pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

17.2.Связь между функцией, ее пределом

и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция f (х) имеем предел, равный А, то ее

можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции

а(х), т е если			lim f(x)	=А, то f(x) =А+ а(х)
			х--+хо
Q Пусть	lim	f(x) =А. Следовательно,
	Х--+Хо
('v'E >О		38 >О 'v'x:		О< lx - хо/< б) ==?- /J(x) - AI	< Е,
т. е /f(x)	- А -		О/ < Е. Это означает, что функция f(x) -		А имеет

предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через

а(х): f(x) - А= а(х). Отсюда /(х) =А+ a(.r). •

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а(х), то число А является пределом функции f(x), т. е. если J(x) = А+ а(х), то

lim J(x) =А

х--+хо

а Пусть f(x) = А+о:(х), где а(х) -6.м.ф. при х ~Хо, т. е. lim а(х) =

			Х--+Хо
=О. Тогда
('v'E >О 38 >О 'v'x:	О< lx -	xol < б) ===? /o:(x)I < Е.
А так как по условию f(x) =А+ а(х), то а(х) :::±			f(x) - А. Получаем
(ve>O 3д>О Vx:	0</х-х0	/<б) ==?-	lf(x)-A/<e.

А это и означает, что lim f(x) =А.

Х--+Хо	•
Пример 17.2. Доказать, что lim (5 + х) = 7.
ж--+2

Q Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7

и б.м.ф. х - 2 (при х --+ 2), т. е. выполнено равенство 5 +х = 7 + (х -	2).
Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim(5 + х) = 7.	8
х--+2

140

17.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов

функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х -t Хо их -t оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,

что пределы lim	f(x), lim <р(х) существуют.
х--+хо		х--+хо
Теорема 17.7.	Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов
liш		(f(x) ± <р(х)) = liш f(x) ±	lim ср(х).
х--+хо		х--+хо	.i:--+xo
Q Пусть liш f(x)		= А, lim ср(:г) =В. Тогда по теореме 17.5 о сня-
:r--+хо		x--+xu
зи функции, Е'Е' предела и б.м.ф. можно iа~1исать f(x) = А+ о(х)				и
'Р(х) =В+ (J(x). Следовательно, f(x) + ip(x)			=А+ В+ (а(х) + /J(x)).
Здесь а(х) + {З(х)		б.м.ф. как сумма б.м.ф	По теорЕ'мЕ:' 17.6 о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать			lim (f(x)+'P(:r)) = А+В,
		.х-+.со
т. е.				•
lim (f(x) + ср(х)) = lim f(x) + l1m <р(х).
х--+хо		х--+хо	х--+хо

В случае разности функций доказательство аналогично.

Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно­ го числа функций.

Следствие	17.3.	Функция	может	иметь	только один предел при
Х -t Хо.
Q Пусть liш	f(x)	=А и lim	f(x)	=В. По теореме 17.7 имеем:
:z:---t:z:o		ж--+хо
О= lim (f(x) - f(x))			= lim	f(x) -	lim f(x) =А - В.
х--+х0			х--+хо		x--+.i:o
Отсюда А - В = О, т. е. А = В.					•
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведе­
нию их пределов:
	lim (f(x) · ср(х)) = lim f(x)				· lim 'Р(х).
	х--+хо		х--+хо		х--+хо

141

а Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых

пояснений. Так как lim /(х) =А,	lim <р(х) =В, то
х-..+хо	х-..+хо
f(x) =А+ а(х),	ip(x) =В+ /З(х),

где о:(х) и /З(х) - б.м.ф. Следовательш:r,

f(x) ·ip(x) =(А+ а(х)) ·(В+ /З(х)),

т. е.

f(x) · ip(x) = АВ +(А· /З(х) +В· а(х) + а(х),В(х)).

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

lim f(x) · ip(x) =А· В,

х-..+хо

те.	=	lim	/(.r)	lim ip(x).	•
lim (J(x)ip(x))
Х-+жо		х--+-хо		x--txo
Отметим, ч~о теорема справедлива для произведения любого ко­
нечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный	множитель			можно выносить за знак
предела:			lim
lim с· f(x)		=с·		/(х).
х--+хо			х--+хо

а lim (с. J(т)) = lim		с. lim J(x) =с.	lim f(x).	•
х--+хо	х--+хо	х--+хо	ж-..+хо

Следствие 17 .5. Предел степени с натуральным показателем равен

той же степени предела: lim (f(x))n = ( lim j(x))n. В частности,

х--+хо	х--+жо
lim хп = х~, п Е N.
Х-+Хо

а lim (J(x))n = lim		(J(x). f(x) ..... f(x)) = lim	f(x) ..... lim f(x) =
х--+хо	х-+хо	х-+хо	ж--tхо
		п сомножителей	•
= ( lirn	J(x))n.
ж-..+жо

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на

предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю·

.	!(Х)
1lffi	--
х-..+хо	ip(з;)

lim	/(х)		lim ip(x) "!о).
х ..+хо		(
= -----,--,--
lim	ip(х)		Х--+Хо

х-..+хо

142

Q

Доказательство

аналогично

предыдущему.

