pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

liJ Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ­

водную данноli. функи,ии no nро.м.еж:уmо'Чному аргументу

умно:нсить на производную nро.м.еж:уто-ч.ного аргумеt<mа по

независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не­

сколько. Так, если у = /(и), и = tp(v), v~ = g(x), то у~ = у~· и~· v~.

Пусть у= f (х) их= tp(y) - взаимно обратные функции.

Теорема 20.б. Если функция у == f(x) строго монотонна на интер­ вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = ср(у) также име­ ет производную ср'(у) в соответствующей точке, определяемую равен-

СТВОМ <р у	= F'() ИЛИ Ху -		-т-
'()	1	1 -	1
	Х		Ух

Q Рассмотрим обратную функцию х = tp(y). Дадим аргументу у при­

ращение ду =/:- О. Ему соответствуе r приращение дх обратной функции,

причем дх =f. О в силу строгой монотонности функции у =f (х). Поэто-

му можно записать	дх	1
			(20. 7)
	ду	= ~·
		~х
Если ду---+ О, то в силу непрерывности обратной функции прира-

щение дх ---+ О.	И так как				liш	ОJl..дд = f'(x) =f.	О,	то из (20.7) следуют
равенства ll			.	дх---tО		Х	у		= f'(x).	•
	ддх				Д	= ут-'() 'т. е. 'Р
·m		=	J1m	1		1	, (	)	1
ду---tО	у				~	Х

дж---tО Дх

liJ Таким образом, производна.я oбpamнoii. функции равна обратноii. вели'Чине nроизводноii. данноii. функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

1 1	dy 1
Ух=/ ИЛИ	dx=dx'
Ху	dy

Пример 20. З. Найти производную функции у = log~ tg х4 •

О Решение. Данная функция является сложной. Ее можно предста­

вить в виде цепочки «простых» функций: у = и3 , где и = log2 z, где z = tgq, где q = х4 . По правилу дифференцирования сложной функ­

ции (у~ =у~· и~· z~ · q~) получаем:

у~= 3 · log~tgx	4	1	__1~ ·4хз.	•
		· ----	cos2 х4
		tgx4 · ln2

170

Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обрат­

ной функции, найти производную у~ для функции у= Vx - 1.

О Решение: Обратная функция х = у3 +1 имеет производную х~ = 3у2 .

Следовательно,

1	1	1	1	•
Ух = х~ = 3у2			= 3 · \,/(х - 1)2 .

20.б. Производные основных элементарных функций

Степенная функция у= xn, n Е N

Дадим аргументу х приращение Лх. Функция у= :гn получит при­

ращение ду = (х + д.r)n - xn. По формуле бинома Ньюгона ИМ(>('М
ду =	( .с"+ п · xn-I · Л:r +	n(n - 1)		2	+ · · · + (Лх)"		)	- .r"	=
		2!	xn-l · Лх
	=n·xn- 1 ·Лх+ п(п - 1) xn-2 дх2					+···+(Л:r)n.
			2!
Тогда
ду	11 . .гn-1. Л.r + ~хn-2дх.г +. + (Лх)n
дх -	дх				=
	= п. xn-1 + n(n -		1) . xn-2. дх + ... + (д.z:)n-1.
		2!

Находим предел составленного отношения при Лх --+ О:

lim ду = lim (n·xn-1+!n·(n-l)·xn-2дx+·· ·+(Лх)n-1)

дх-+0 Лх дх-+0	2
Таким образом,	(xn)' = п. xn-1.
Например, (х3 )'	= 3х2 , (х2 )' = 2х, х' = 1.

Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула прои-з­ водной степенной функции справедлива при любом п Е ffi. (а не только натуральном).

Показательная функция у = а2 , а > О, а =F 1

Найдем сначала производную функции у = е"'. Придав аргументу

х приращение дх, находим приращение функции ду: ду = ех+дх _ех =

- ех(едх - 1)		.	Стало быть		~ -	е•(ед"-l) и
-				'дх -			дж
ду	= lim ех ·			едх - 1	= ех ·	lim	едх - 1	дх	= ех · 1 = ех.
lim -				дх			дх	= ех · lim -
дх-+ОЛх	дх-+О				дх-+О			дх-tодх

171

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью

еж - 1 ,..., х при х -+ О.

Итак, у' = ех, т. е.

(ех)' = ех.

Теперь рассмотрим функцию у = ах, х Е R Так как ах = ехln а,

то по формуле производной сложной фу,Jiкции находим:

(ах)'= (exlna)' = exlna. (х ·lna)' = eжlna · lna =ах· lna.

