pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

29.З.

Таблица

основных

неопределенных

интегралов

Пользуясь

тем,

что

интегрирование

есть

действие,

обратное

диф­

ференцированию,

можно

получить

таблицу

основных

интегралов

путем

обращения

соответствующих

формул

дифференциального

исчисления

(таблица

дифференциалов)

и

использования

свойств

неопределенного

интеграла. Например,

так

как

d(sin

и)=

cosu

· du,

то

Jcos

и

du

=

Jd(

sin

и)

=

sin и

+

С.

Вывод

ряда

формул

таблицы

будет

дан

при

рассмотрении

основных

методов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже

rаблице

называются

табли<tн:ыми.

Их

следует

знать

наизусть.

В

инт('гральном

исчислении

нет

простых

и

универсальных

правил

отыскания

первообразных

от

элем('нтарных

функций, как в дифференциальном исчислении.	Методы
первообразных (т. е. интегрирования функции)	сводятся

нахождения к указанию

приемов,

приводящих

данный

(искомый)

интеграл

к

табличному.

Сле­

дователыю,

необходимо знать

табличные

интегралы

и

умf'ть

их

узна­

вать.

Отметим,

что

в

таблице

основных

интегралов

переменная

инте­

грирования

и

может

обозначать

как

независимую

переменную,

так и

функцию

от

независимой

переменной

(согласно

свойству

инвариантно­

сти

формулы интегрирования).

В справедливости приведенных

ниже

формул

можно

убедиться,

взяв

дифференциал

правой

части,

который

будет

равен

подынтеграль­

ному выражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. '

делена и непрерывна для всех значений и, отличных

Функция от нуля.

1 и

опре-

Если и> О, то ln/ul = lnu, тогда

J~ = ln и +С = ln /и! +С при и > О.

Если и< О, то lnlиl = ln(-u). Но

J~ = ln(-u) +С= ln lиl +С при и<

dln/иl	=	dlnu		= du	Поэтому
				и
dln(-u)		=	-du	= dи. Значит,
			-и	и
О.

Итак, формула 2 верна.

Аналогично, проверим формулу

15:

d

(-1а

arctg

~а+

с)

=

! а

.

1	1
	+ (~)
	2

.

! а

du - -

а

2

du +

и

2

•

230

Таблица

основных

интегралов

		!	o+l	(о#-1)
	1.		u"du=~+l +С
	2.	/	~ = ln lиl + С;
	3.	j	ai'du = l~ua +С;

4.

5.

6.

7.

8.

j еиdu = еи

j sinudu =

Jcosudu =

j tg иdu = -

j ctgudu =

+С;
-cosu +С
siнu +С
111	1cos и\ + С;
lr11	sinиl +С;

(J

(/

shudu

ch иdu

= =

сhн

sl1 и

+с); + С);

9.

j~ cos и

=tgu+C

(!

dи
сh	2

и

=

th

и

+

с);

10.	/~		= -ctgu+C				(/	du		= -
		SШ U						sh	2	u
11.	j	~и	= ln ltg 1!.I	+С·
		SШU	2		'
12.	j	с~~и	= ln ltg(~ + ~)1+С;
13.	j	du	= arcsin 1!		+С;
		Ja2 -u2		а
14.	j	du	= ln lи + ../и2 + а2			1	+С;
		Ju2+a2

cth

и

+

с);

15.	/	а	.	du		=	1	arctg 1! + С;
			2	+ u	2		а	а

16.

j

а

du

= _!_

·ln ltllfI+С;

2

-и

2

2а

а -

и

17.

j ../а2

-

и2

du

=

~ ·v'a2

- и2

+а; arcsin ~+С;

18.

j

v'u2

±

2

du

= ~ · ../и

2

± а

2

±а; ln !и+ ../u

2

±

a

а

2

1

+С.

231

§ 30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

30.1.Метод непосредственного интегрирования

~Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-

ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы­

ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит­

ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не­

посредственным uкmегрuровакuем.

При сведении данного интеграла к табличному часто используют­

ся следующиЕ' преобразования дифференциала (операция «nодведенuл

под знак дифференциала»):

du = d(u +а),	а - число,
1	а-/:- О - число,
du = -d(au),
а

1

и· du = 2'd(u2 ),

cosudu = d(sinu),

sinudu = -d(cosu),

1

- du = d(ln и),

и

1

- -du = d(tgu). cos2 и

Вообще, f'(u) du = d(J(u)), эта формула очень часто используется при

вычислении интегралов.

