pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

у	у

		в
		с
		А·	1		f(b)
				/(с)
	m'1		11(а)
о а Х1	Х2 ь х	о	а	с		х
Рис. 123				Рис. 124
Теорема 19.5	(Больцано-Коши). Если		функция у = f(x)			непре­

рывна на отрезке [а; Ь] и принимает на его концах неравные значения /(а)= А и f(b) =В, то на этом отрезке она принимает и все проме­

жуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).

Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка

с внутри этого отрезка такая, что /(с) =С. Прямая у= С пересечет

график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 19.2. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь]

и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка

[а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: /(с) = О.

1

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось

Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половин­

ного деленш», который используется для нахождения корня уравне­

ния f(x) =О.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер­

ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна

не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь]

имеет разрыв.

Рисунок 126 показt.1вает это для следствия теоремы 19.5: график

разрывной функции не пересекает ось Ох.

160

у		/(Ь)>О		у		/(Ь)>О
						у=/!
о				о	L/		ь	х
						/(а) <0
	Рис. 125					Рис. 126
Пример 19.5.		ОпредеJJить с точностью до е = 0,00001						корень
уравнения е2х+1 + х2		- 5 =О, принадлРжащий отрезку [О; 1], применив
метод половинного деления.
Q Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).
Шаг 1.	Вычисляем <.р = f(a)			и 1/J = f(b),		где а= О, Ь = 1.
Шаг 2.	Вычисляем х = а i		Ь.
Шаг 3. Вычисляем у= f(x). Если f(x)						=О, то х -- корень уравне­
ния.	При f (х) "#О если у· ip < О, то полагаем Ь = х, 1f; = у, иначе
Шаг 4.

полагаем а= х, <.р =у.

Шаг 5. Если Ь - а - е < О то задача решена. В качестве искомого

корня (с заданной точностью е) принимается величина х = а ! Ь. Ина-

че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к

шагу 2.

В результате произведенных действий получим: х = 0,29589. 8

§ 20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 20.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических

понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении

скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав­

номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ­

ствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной

точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

6 Конспект ле1щий по высшей математике Полный курс

161

Это равенство называют законом дви:жения. mO'Ч,KU. Требуется най­

ти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение J\.l, то в момент

овремени t+~t (Лt - приращение времени)

		1ЛS1	точка займет положение М1, где Ol.H1 =
1:	S(t)		= S + ЛS (ЛS -	приращение расстояния)
	S(t+Лt)		(см. рис. 127). Таким образом, перемеще­
	Рис	127	ние точки М "За	время дt будет ЛS =
			= S(t + Лt) - S(t)

Отношение ЛS выражает срРднюю скорость движения rочки -ia

Лt

время дt:

лs

дt

Средняя скорость зависи r от значения Лt: ЧС'М меньше дt, тем

точнее средняя скорость ныражает скорое гь движения точки n данный момент времени t.

Предел средней скорости д1шжения при стремлении к нулю про­

межутка времени Лt называется скоростыо движени.я. mo't'КU в данны:iL

момент времени (или м1 новенной скоростью). Обозначив э1 у скорость

через V, получим

. лs	V = lim	S(t + дt) -	S(t).
V = дl~~о дt , или	Лt--tO	дt		(20 1)

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки Ми М1 (см. рис. 128).

Прямую ММ1 , проходящую через эти точки, называют секущеiJ.. Пусть точка М1 , двигаясь вдоль кривой L, нrоrраниченно при6J1ижается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки 111, стре­

мится к некоторому предельному положению МТ.

~Касате.л:ьноiJ. к данноiJ. крuвоu в iJaннoiJ. mо'Чке М называ­

ется предельное положение МТ секущей lvfМ1, проходЯщей через

точку ЛJ, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно прибли­ жается по кривой к точке М1•

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею­ щий в точке М(х;у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой

коэффициент k = tga, где а -	угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсцис­
сой х + дх секущую (см. риr.	129). Обозначим через '-Р - угол между

секущей ММ1 и осью Ох На рисунке видно, что угловой коэффициент

секущей равен

_	_ ду	_	f(x + дх) -	J(x)
kсек -	tg '{J - -дх	-	~х	•

162

о :r х+Лх х

Рис 128 Рис 129

При дх --+ О в силу непрерывности функции приращение ду тожf' с1ремится к нулю; по"irому точка М1 неограничt'нно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 , поворачиваясь около точки М,