Из равенств

lim	f(x)	=А	и	lim	<р(х)	=В=/; О
z--+xo				х--+хо
следуют соотношения	f(x)	=А+		а:(х) и	<р(х)	=В+ /З(х).

Тогда

/(х) <р(х)

=

А+ в+

а:(х) /З(х)

=

А в

+

(А+ а:(х)

в+ /З(х)

_

А) в

=

А+ в

В· а:(х) -			А· /З(х).
В	2	+в. /З(х)

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное

цию, имеющую отличный от нуля предел.

от

деления

б.м.ф.

на

функ­

		.	11	,,.,		_
п			~
	оэтому	1	(		)	-
		1m		Х
		х--+хо	g
Рассмотрим при.мер.

А В,

т.

е.

1' 1m х--+хо

'("'' lim
blL _ х--+хо
(	Х	)	- .
<р			1lffi
			.с--+.со

f(x)
<р	(	Х	) .

•

Пример 17.З.			Вычислить lim(3x						2	- 2.z;	+ 7).
							:r--tl
Q Решение:
lim(3x	2	2х + 7)	= lim	3х	2	-	lim	2х	+ lim 7 =
	-
х--+1			х--+1				х--+1			х--+1
							2	-2limx+7=3·1-2+7=8.
			=3(limx)
				z--+ l					.с-+ l

8

Пример

17.4.

Вычислить

lim х--+2

	х	2
		х

+
2	-

14х 6х

- +

32 8

а Решение: Здесь применить

предел знаменателя, при х ---+

теорему	о	пределе	дроби Н€'ЛЬЗЯ, т. к.
2, равен	О.	Кроме	того, предел числи­

теля вида

равен О. В

8. Для ее

таких случаях говорят, что имеем неопределенность

раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби

на

множители,

затем

сократим

дробь

на

х

-

2

=/;О

(х---

+

2,

но

х

=/;

2):

lim х--+2

х	2	+
х		2	-

14х 6х

- +

32 8

=

lim	(х	-	2)(х +		16)		=
х--+2	(х	-	2)(х	-		4)
		х + 16				lim (х +
=	lim	---		=		х--+	2
								(х -
х--+2		х - 4				lim
						х--+2

16	)
4)

=

2 + 16

-- 2 - 4

=

-9.

8

Пример

17.5.

Вычислить

lim х--+оо

2х 4т

2 2

+ +

Зх 2х

+ +

1. 5

Q Решение: нахождения

	Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида	00	. Для
		00
	предела данной дроби разделим числитель и знаменатель

143

. 2х	2	+ 3х + 1	. 2 + ~ + х\	lirn	(2 + ~ + з1")		1
				х-ню	х
1lШ			= 1Iffi		5		2·
x-too 4х2 + 2х + 5			x-too 4 + 1 + ~ -			=
				lim (4 + 1 + ~")
			"' "'	х~оо	ж

Функция 2 + .3. + .Ь есть сумма числа 2и б.м.ф., поэтому

хх

lirn	(2 + ~ + ~) = 2;	.	(	2		5)	= 4.	•
		l1rn	4	+ -	+ 2
x-too	Х Х	х--+оо		Х		Х

17.4. Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х --t оо предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде­

ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования

предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функ­ ция !(х) заключена между двумя функциями ip(x) и g(x), стремящи­

мися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому

пределу, т. е. если

	lim ip(x) =А,		lim g(x) =А,	(17.6)
	х--+хо	х-+хо
	ip(x)	~ f(x)::;; g(x),		(17.7)
то	lim f(x) =А.
	х--+хо
Q Из равенств (17.6) вытекает, что для любого Е > О существуют две
окрестности t51	и t52 точки х0, в одной из которых выполняется нера­
венство lip(x) -	AI < Е, т. е.
	-Е < ip(X) -		А < Е,	(17.8)
а в другой lg(x) - AI < е, т. е.
	-е < g(x) -		А< е.	(17.9)

Пусть t5 - меньшее из чисел t51 и t52 • Тогда в t5-окрестности точки х0
выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
.
Из неравенств (17 7)	находим, что
ip(x) -	А~ f(x) - А::;; g(x) - А.	(17.10)

144

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют не­

равенства -е < f(x) - А< е или lf(x) -	AI < е.
Мы доказали, что
'Ve >О 38 >О 'Vx: О< lx - xol	< 8 ::::::} lf(x) - AI < е,
то есть lim f(x) =А.	•
x--txo

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух мили­

ционеров». Роль «милиционеров» играют функции ip(x) и g(x), функ­ ция f(x) «следует за милиционерами».

Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция

f(x) монотонна и ограничена при х < хо	или при х > хо. то суще­
ствует соответственно ее левый предел	lim f(x) = f(xo - О) или

x--txo-0

ее правый предел lim f(x) = f(xo +О). x--txo+O

Доказательство этой теоремы нР приводим.

Следствие 17 .6. Ограниченная монотонная последовательность х11, n Е N, имеет предел.

17.5. Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри-

ческие функции, часто используют предел

.	sinx _	1'	(17.11)
!lffi -- -
:z:--tO	Х

~называемый nервым эамечател.ьным предел.ом. Читается:

предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда

аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).

Q Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ че­

рез х (см. рис. 113). Пусть О< х < ~·На рисунке IAMI = sinx, дуга

МВ численно равна центральному углу х, IBCI = tgx. Очевидно, име­

ем Sдмов < Sсектора мов < SдсОВ· На основании соответствующих

формул геометрии получаем !sin х < !х < !tg х. Разделим неравен-

1	< +--	< -	1	или cosx < sinx < 1.
ства на - sinx > О, получим 1			-
2	sшх	cosx		х

145

Так как lim cosx = 1 и lim 1 = 1, то

х-+0 х-+0

упо признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

.	sinx	1.	(17.12)
1lffi	-- =
-,.х-+0	Х
\Х>О)

		Пусть теперь х < О. Имеем		sin х =
				х
		= sin(-x) , где -х >О. Поэтому
		-х
		.	sin т	(17.13)
	Рис 113	1IШ	-- = 1.
		х-+0	Т
		(х<О)		•
	Из равенств (17.12) и (17.13) выте]:(ает равенство (17.11).
	Пример 17. 6. Найти lirn	sin Зх.
	х-+О	2х

Q Решение: Имеем неопределенность вида g. Теоремао пределедроби

неприменима. Обозначим 3.z: = t;				тогда при х --+ О и t					--+ О, поэтому
lim sin Зх = lim sin t = lim ~ . sin t						= ~ lim sin t			= ~ . 1 = ~.		8
х-+О 2х	t-+O 2 · ~		t-+O 2 t			2 t-+0 t			2	2
Прu.мер 17. 7.		Найти lirn ~.
			х-+0	Х
Q Решение: lim tg х		= lim	·	1	= lim		·		liml	1
			sшх	. --			sшх .		х-+О	l·l= l.
х-+0	Х	х-+0	х	cosx		х-+0	Х	lim cosx =
								х-+0			•

17.б. Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательностиXn = ( 1+~)n,

п Е N, имеет предел, равный е (см. (15.6)):
lim	(1 + _!)n = е.	(17.14)
n-+oo	n

Докажем, чток числу е стремитсяи: функция Xn = (1+~)"' при х --+ оо

(х Е IR.):

lim	(1+.!.)"' =е.	(17.15)
Х-+00	Х

146

1. Пусть х -+ +оо. Каждое значение х заключено между двумя

положительными целыми числами: п ~ х < п + 1, где п = [х] -

это

целая частьх. Отсюдаследует

+l

1

< 1

~ 1, 1+

+1

1

< 1+1 ~ 1+1,

п

х

п

п

х

п

поэтому

1) х

1) п+l

1

) n

<

(

~

(

( l+n+l

1+~

1+~

.

Если х -+ +оо, топ -+ оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем:

1

)n

lim(l+n~l)n+l

е

п1~~( l+ n+l

=

n-+l~m (1+ ~)

= l

=е,

n-+oo

п+

lim

l)n+l

= lim

(

l)n

·

lim

(

1)

===

е · 1 = е.

( 1 + -

1 + -

1 +

-

n-+oo

n

n-+oo

n

n-+oo

n

По признаку (о пред('ле промежуточной функции) существования пре-

делов

lim (1 +

!)х = е.

(17.16)

х-++оо

Х

2. Пусть х-+ -оо. Сделаем подстановку -х = t, тогда

lim

1) х

= lim

(

1 )-t

=

lim

( t

) t

= lim

(

1 ) t

=

( 1+-

1--

--

1+ --

х-+-оо

Х

t-++oo

t

t-++oo

t - 1

t-++oo

t - 1

= lim

1

) t-1

·

lim

(

1

) 1

= е · 1

= е.