Таким образом, (а'")'= а'" lna.

Пример 20. 5. Найти производную функции у = 7х2 -4х.

Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и

формулу производной показательной функции, находим

у' = (7х2 -4'")' = 7х2 -4'"		· ln 7 · (х2				- 4х)'	= 7х2 -4'" · ln 7 · (2х - 4). 8
Логарифмическая функции у = lo~ х, а > О, а 1' 1
Найдем сначала производную функции у = ln х.
Для нее
ду	ln(x+дx)-lnx			=		ln(xtдx)		ln(l+д'")
- =						ж	=	х
дх	дх					дх		дх
Переходя к пределу при дх ---t О и воспользовавшись эквивалент-
ностью ln ( 1 + ~х) ,....., ~х при дх ---t						О, получаем:
Ду	ln(l + дж)				= lim		дж	1	1
lim -	= lim	Лх	х				~	= lim -	= - ,
дх~О Лх	дх~О					дж~О Лх		дх~О Х	Х

т. е. у'= 1 или (lnx)' = 1.

хх

Теперь рассмотрим функцию у= loga х.

Так как log	а	х = lnx		то
			Ina'
(loga х)' = (lnx)' = _1_. (lnx)' = _1_. !.
				ln а		ln а	)n а х
Таким образом, (logax)' = -					1
						- .
				х ·		1na
Пример 20.6.			Найти производную функции у= ln(x4 -						2х2 + 6).
Q Решение: у' =		х4	1	. (х4 - 2х2 + 6)' =			4хз -	4х .	8
			- 2х2	+ 6			х4 - 2х	2 + 6

Производную логарифмической функции у = loga х можно найти

иначе. Так как обратной для нее функцией является х = аУ, то по формуле производной обратной функции имеем:

(lo	зо)' = _1_ =	1	= _1_.
ga	(аУ)'	aY·lna	x·lna

172

Тригонометрические функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у= ctgx

Для функции у = sin х имеем:

Лу _

sin(x + Лх) -

sinx _

2sin ~cos(x + ~) _

sin ~х

(

Лх)

Лх -

Лх

-

Лх

-

дх cos

х+

2 .

2

Переходя к пределу при Лх ---t О и воспользовавшись первым за­

мечательным пределом

lim

sinЛЛx = 1, получаем

дх-+0

Х

lim

Лу

lim

sin дх

(

Лх)

= 1 · cos х,

-Л =

---д--1--- ·cos

х + -

2

дх-+0

Х

дJ,-+0

2

х

т. е. у'= COSX или (sinx)' = ('OSX.

Найдем производную функции y=cosx, воспользовавшись форму­ лой производной сложной функции:

(cos х)'= ( sin ( ~- х))1 = cos ( ~- х)·(~- х)1 = cos ( ~- х)·(-1) = - sin х,

т. е. (cos х)' =- sinx.

Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx восполь-

зуемся формулой производной частного:
' -(sin х) '_ (sin х)' cos x-siн x(cos х)' _ cos2 x+sin2 .r __1_
(tgx ) -	cos х	-		cos2 х		-	cos2 х		-	cos2 х	,
т. е. (tgx)'=~.
	cos	х
Проделав аналогичные операции, получим формулу
						1
			(ctgx)' = -- . -- .
						sш2 х
Этот результат можно получить иначе:
(ctgx)' =		(tg(~ -	х))' =		cos2(~ -х) · (-l) = --sin--x·
									12
При.мер 20. 7. Найти производную функции у = cos 2х.											•
Q Решение: (cos2x)' = -sin2x · (2х)'						= -2sin2x.
Обратные тригонометрические функции у= arcsinx, у= arccosx,
у= arctgx, у= arcctgx
Пусть у =		arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х								= siny,
у Е [-~;~].На интервале (-~; ~) верно равенство х' = cosy f:. О.
По правилу дифференцирования обратных функций
		1	=	1		1	=	1
	(arcsinx)' = - -			-	- =	J1 - sin2 у		.JI=X2'
		(siny)'		cosy

173

где перед корнем взят знак плюс, так как cosy >О при у Е (-~; ~).

Итак, (arcsinx)' = ./l ~ х2•

Аналогично получаем, что (arccosx)~ = - ./l ~ х2• Эту формулу

можно получить проще: так как arccos х + a.rcsin х = ~, т. е. arccos х = = ~ - arcsinx, то (arccosx)' = (~ - arcsinx)' = - Ь·

Найдем производную функции у =arctg х.

