pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

§14. ФУНКЦИЯ

14.1.Понятие функции

Одним из основных математических понятий является понятие

функции. Понятие функции связано с ус'I,'рновлением зависимости (свя­

зи) между элементами двух множеств.

~Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие f, ко-

торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один

элемент у Е У, называется функцuеit и записывается у= f(x), х Е Х или f : Х ---+ У. Говорят еще, что функция f оmобра;:нсаеm множество

Х на множество У.

Рис. 98

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество Х называется об.ластъю опреде.ленм функции f и обо­

значается D(f). Множество всех у Е У называется множеством Jна­ ченuй функции f и обозначается E(f).

14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция f: Х---+ У.

li! Если элементами множеств Х и У являются действительные числа

(т. е. Х С JR и У С JR), то функцию f называют чuсловоit функ­ цuеit. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,

для краткости будем именовать их просто функциями и записывать

у= f(x).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой

переменной, а у - функцией или зависимой переменной (от х). От-

120

носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ­ циональноil зависимости. Иногда функциональную зависимость у от

х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (/) для обозначения

зависимости.

Частное зна-чение функции f(x) при х =а записывают так: /(а).

Например, если f(x) = 2х2 - З, то /(О) = -3, /(2) = 5.

Графиком функции у = f (х) на-

зывается множество всех точек плос­		у
кости Оху, для каждой из которых		1
х является значением аргумента, а
у - соответствующим	значением
функции.
Например, графиком	функции
у= J'l=X2 является верхняя полу­		о	х
окружность радиуса R = 1 с центром		Рис 99
в 0(0; О) (см. рис. 99).
Чтобы задать функцию у = f(x),		необходимо указать правило,

позволяющее, зная :r, находить соответствующее эначение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана­

литический, табличный, графический.

Анал1.tти-ческиii, способ: функция -задается в виде одной или не­ скольких формул или уравнений.

Например:

2) у= {х2 + 1	при х < 2,	З) у2 - 4х =О.
х-4	при х ~ 2;

Если область определения функции у= /(х) не указана, то пред­

полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента,

при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью

определения функции у = J'l=X2 является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совер­

шенным, так как к нему приложены методы математического анализа,

позволяющие полностью исследовать функцию у= /(х).

Графи-ческиif, способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции

у, соответствующие тем или иным значениям аргументах, непосред­

ственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность,

недостатком - его неточность.

Табли-чн'Ьtti способ: функция задается таблицей ряда значений ар­ гумента и соответствующих значений функции. Например, известные

121

таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические

таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

14.3.Основные характеристики функции

~1. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется

'Ч.emнoii., если 'Vx Е D выполняются условия -х Е D и f(-x) = = f(x); не'Ч.еmноii., если 'Vx Е D выполняются условия -х Е D и

1(-х) = - f(x).

График четной функции симметричен относитf'льно оси Оу, а не­

четной - относительно начала координат.		- четные функции; а
Например, у =	х2 , у = J1 + х2 , у = ln lxl
у= sinx, у= х3 -	нечf'тные функции; у= :r -	1, у= ./Х - функции

общего вида, т. с. не четные и не нечетные.

~	2. Пусть функция у = f(x) определена на множеств(' D и пусть
	D1	С D. Если для любых значений х1 ,х2 Е D1 аргументов из
неравенства х1			< х2	вытекает неравенство: f(x1) < f(x2), то функция
	у				называется возрастающеii. на множе­
					стве D 1 ; f(x 1 ) ~ f(x2), то функция на­
					зывается неубывающеu на множестве
					D1; f(x1) > /(х2), то функция назы­
					вается убывающеii. на множестве D 1 ;
					/(х1) ~ /(х2), то функция называется
					невозрасmающеii. на множестве D 1 .
-2	о	1	3		Например, функция, заданная гра­
				х	фиком (см. рис. 100), убывает на интер­
		Рис. 100
					вале (-2; 1), не убывает на интервалf'

(1; 5), возрастает н;а интервале (3; 5).

~Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D 1 называются монотонными на этом

множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотонными.

Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервала­

ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна

на (-2;1) и (3;5); монотонна на (1;3).

~ 3. Функцию у = f(x), определенную на множестве D, называют ограниченноii. на этом множестве, если существует такое число М >О, что для всех х Е D выполняется неравенство \f(x)I ::;; М (ко­

роткая запись: у= f(x), х Е D, называется ограниченной на D, если

3М > О : 'Vx Е D :::::;} l/(x)I ~ М). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у= -Ми у= М (см.

рис. 101).

122

~ 4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется nepuoiJuчecкoiJ на этом множестве, если существует такое число

Т >О, что при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и f(x + Т) = f(x).

При этом число Т называется периодом функции. Если Т -	период
функции, то ее периодами будут также числа т · Т, где т = ±1;	±2, ...

Так, для у = sin х периодами буду'I чи<'ла ±271"; ±47!"; ±671", ... Основной период (наименьший положительный) - это период Т = 271". Вообще обыч:но -за основной пЕ:>риод берут наименьшеЕ:> положительное число Т,

удовлетворяющЕ:>Р равен<'тву /(;r + Т) = f(x).

у- _У_=;:_Л!.,.- - -

Рис 101

Гис 102

14.4.Обратная функция

~Пусть задана функция у= f(x) с областью определения D и множеством -значений Е. Если каждому -значению у ЕЕ соответствует

единственное значение х Е D, то опрсделЕ:>на функция .с = <р(у) с обла­ стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция tp(y) называется обраmноi1 к функции /(х) и записывае'lся в

следующем виде: х = <р(у) = 1-1 (у). Про функции у= /(х) их= <р(у)

говорят, что они являются в-заимно обратными. Чтобы найти функцию

х = ср(у), обратную к функции у= f(x), достаточно решить уравнение /(х) =у оrноситРльно х (если это возможно).

Пример'Ы:

1.Для функции у 2х обратной функцией является функция

х=!у:

2. Для функции у = х2 , х Е [О; 1], обратной функцией является

х = ..JY; заметим, что для функции у= х2 , заданной на отрезке [-1; 1],

обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-

чениях (так, если у= l• то х1 = !• х2 = -!)·

123

\i Из определения обратной функции вытекает, что функция у= f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает

взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюдэ следует, что любая строго монотонная функцu.я имеет обрат­ ную. При этом если функция возрастае?(убывает), то обратная функ-

ция также возрастает (убывает).			у
	Заметим, что функция у = f(x)
и обратная ей х = rp(y) изображают­
ся одной и той ЖЕ:' кривой, т. е. графи­
ки их сонпадают. Если же условить­
ся, что, как обычно, независимую пе­
ременную (1. с. аргумент) обтначить
чЕ:'ре·з х, а зависимую переменную Ч{'--
рсз у, то функция обра1ная фунющи			О	х
у= f(x) запишется в ниде у= rp(x).			/ /
Ji	Это тначает, что точка Л/1 (:r0 ; .IJo)		,/
	кривой у = f (х) становится 'IОЧ-		'
кой	М2(у0;х0)	криной у = rp(.r). Но		Рис. 103
точки А11 и М2		симмРтрич11ы о 1 носи·~ Рльно прямой у = .r (см. рис. 103).

Поэтому графики взаимно обратных функциii, у= f(x) и у= rp(:r)

симметричны относительно биссектрисы первого и третье­ го координатных углов.

14.5. Сложная функция

~ Пусть функция у = J(u) определена на множестве D, а функция и = rp(x) на множЕ:'стве D 1 , причем для \:/х Е D1 соответствующЕ:'е

значение и = rp(x) Е D. Тогда на множестве D 1 определена функция

и = f(r.p(x)), которая называется сло:нсноii. функциеii. от х (или су­ перпозициеil заданных функций, или функциеiJ от функции).

