx =

= j (F(x) ± G(x))' dx = Jd(F(x) ± G(x)) = F(x) ± G(x) +С=

= (F(x) + С1) ± (G(x) + С2) = Jf(x) dx ± j	g(x) dx,
где С1 ± С2 =С.	8

228

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если j f(x) dx =

= F(x) +С, то и j /(и) du = F(u) +С, где и= rp(x) - произвольная

функция, имеющая непрерывную производную.

Q Пусть х - независимая переменная, /(х) - непрерывная функция

и F(x) - ее первообразная. Тогда j f(x) dx = F(x) +С. Положим те­

перь и = rp(x), где rp(x) - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(rp(x)). В силу инвариантно­

сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем

dF(u) = F'(u)du = f(u)du.
Отсюда j /(и) du = j d(F(u)) = F(u) +С.	8

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается

справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро­

вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей

непрерывную производную.

Так, из формулы j х2 dx = х; +С путем замены хна и (и= rp(x))

получаем j и2 du = 3 +С. В частности,
!	. 2		sin3 х
	sш	xd(siпx) = -		3		+С,
				-
j ln2		xd(lnx) =	ln3 х		+С,
			-	-
				3
! tg2			tg3 x
		xd(tgx) =	Т +С.

Пример 29.1.		Найти интеграл j(2x4 -	3х2	+ х - 5) dx.
Q Решение:
j (2х4 - 3х2 + х - 5) dx = 2 j х4 dx - 3 j х2 dx + j хdx - 5 j dx =
х5	х3	х2	2	1	-	5х +С
= 2 - + С1 - 3 - + С2 + - + Сз - 5х + С4 =			-х5 -	х3 + -х2			,
5	3	2	5	2
							•
		х+1
Пример 29.2.		Найти интеграл !-х- dx.
Q Решение: j	х: l dx = f <1 + ~)dx = х+ ln lxl			+С.			•

229