Примерw:

1)	dx	=	Jd(x +3)	= ln lx +
	/ х + 3		х + 3		31+С(формула2 таблицы инте-
гралов);
2)	j (Зх -	1)	24 dx = ~ j (Зх - 1)		24 d(Зх - 1)	1	(Зх - 1)	25
						= - .	25	+С
						з

(формула 1);

З)

/

ctg

2

xdx

=

1 -

.

sin

2

х

dx =

j (

1

-1

)

2

-.--

2

! SШХ

SШХ

- j dx = -ctgx -

х +С (формулы 10 и 1);

4) j

у"4

dx

1

j

d(v'З-x)

= - 1

- Зх2

= ./3

J(2)2 _

(vГз.х)2

v'3

dx = j -.1--dx -

2

SШХ

. v'З·х

·arcsш-- +С

2

(формула 13);

232

5) Jsin2 6xdx

=

~ j(1 -

cos12x)dx = ~/ dx -

~Jcos12xdx =

= 21х -

2"11cos 12xd(12x) ·

121

= 21х -

241 s.ш12х +С (формулы 1 и 6);

6

) /

dx

_ -~ J(х -1) - (х + 2) dx _

(х - l)(x + 2)

-

3

(х -

l)(x + 2)

-

=

11

(х -

х-1

d

х +

11

(х -

х+2

d

=

-3

l)(x + 2)

3

l)(x + 2)

х

-

1 [

d(x + 2)

1 [

d(x -

1)

-

11

1

21

11

1

11

+

С·

--

х+2

+ -

х-1

--

п х +

+ - n

х -

,

3

3

3

3

sin и du

= -

[

d(cosu)

= -ln 1 cosul +С (вывод

7) 1tgudu = 1 cosu

cosu

формулы 7);

du

= J

cos2

У. + sin2 У.

du = J

cos2

У.

du +

8) J--

2

2

2

sin

и

2 sin ~ cos ~

2 sin ~ cos f

+ j 2si::22c~sY.2

du = j ctg~d(~) + Jtg~d(~) = Ln\sin~\-

-

lnjcos ~1 +С = ln 1::~1 +

С = ln,tg ~1 + С (вывод

формулы 11);

9) j х(х + 2) 9 dx = J(х + 2 -

2)(х + 2)9 dx = j (х + 2)10 dx -

-

2 J(х + 2) 9 dx =J(х + 2) 10 d(x + 2) -

2 J(х + 2) 9 d(x + 2)

=

-

(х + 2)11

-

2 (х + 2)10

+

С (ф

ормула

I)·

-

11

10

,

= - J(ctgx)-5 d(ctgx) = - ctg- 4 x

10)

dx .

+С=

=

1

1ctg5 х · sш2 х

-

4

4 ctg4 х +С (формула 1);

ll)

J

dx

_

J

dx

_

J

d(x -

1)

=

у3-2х+х2

-

J2+(x-1) 2

-

J<...fi.)2+(x-1)2

= lnjx -

1 + J3 - 2х + х2 ) +С (формуJiа 14);

~J

/(4х

2

+

-:i:)

=

2

12)

3

-

-

5

31

dx

4/x3 dx -

2

-

-

2х

2

d( x)

cos

31 -:i:

cos

2х

-

31 -z d(I -

5

+С (формулы 1,

х) = х4 - '2 tg2x -

ln

3

9,

/

3);

233

13) /.r:3 • V1+x2dx= j(1+x2 )i·x·(x2 +1-1)dx=

	~ j (1 + х2)i			d(l + х2) - ~ j (1 + х2)t d(l + х2) =
	з	(1	27	3	24
=	14		+х )з -	8с1 +х )з +с.

Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо­ бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по­

дынтегральной функции».

Соответствующие навыки приобретаются в результатf' значитель­

ного числа упражнений.

30.2.Метод интегрирования подстановкой

(заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но­

вой перемеиной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан­

ный интеграл приводится к новому ин1е>гралу, который является та­

бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).

Общих методов подбора подстановок не существуРт. Умение правильно

опрРделить подстановку приобретаеrся практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл j f(x) dx. Сделаем подста­

новку х = ip(t), где ip(t) - функция, имеющая нРпрерывную производ­

ную.

Тогда dx = tp'(t) dt и на основании свойства инвариантности фор­

мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу

U'ltmeгpupoвa'ltu.я подстановко'iJ,

1..j--f-(x-)d_x_=_j_J_(ip-(t-)-·ip-'-t)(-dt--../

(30 1)

Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не­

определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части

этого равенства следует пРрейти от новой ПЕ-ременной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = ip(x), то-

гда j f(ip(x)) · ip'(x) dx = j f(t) dt, где t = ip(x). Другими словами,

формулу (30.1) можно применять справа налево.