Она является обратной к функции х = tg у, где у Е ( - i; ~).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, по-

лучаем, что

(arctg х)

1

1

1

2

у =

1

1

= - (t)'

= - 1 -

=cos

1 +

t

2

У

1 + х

2

'

gy

r:os2y

g

Итак, (arctgx)' = ~l.

1

+х

Функции arctg х и arcctg J: снязаны отношением

7Г

'7Г

arctg х.

arctg х + arcctg х = 2",

т. е.

arcctg х = '2 -

Дифференцируя это равенство, находим

1

= -(arctgx)' = - 1 : х2,

(arcctgx)' = ( ~ - arctgx)

1

т. е. (arcctgx)' = -1+~х .

Прu.м.ер 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx2 ; 2) у=

=x·arctgx; 3) у=(1+5х-3х3 )4 ; 4) y=a.rccosyx; 5) y=log~(з+2-z).

0 Решение: 1) (arccosx2 )'= -		1	2х
		J1 - (х2)2	. (х2 )' = - ~;
			1 - х4
2)			х
	(х · arctgx)' = х' · arctgx + х · (arctgx)' = arctgx + -- ;
			l+x2
3)	((1+5х - 3х3 )4 )' = 4(1+5х - 3х3 )3		· (5 - 9х2 );

11

4)(arccosyx)' = - yfl - (..,Гх)2 · 2ywr;;x;

5)(log~(З+ 2-х))' = 3log~(3+2-х)· (3 + 2:х)ln 3 ·2-х·ln 2 · (-1). е

174

Заме-ч.ание: Найдем производную степенной функции у = х°' с лю­ бым показателем а: Е Ilt В этом случае функция рассматривается для

х >о.

Можно записать х°' = е°' In х. По правилу дифференцирования

сложной функции находим

1	х°'
(х°')' = (е<> Inx)' = е°' lnx. (а· lnx)' =а. е°' Iпх. _=а._= а:. х°'-1,
х	х

т. е. (х°')' = а: . х°'-1 .

Формула остается справедливой и для х <О, если функция у= т°'

существует:

при всех т =f. О.

Пример 20. 9. Показать, что функция у = "1;2 + ~ + С удовле-

творя<'т уравнению х3 ·у'+ 1 = х4 .

аРешРние: Находим у':

у1 = 21 ·2х + "21 ·(-2)х-J +О,

т. е. у' = х - -1з. Подставляем значение у' в данное уравнение:

т

х3 · ( х - х13) + 1 = х4, т. е. х4 - 1 + 1 = х4, О = О.

Функция удовлетворяет данному уравнению.	•

20.7.Гиперболические функции и их производные

Вматематике, механике, электротехнике и некоторых других дис­

циплинах встречаются гиперболи-ч.еские функции, определяемые следу­

ющими формулами:

х-х

~sh х = е - 2е - гиперболический синус;

ch х = е" 1;е-х - гиперболический косинус («цепная линия»);

h

е

х

- е

-х

h

е

х +

е

-х

-

гиперболиче-

th х = ~ =

и cth х = ~ =

сh х

е"+е-х

shx

е"-е-х

ский тангЕ>нс и котангенс, где е -

неперово число.

На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ­

ций.

Между гиперболическими функциями существуют следующие ос­

новные зависимости:

175

х

о х

Рис 132 Рис 133

у :_\:::

1

.----- -__

	Рис	134		Рис 135
ch2 х - sh2 х = 1;
sh (х ± у) = sh х · ch у ± ch х · sh у;
ch(x ±у)= chx · chy ± shx · shy;
th (х ± у) =	thx ± th у		у;
	1 ± th х . th
sh2x =2shx · chx;			ch2x = ch2 х + sh 2 х.
Все эти формулы вытекают из определения гиперболических
функций.
Например,	ех + е-х)2 - (ех - е-х)2
Сh2 X - S h2 Х=				=
	(	2	2
		= t(e2x + 2 + е-2х _ е2х + 2 _ е-2х) = ~ . 4 = 1.
		4		4

176

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см.

рис. 136).