перехо,л,ит в касательную. Угол 'Р--+ а, т. е.				liш 'Р =а.
	lirn tg 'Р =tg а.			Лх--tО
Следовательно,
	дх--tО
Поэтому угловой коэффициент каса1ельной равен
.	.	ду	.	J(x + д:r) -	f(.r)	.	(20.2)
k = tga = 11rn	tgtp = 11rn	-д =	11rn	д
дх--tО	Лх--+0	Х	Лх--tО	Х

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и

множества других задач. Можно показать, что:

- если Q = Q(t) - количество электричества, проходящего через

поперечное сечение проводника за время t, то си.л.а тока в момент времени t равна

1 = liш	ДQ = lim	Q(t + дt) - Q(t);	(20.3)
Лt--+0	дt Лt--+0	дt

- если N = N(t) - количество вещества, вступающего в химиче­

скую реакцию за время t, то скорость хими'Ческоii. реакчии в момент

времени t равна
V = lim	ЛN = lim		N(t + дt) - N(t);	(20.4)
Лt--+0	дt	Лt--+0	дt

- если т = т(х) - масса неоднородного стержня между точками 0(0; О) и М(х; О), то линейная плотность стержня в то'Чке х есть

S = lim	дm =	lim	т(х + дх) - т(х).	(20.5)
Лх--+0	Лх	дх--+0	Лх

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най­ ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Это1 предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

V = s;; tg а = у~; 1 = Q~; V = N;; S = т~

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по х» и т. д.).

163

20.2.Определение производной; ее механический

игеометрический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция у= f(x) определена.11а некотором интервале (а; Ь).

Проделаем следующие операции:

-аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение Лх: х + дх Е (а; Ь);

-найдем соответствующее приращение функции: ду = f(х+Лх)-

-f(x);

-составим отношение приращения функции к приращению аргу-

мента:~;

- найдем предел этого отношения при дх -+ О: lirn ~дд.

дх х

Если этот предел существует, то его называют производной функ-

ции f(x) и обозначают одним из символов f~, f'(x); у'; ~; у~.

~Проuзводноii функцuu у= f(x) в точке хо называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента, коща

приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

,	.	f (хо+ дх) - f(xo)	ИЛИ !	'(	)	=	.	f (х) -	f(xo)
у=	1lffi	Дх			Хо		1lffi	х -	.
	дх~О						х~хо		Хо
Производная функции f(x)			есть некоторая функция f'(x), произ­

веiJенна.я из данной функции.

~Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интерва­ ла (а; Ь), называется дифференцuруемоu в этом интервале; опе­

рация нахождения производной функции называется дифференциро­

ванием.

Значение производной функции у= f(x) в точке х =Хо обознача­

ется одним из символов: !'(хо), y'lx=xo или у'(хо).

Пример 20.1. Найти производную функции у= С, С= const.

Q Решение:

- Значению х даем приращение дх;

- находим приращение функции ду: ду = f(x + дх) - f(x) = С-С=О;

- значит ~ = JL =О·
'дх дх			'			о -	о, т. е. (с)' -		•
- следовательно, у	;	-	1·	д	1·			о.
			1m	~ -	1m
			дх~О	Х	дх~О

164

При.мер 20. 2. Найти производную функции у = х2 .

Q Решение:

-Аргументу х даем приращение Лх;

-находим Лу: Лу = (х + Лх)2 - х2 = 2х · Лх + (Лх)2 ;

Л11 Д11	2х · дх + (Лх)2	= 2х + дх;
- составляем отношение дх: ДХ =	дх
-- находим предел этого отношения:

lim ЛЛу = lim

Лж--+0 Х Лж--+0

(2х+ Лх) =2х.