Пример 30.1. Найти j et dx.

Q Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно,
j e;i dx"= 4 j et dt = 4et +С= 4е{ +С.	•

234

При.мер

30.2.

Найти

Jх

·

v'x=Зdx.

Q

Решение:			Пусть
j х · v1х		-	Зdx ==
= 2	!	(t	4	+ Зt	2

Jx	- 3		= t,			тогда	х	=
J(t	2	+	3)	· t · 2t dt			=
)dt	= 2		!	t	4	dt + 6	!t		2

t	2
dt

= ~(х - 5

+ З,			dx
				t5
=	2. 5
3)	5	2		+
		1

==	Zt dt.		Поэтому
+		tЗ	+с =
	6.	3
2(х -		3)	3	1 +С.
				2

•

При.мер

30.

3.

Получить формулу

!

du

=ln\u+Ju

2

+a

2

j+C.

../u2

+

а2

Q

Обозначим

t = ../и

2

+а2

+и (подстановка

Эйлера).

Тогда

..j

2и

du+du,

dt=

Ju2 +

а

2

+и

du.

dt=

'l.e.

и2

+

а2

../ul

+

а2

2

Отсюда

du

dt

dt

Стало быть,

Ju2 +

а2

Juz + а2

+ и

t

/

d,u .

=

j

dt

= ln

/t/ +С= ln /и+ J.u2 + а

2

/

+С.

и2

+ а2

t

Пример ЗО.4.

Найти f х · (х + 2)

100

dx.

8

Q

Решение:

Пусть х + 2

= t. Тогда J:

= t -

2,

dx = dt. Имеем:

/ х. (х +

2)

100

dx = /

(t

-

2). t

100

dt

= ! t

101

dt -

2

! t

100

dt =

t102

2

t101

(х +

2) io2

2

(х + Z) 101

=

102 -

.

101 + с =

102

-

101

+с.

•

Пример

30.5.

Найти

!

dx -- ez +

. 1

Q

Решение: Обозначим
dx	!!l	} =
! еХ+ } = ! f ~

ех ! t

= t.

dt (t +

Тогда х

}) = !

= ln
	dt
t2	+ t

t, dx

=:

= ~t.

Следовательно,

-! -

(t

dt + -1)-? - 2

-1 ·1

- -

-

!

1	d(t
	"	-
(-)-
2

+ (t

~) +

1 -)2 2

- -

-

1
-- 1
2.	-
	2

Jn

1~+t+~1
1	-	t -	1
-			-
2			2

+

с

- -

235

= -

Здесь используется формула 16

ln --t+11	= ln\--t 1= ln --еж		+С.
1-t	t + 1	еж+ 1	8
таблицы основных интегралов.

30.3. Метод интеrрирования по частям

Пусть и = и(х) и v = v(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = и · dv + v · du. Интегрируя это равенство,

получим

1,....j_d_(_u_v_)_=_J_u-dv_+_j_v_d_u и_л_и__J_u_d_v_=_u_v_-_j_v_d_u__,.,

f§I Полученная формула называется фор.мулоfi. uнтегрuрованuи

по часrпям. Она дает возможность свести вычисление интегра-

ла Jиdv к вычислению интеграла Jv du, который может оказаться

существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­

ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в

виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож­

но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор­

мулу приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять

методом интегрирования по частям.

1. Интегралы видаJР(х)еkж dx, JР(х)·sin kxdx, JР(х)coskxdx,

где Р(х) - многочлен, k -		число. Удобно положить и= Р(х), а за dv
обозначить все остальные сомножители.			JР(х)arccosxdx,
2.	Интегралы вида	JР(х)arcsinxdx,

JР(х)lnxdx, JР(х)arctgxdx, JР(х) arcctgxdx. Удобно положить

Р(х) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида Jеах ·sinbxdx, Jеа"' ·~osbxdx, где а·и Ь -

числа. За и можно принять функцию и = еаж.