Переменную и = ер(х) на%шают nромежуmочн'Ьl.м аргументом

сложной функции.

Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функций у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме­

жуточных аргументов.

14.б. Основные элементарные функции и их графики

Основными элРментарными функциями называют следующие

функции.

1) Показате.л:ьнм ~ункция у =ах, а > О, а f:. 1. На рис. 104 пока­

заны графики показательных функций, соответствующие различным

основаниям степени.

124

у

у

у=ах

(а> 1)

х х

Рис. 104

2) Степенная функция у = J'o., а Е IR. Примеры графиков СТ{'­ пенных функций, соотвf>тrтвующих ра1личным показателям степени, предоставлены на рис. 105.

у

у

х

ух

о~ у

х

х

у

у

х

Рис. 105

125

3) Логарифми'Ческая функция у = loga х, а > О, а "/; 1; Графики

логарифмических функций, соответствующие различным основаниям. показаны на рис. 106.

у

х

х

Рис. 106

4)Тригонометри<tеские функции у= sin.r, у= cosx, у= tg.r, у=

=ctg х; Графики тригонометричЕ'ских функций имеют вид, пока·iа~шый

на рис. 107.

х

Рис. 107

5)Обратные тригонометри'Ческие функции у = arcsinx, у=

arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики

обратных тригонометрических функций.

~Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных

элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи­

сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де­ ления) и операций взятия функции от функции, называется э.11.емен­ mарноiJ функцuеiJ. Примерами элементарных функций могут слу­

жить функции

. 1		tgx	;	у= lg(2 + х3 ).
у= arcsш -х	-	8х2 + 3

126

у у

	"	y=arcsinx
	2
			х
						y=arccosx
					-1	1	х
		у		______________у7f __________ _
	-----------~--------------
	2
			х
		7Г
	--------------~1----------					о
			Рис. 108
	Прим('рами нРэле.ме'ltrпарны.х функций могут служи гь функции
		1,	.r >о,		r 2 + 1,	('('ЛИ	:Г :::; 0,
	y=sign.z;=	О,	;r=O,	у:::
					{ х,
		{ -1,	х <О;			{'('ЛИ	х >О;
	~	~	~			12п+1
	у= 1 - З! · 3 + 5! · 5 -		7! · 7 + ... + (-l)n (2п + 1)! · (2п + 1) + ···

§15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

15.1.Числовая последовательность

~Под числовоii. последовательностью х1 , :r2, :rз, ... , Xn, . . . по­

нимается функция

1 Xn = f(n), 1

(15.1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последователь­

ность обозначается в виде {Xn} или Xn, n Е N. Число х1 называет­ ся первым членом (элементом) последовательности, х2 - вторым" .. ,

Xn -- общим или n-м 'ЧJl.еном nослеiJовательности.

Чаще всего последоватЕ>льность задается формулай его общего чле­ на. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательно­

сти по номеру n, по ней можно сразу вычислить любой член последо­ вательности. Так, равенства

Vn =n2 + 1, Zn = (-l)n · n,	1	n-1	nEN
	Yn = -,	Un=--,
	n	п

127

задают соответственно последовательности

Vn = {2,5,10, ... ,n2 +1, ... }; Zn = {-1,2,-3,4, ... ,(-1)n ·n, ... };

Yn = {1, ~,~,~," . , ~,... }; Un = {О,~,~,~,~,~,. " , n : 1, ." }.

~ ПоследоватРльность {xn} на-зывае;,<"я ограни-ченноi1., сели суще­

ствует такое число lvf > О, что для любого n Е N выполняется

неравенство

В противном случае послС'довательность на Jываt'1ся неограниченпоti. Легко видегь, что последоватС'льносrи Yn и 11п ограничены, а Vn и Zn -

неограничены.

Е§1 Последоват<'лыюс п, {J""} 11а'!Ь1нас'lся возрасmающеi1. (неубыва­

ющеi1.), ('("JIИ для пюбОI о fl НЫПОЛПЯС?'f ('Я H('fJaH('fl("1 во ап+I > (/"

(an+I ~ а11). Анало1 ично онр<'д<'Ня<>н·я убывающая (нево·-1растающая)

последоватС' пыюс rь.