у

у

1

о

вх

о

х

Рис

136

Параметрические

Ри<,

137

Параметрические уравнЕ>ния

уравнения

х

= cos t и

у

=

х = ch t

и у = sh t

определяют гипер­

= sш t определяют окружность

болу х2

- у2 = 1,

причем ОА = cht,

х2 + у2

= 1, причем ОА = <,os t,

АМ =sht

АМ=<>шt

Найдем производные гиперболических функций:

(shx)' = (ех-2е-х)' = ех +2е-ж

=chx, т.е. (shx)' =chx;

(chx)'=

х + -х)'

х

-2

-х

( е

•/

=е

е

=shx,т.e.(chx)'=shx;

(thx)' =

(shx)' =

(shx)'chx-shx(chx)'

= ch2x-sh2x =

chx

ch2 х

ch х

= ~hl, т. е. (thx)' = ~l;

с х	с	х	ch2 х = -+, т. е. (cthx)' = -+.
(cthx)' =	(chx)' =	sh2 х -
	shx	sh	х	sh х	sh х

20.8. Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от

сложных функций Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «Х» заменен на промежуточный аргу­

мент «и».

Правила дифференцирования

1.(u±v)' =и'±v';

2.(и· v)' = и'v + uv', в частности, (си)' =с· и';

177

3.(~)' = u'v; uv', в частности,(~)'= -1;

4.у~= у~· и~, если у= f(u), и= <р(х);

5.у~ = -1,-, если у= f(x) их= <р(у).

Ху
Формулы дифференцирования
1. (с)' =О;							.ju ·и';
2. (и°')' = а: · и°'-1		· и', в частности, (y'U)' =				2
З. (аи)'= аи· lna ·и', в частности, (еи)' = еи ·и';
4. (loga и)'= - -			·и', в частности, (ln и)'= 1 ·и';
	1
	и· 1na						и
5. (sinu)' =соsи·и';				6. (соsи)' = -sinu·u';
7. (tgu)' =	1	·и';		8.	(ctgu)' = -		.1		·и';
cos2 и							sш2 и
9. (arcsinu)' = ь ·и';				10. (arccosu)' = - Ь ·и';
	1 - и2							1 - ·и2
11. (arctgu)' = ~1 ·и';				12.				1
					(arcctgu)' = -..---:--:--2'· 1L';
	+и						1 +и
13. (sh и)' = ch и· и';				14.	(ch и)'= f>h и· и';
15. (thu)' = ~hl ·и';				16. (cthu)' = -~hl ·и'.
с	и						s	и

Для вычисления прои•водных надо знать J1ишь правила дифф<>­ ренцирования и формулы прои•водных основных -:элементарных функ­

ций, строго соблюдать ?Ти правила при выполнении упражнений.

Пример 20.1 О. Найти производную функции у = х4 -3х3 +2х-1.

О Решение:

у'= (х4 - Зх3 + 2т - 1)' = (х4 )' - (Зх3 )' + (2.r)' - (1)' =

= 4х3 - З(х3 )' + 2(х)' - О= 4х3 - 9т2 + 2. 8

Надо стараться обходиться без лишних записей.

		Пример 20.11.		Найти производную функции у= 2tx3 .
							gx
О Решение:
у	1	( 2х3 )'	( х3 )' · tg х - х3 • ( tg х)' =			. 3х2	· tg х - х3	• ~
		= tgx = 2	·	(tgx)2	2		(tgx)2	·	8
		Производная найдена. В процессе решения использованы правила
2, 3 и формулы 2,			7.
		Пример 20.12.		Найти производную функции у = cos(ln12 2х).

178

О Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2х) · 12 ln11 2х · .Jx ·2.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле­

дующим образом: у = cosu, и = t12 , t = lnz, z = 2х. Производную

сложной функции найдем по правилу у~ = у~ ·и~ · t~ · z~

(здесь проме­

жуточных аргументов три):

1

•

12

· t

11

1

2

,

Ух = -

SШ U •

· - ·

z

т. (',

12

11

1

1

Yx=-sint

·12·(1nz)

· 2х·2,

т. е.

у~ = - sin(ln z) 12

12 · ln 11

~'

·

z ·

т. с.

1

1

•

(

ln

12

2.с

)

· 12 · lп

11

2х

Ух

= - sш

· - .

.r

Оконча"Iелыю

12

11

.r

•

1

2:r) · ln

1

Ух= -12 · siп(ln

2:r ·-.

§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ

ИПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

21.1. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у= f(x), разрешенным относи­ тельно у, то функция :тdана в явном виде (явная функция).

~Под неявным заданuем функции понимают задание функции в

виде уравнения F(x; у)= О, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f(x) можно записать как неявно заданную уравнением J(x) - у= О, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от­

носительно у (например, у+ 2х + cosy - 1 =О или 2У - х +у= О).

liJ Если неявная функция задана уравнением F(x; у) =О, то для нахо-

ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав­ нение относительно у: достаточно продифференцировать это

уравнение no х, рассматривая при этом у как функцию х,

и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравне-­

нием х3 + у3 - 3ху = О.

179