(17.17)

( 1 + --

1 + --

t-++oo

t -

1

t-++oo

t - 1

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить 1

=а (а-+ О при х-+ оо), оно

х

запишется в виде

lim (1 +а)~ = е.

(17.18)

а-+0

~Равенства (17.15) и (17.18) называются вторы.м замечатель-

ным предел.ом. Они широко используются при вычислении пре­

делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная

функция с основанием е. Функция у = ех называется зксnоненцu­

алъноii., употребляется также обозначение ех = ехр(х).

При.мер 17.8. Найти			lim	(1 + 2.)х.
			Х-+00		Х
О Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, t -+ оо при х -+ оо. Имеем
lim (1 + 3-)х		= lim (i + !)2 t =
х-+оо	Х	t-+oo	t
		= lim(1+!)t· lim(1+!)t =е·е=е2					•	8
		t-+oo		t	t-+oo	t

147

§ 18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

18.1. Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се­ бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль­

шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка­

кому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть а:= а:(х) и /3 = /З(х) есть б.м.ф. при х -t хо, т. е. lim а:(х) = x--txo

=О и lim /3(х) =О.

х-+ха

1. Если lim %= А -:/:- О (А Е JR), то а: и /3 на·шваются бесконе'Чно

Х-Н:о р

мальtми одного порядка.

2. Если lim й/3 = О, то а: называется бесконе'Чно малой более высо­

х~х0

кого порядка, чем f3.

3. Если lim й/3 = оо, то а: называется бесконе'Чно малой более нttз­

х~х0

кого порядка, чем /3.

4. Если lim й/3 не существует, то а: и /3 называются несравнимыми

Х~Хо

бесконе'Чно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х -t ±оо, Х -t Хо± 0.

Пример 18.1. Сравнить порядок функций а: = Зх2 и f3 = 14х2

при х -t оо.

Q Решение: При х -t О это б.м.ф. одного порядка, так как

lim ~ =	lim Зх2	= ~ -:/:- О.
х~о /3	:1но 14х2	14

Говорят, что б.м.ф. а: и f3 одного порядка стремятся к нулю с примерно

одинаковой скоростью.	8
Пример 18.2. Я:мяются ли функции а = 3х4	и /3 = 7х б.м.ф.
одного порядка при х -t О?

148

О Решение: При х --+	О функция а есть б.м.ф. более высокого порядка,
чем (3, так как lim !!:(3	= lim		3х4	= lim	зх3		=О. В этом случае б.м.ф. а
x-tO	x-tO		7Х	x-tO		7				8
стремится к нулю быстрее, чем (3.
При.мер 18.3. Сравнить порядок функций а= tgx и (3 = х2										при
х--+ о.
О Решение: Так как
. а	.	t)!; х		. sin х			1	1	оо
l1m - =	l1m -- =			l1m -- · -- · - =
х-+О (3	x-tO	х2		x-tO	х		cos х	х	'	•
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем (3.
При.мер 18.4. Можно ли сравнить функции а= х · siп 1 и /3										= х
									х
при х--+ О?
О Решение: Функции а =			х · sin 1 и /3			=	х при :r --+		О являются нР­
				х
сравнимыми б.м.ф., так как предел lim						.Q:/3	= lim	х · sin l		1
									.i: = lim sin - НР
				х-+0			х-+0	Х	х-+0	Х
существует.										8

18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные

теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

~Если lim !!:(3 = 1, то а и /3 называются эквuва.11.енmнъ~.мu беско-

~x-txo

нечно .ма.11.ъ~~ш (при х --+ х0); это обозначается так: а,....., /3.

Например,		sinx,....., х при х --+ О, т. к. lim				sinx = 1; tgx ,....., х при
					x-tO	Х
х --+ о' т. к.	1.	~	=	1	.
	lffi
	x-tO	Х

Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций

не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной

ей бесконечно малой.

О Пусть а ,.....,

а' и (3 ,....., (3' при х --+ х0.

Тогда

.

а

.

(а

а'

(3')

=

.

а

.

/3'

.

а'

= 1 · 1 ·

.

а'

,

11m

- =

11m

-

· -

· -

11m

-

· 11m

-

· 11m

-

11m

-

х-+хо

(3

x-txo

(3

а'

(31

Х-+Хо (}1

X-tXo

j3

Х-+Хо

(3

1

Z-tXQ

(3

1

149