Пример 30.6.	Найти J(2т + l)e3"' dx.
ОРешение: Пусть	[ ~v==2=з~d~ :	~:=/:~dx = iез"' ] (можно

положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча­

стям:

/	{2х+l)e3"' dx = (2х+•1)·~е3ж-J ~е3ж2dх = ~(2х+1)е3ж-~е3ж+с. 8
	3	3	3	9

236

При.мер 30. 7.		Найти J1nxdx.
Q Решение: Пусть		u=lnx	==:::}	du=ldx]		.	Поэтому
	[				х
		dv=dx	==:::}	v=x
Jln хdx = х· ln х - Jх· ~dx = х· ln х - х+ С.								8
При.мер 30.8.		Найти Jх2е"' dx.
Q Решение: Пусть [		и = х2	==:::}		du = 2хdx ]
		dv = е"' dx	==:::}		v = е"'		. Поэтому
	Jх2е"' dx = х2е"'			-	2 Jе"' ·xdx.			(30.2)

Для вычисления интеграла Je"'xdx снова применим ме1од интРгриро­

вания по частям: и= х, dv = е"' dт ==:::}	du = dx, v = е"'. Значит,
Jе" · хdx = х · е"' - Jе"' dx = х · е"' -		е"' + С.	(30.3)
Поэтому (см. (30.2)) Jх2е"' dx = х2ех -	2(х · е"' -	ех +С).	8

Пример 30.9. Найти Jarctgxdx.

Q Решение: Пусть

и = arctg х

[ dv = dx

==:::}	du = ~ dx ]		. Поэтому
	1	+ х
==:::}	v = х

	х	1 Jd(l + х2 )
!arctg х dx = х · arctg х - ! 1 + х2 dx = х · arctg х -		2	1	+ х2	=
	1		+ х2 ) + С.		8
	= х arctg х - 2ln(l
§ 31.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
31.1.	ФУНКЦИЙ
	Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые сведения справочного характера)
Функция вида
	Pn(x) = aoxn + a1xn-l + · · · + an-1X + an,			(31.1)

~где п - натуральное число, а, (i =О, 1, ... , п) - постоянные коэф­ фициенты, называется многочленом (или целоt'~ paцuoнaJtьнot'i

функцuеiJ). Число п называется степенью многочлена.

237

~Кор'Нем многочлена (31.1) называется такое значение хо (во­

обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен

обращается в нуль, т. е. Pn(xo) ==О.

Теорема 31.1. Если х1 есть корень мноrочлена Pn(x), то многочлен

делится без остатка на х - х1 , т. е

Pn(x) = (х - х1) · Рп-1(х),

(31.2)

где Pn-l (х) - многочлен степени (п - 1).

Возникает вопрос: всякий ли много"lлен имеет корень? Положи­

тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема 31.2 (основнаи теорема алгебры). Всякий многочлен п-й степени (п > О) имеет по крайней мере один корень, действительный

или комплексный

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло­

жении многочлена на линейные множители.

Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде

(31.3)

где х1, х2, ... , Xn - корни многочлена, а0 - коэффициент многочле­

на при xn.

Q Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо­ значим его через х1• Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как Pn-i(x) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х2. ТогдаРп-1(х) = (х-х2)·Рп-2(х), гдеРп-2(х)-многочлен (п-2)-й

степени. Следовательно, Рп(х) = (х - х1)(х - х2)Рп-2(х).

Продолжая этот процесс, получим в итоге:

Рп(х)	== ао(х	- х1)(х - Х2)	... (х - Хп).	•

~Множители (х - Xi) в равенстве (31.3) называются линеitнымu

мно:нсиmел..ями.

Пример 31.1. Разложить многочлен Р3(х) == х3 - 2х2 - х + 2 на

множители.

238

Q Решение: Многочлен Р3( х) = х3 - 2х2 - х +2 обращается в нуль при

х = -1, х = 1, х = 2. Следовательно,

	х3 -	2х2 - х + 2 = (х + l)(x -	l)(x -	2).	•
	Пример 31.2.	Представить выражение х3 -		х1 + 4х - 4 в виде
	произведения линейных множителей.
	Q Решение: Легко проверить, что				•
	х3 -	х2 + 4х - 4 = (х - 1) (х -	2i) (х + 2i).

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил­ ся k раз, то он называf'тся корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется простъtм.

Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

(31.4)

если корень х1 имеет кратность k 1 , корень х2 - кратность k2 и так

далее. При этом k 1 + k2 + ···+ kr = п, а r -		число различных корней.
Например, разложение
Ps(x) = (х - 3)(х + I)(x - 4)(х -	3)(х -		З)х(х - 4)(х - З)
можно записать так:
Ps(x) = (х - 3)4 · (х + 1) · (х -			4) 2 · х.
Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать сл\>дующие утвержд\>-
ния.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х)	=	а0хп + а1тп-l + ···+ ап

тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу,

то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф­ фициентам другого

Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d =х3 - 3х2 + 1, то а= 1, Ь = -3,

с= о, d = 1.

239