Таким образом, (х2 )1 = 2х.	•
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено
V = liш ЛS.
Лt--+0 Лt	s:, т. е. скорость пр.ямоли­
Это равенство перепишем в виде V =

не1'J:ного движени.я материа.лъноil, то'Чки в момент времени t естъ про­

изводна.я от пути S по времени t. В этом заключается механи'Ческ11:i1

смысл проиэводноil,.

iJ Обобщая, можно сказать, что если функция у = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производна.я у1 есть ско­ рость протекания этого процесса. В этом состоит физuческuit

CM'blCJt nроизводноit.
liJ	В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи-
	циент касательной k = tg а = lim	ОJlдЛ• Это равенство перепишем
	Лх--+0	Х

в виде f1(x) = tga = k, т. е. проuзвоiJнаsс f'(x) в точке х рав­

на угл.овому коэффицие'Н.mу касате.аьноit к графику функции

у= f(x) в точке, абсцисса кomopoit рав'Н.а х. В этом заключается

геометрическuit смысл. nроuзводноit.	у

~Если точка касания М имеет координаты (хо;у0) (см. рис. 130), то угловой коэффи­

циент касательной есть k = f'(x0 ). Пользуясь

уравнением прямой, проходящей через задан­

ную точку в	заданном	направлении
(У-Уо = k(x-xo)), можно записать урав'Н.енuе
касате.аь'Н.оii: у -	Уо = f'(xo) · (х - хо).		о	х

~Прямая, перпендикулярная касательной в

точке касания, называется нормал.ью к

Рис. 130

кpuвoit.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко­

эффициент	1
1
kнорм. = --k- = --/'()·
кас	Хо

165

Поэтому уравнение норма.ли имеет вид у - Уо = - г?хо) .(х - Хо)

(если /'(хо) #-О).

20.3.Связь между непрерывнос._тью и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке,

то она непрерывна в ней

Q Пус'lЬ функция у = f(x) дифференцируема в некоrорой точке .r.

Слt>доваrелыю, сущес'lвует предел lim 011..1ЛЛ = f'(x)

дх--+0 Х

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее нр<>дела и бескон<'чiю

малой функции, имеем~= f'(з:) +а, где а -r О при дх -r О, го ес1ь

Лу = f'(x) · дх +а· дх

Переходя к пределу, при Л:r -r О, попучаем liш ду = О. А это и

д.с--+0	•
означаеr, чго функция у= f(x) ненрерывна в ~очке х.
Обратная теорема неверна.	непрерывная

уфункция может не иметь производной Приме­ ром такой функции является функция

				х,	если :r ;::: О,
	о	х	у= 1х1 = { -х,		если х < О.
	Рис	131	Изображенная на рисунке 131 функция не­
			прерывна в точке х = О, но не дифференцируема
			в ней.
	Действительно, в точке х = О имеем
	ду = f(O + дх) -		f(O) = f(дх) = /Лх/ = {		1,	если	дх >О,
	дх	дх	дх	Лх	-1,	если	дх <О.
	Отсюда следует,		что lim 011..Лд не существует, т е			функция у= \х\

д.с--+0 х

не имеет производной в точке х = О, график функции не имеет каса-

тельной в точке 0(0; О).

iJ Заме"'ани.я: 1. Существуют односторонние пределы функции у= lxl

я точке х =О: lim	011..ЛЛ = -1,	lim	011..ЛЛ = 1. В 1аких случаях
дж--+0-0	Х	Лх--+0+0	Х

говорят, что функция Имеет односторонние производные (или «про­

изводные слева и справа»), и обозначают соответственно f'_(x) и f~(x).

166

Если f~(x) "1 j!_(x), то производная в точке не существует. Не

существует производной и в точках разрыва функции.

2. Производная у' = f'(x) непрерывной функции у= f(x) сама не

обязательно является непрерывной.

iJ Если функция у= f(x) имеет непрерывную производную у'= f'(x) в некотором интервале (а,Ь), то функция называется г.л.адкоi:J..

20.4.ПроиэвоАная суммы, разности, проиэвер.ения и частного функций

НахождРние производной функции непосредсrвенпо по Оl!рf'Д<'ЛС'­ нию часто связано с опрР;~елРнными труд1юс1ями. На пракrикf' функ­ ции дифференцируют с помощью ряда правил и форму;~.

Пустъ функции и = и(х) и v = v(т) dве д1~фференцир1JРмъtе в некотором интервам (а; Ь) функции.

Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций (и± v)' =и'± v'

Q Обозначим у = и ± v. По определению производной и основным

теоремам о пределах полуqаем:

у'= lim (и(х + дх) ± v(x + дх)) - (и(х) ± v(x))				=
дх--+0	Лх
= lim	(и(х + дх) - и(х) ± v(x + дх) -			v(x))
дх--+0	Лх	дх
	].	ди ±	]'		дv	и	'±	'
	lffi	л-	lffi		л- =			v '
	дх--+0	uX	дх--+0		u.Z:

т.е. (и±v)'=и'±v'.	•

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ­

ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве­

дение первого сомножителя на производную второго: (и·v)'=и'v+v'и

167

Q Пусть у= uv. Тогда

у'=

lim

ду = lim

и(х + дх) ·v(x + дх) -

и(х) · v(x)

=

дх--+0 дх

дх--+0

дх

= lim

(и(х) + ди) ·(v(x) + дv) -

и(х) · v(x) =

дх--+0

дх

=

lim

v(x) · и(х) + и(х) · дv + v(x) · дu + дu ·дv -

и(х) · v(x) =

дх--+0

дх

ди

дv

ди)

=

= дхlim--+0 ( v(x) · -дх

+ и(х) · -Д;r

+ дv ·-Дх

=V (Х) •

.

ди

(

Х

)

1·

дv

l"

д

1·

дu

llffi

-Д

+ U

·

lffi

-Д +

lШ

V ·

lffi

-Д =

дх--+0

Х

дх--+0

;r

д.с--+0

дх--+0

Х

= и' · v + и · v' + О ·и' = и' · v + и · v',

т. е. (и· v)' =и'· v +и· v'.	•
При доказательстве теоремы использова.пась теорема о свя'iи не­
прерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х)	и
v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому дv --+	О

и дu-+ О nри дх-+ О.

Можно показать, что:

а) (с· и)'= с· и', где с= const;

6) (и ·v · w )' = и' · v · w + и · v' · w + и · v · w'.

Теорема 20.4. Производная частногодвухфункций ~f:~,еслиv(x) ":f:.

:f. О равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна­ менателя дроби на производную числителя и числ11пеля дроби на про­

изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-

нателя·(~)' =u'·v;;u·v',v":f:.0.

Q Пусть у = Ыv:. Тогда

u х+дх		u{з:l	= lim	и х +ди	"fх)
у'= lim v	х+дх - V\x)			v х +дv -	v х) =
дх--+0	дх		дх--+0	дх
= lim	и(х) ·v(x) + v(x) ·дu - и(х) ·v(x) - и(х). дv =
дх--+О			дх ·(v(x) + дv)v(x)

168

=	v . ди - и . дv		= lim		v . дu - и . дv
	lim	+ v · дv)			дз:			дз:
	дз:-+О дх ·(v2			дз:-+О	v2		+ v · дv
		v · lim		ди -	и ·		lim	дv
		дз:-+0 дз:				дз:-+0 дз:
		=	v2	+ v ·	lim		дv

дз:-+0

т. е. ( ~) = u'v; uv'.

Следствие 20.1. (~)' = ~·и'

Следствие 20.2. (-с;;)' = - с~f1 , где с = const

u'v -uv'

v2

•

1

20.5. Производная сложной и обратной функций

Пусть у= f(u) и и= ср(т), тогда у= f(cp(x)) - сложная функция

с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 20.5. Если функция и= ср(.с) имеет производную и~ в точке

х, а функция у= f(u) имеет производную у~ в соответствующей точке

и = ср(х), то сложная функция у = f(tp(x)) имеет производную у~ в

точке .с, которая находится по формуле у~ =у~· и~.

Q По условию lim ~дд =у~. Отсюда, по теореме о связи функции, ее

дu-+0 U

предела и бесконечно малой функции, имеем ~ = у~ + а или

		ду = у~ · ди + а · ди,	(20.6)
где а ---t О при ди ---t О.
	Функция и = ср(х) имеет производную в точке х:		lim дди =и~,
		дз:-+0 х
поэтому		ди =и~ · дх + (3 · дх, где (3 ---t О при дх ---t	О.
	Подставив значение ди в равенство (20.6), получим
		Ду = у~(и~ · дх + (3 · дх) + а(и~ · дх + (3 · дх),
т. е.		ду = у~ · и~ · дх + у~ · (3 · дх + и~ · а · дх + а · (3 · дх.

Разделив полученное равенство на дх и перейдя к пределу при дх ---t О,

получим у~= у~· и~.

8

169