Вес -=э ги rюсл<')\Ооаr С'111,нос1и на 1ыва101<·я монотонн'Ы.Ми ~юс11<>- доват<>.11ыюс 1ями. ПосЛР)\Ощ1.1Рл1>1юсrи 111 , у" и п" мо1ю1ош1ыР, а

не моно1 шшая.

Если щ;е элемf'н 1ы 1юСЛ('дова1<'Jп.но('1 и {х"} равны одному и 1ому

же числу С', rо С'<' называю 1	посто.ян:н,01'L.
Другой способ ·щдания	числовых 1юслРдоваr<>лыюс IPti	рекур-

рентн:ыii способ. В нем -задается нача.~1ы1ый ЭЛf'М('НТ .r1 (первый член последоватслыюсти) и nранило опр<'д<>ления п-1 о ?JIC'MeJIТa по

(n - 1)-му:

Xn = /(.rп-1)-

Таким образом, х2 = f(.r 1 ), х:1 = /(х2) и т. д. При 1аком способе за­

дания последоватРльности ДJ1я определения 100-ro члена надо сначала

посчитать все 99 предыдущих.

15.2. Предел числовой последовательности

Можно заметить, Ч'IО члены нослt•довательности Un неограниченно

приближаются к числу 1. В этом случае 1оворят, ч·10 послf'дователь­ ность Un, n Е N стремится к пределу 1.

~Число а называется пределом nослеiJоваmе.л,ьносmи {xn}, если

для любого положительного числа Е найдется такое натуральное

число N, что при всех п > N выполняется неравенство

(15.2)

В этом случае пишут lim Xn = lim Хп = а или Xn -+ а и говорят, что n-+DO

последовательность {xn} (или П('ременная Xn, пробегающая последо-

вательность х1 , х2, х;, ... ) имеет предел, равный числу а (или Xn стре­ мится к а). Говорят также, что последовательность {хп} сходите.я к а.

128

Коротко определение предела можно записать так:

1 ('v'e > О 3N : 'Vn > N-===* lxn - ai < е)		{::::::} .Ji~Xn =а.,
При.мер 15.1. Доказать, что lim	n - 1	= 1.
n--+oo	n

Q Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь­

ности Xn = n - 1, n Е N, если 'Ve > О наii.детс.я натуральное число N, n

такое, что для всех п > N выполняется неравенство 1n ;; 1 - 11 < е, т. е. 1 < е. Оно справедливодJ1Я всех n > 1, т. е. для всех n > N = (1),

п	е	е
где [~] -	целая часть числа~ (целая часть числа т, обознача<>мая [.r],

есть наибольшее 1~елое число, нс превосходящее .r; ·шк [3] = 3, [5,2] = 5).

Если е > 1, то в качеств<' N можно nзять [~] + 1.

Итак, Ve >О указано соотве1с·1вующt,'t' 'iначсние N. Э10 и дока·Jы-

вает, что lim	n - 1 = 1.	8
n--+OO	n

Заметим, что число N '1ависит от е. Так, <'Сли е = 263 , 1о

= c~J = [ 2 [в~]

N ;] = = 8;

если е = 0,01, то

N = [ ~ ] = [lOOJ = 100.

100

Поэтому иногда записывают N = N(e).

Выясним геометрический смысл определения предела последова­

тельности.

Неравенство (15.2) равносильно неравенствам -е < Хп - а < е или

а - е < Xn <а+ е, которые показывают, что элемент Xn находится в

е-окрестности точки а.

Q

Xn

( 1 1111111•1111 1 )

а-е	а	х

Рис. 109

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последова­

тельности {xn}, если для любой е-окрестности точки а найдется нату­

ральное число N, что все значения Xn, для которых n > N, попадут в

е-окрестность точки а (см. рис. 109).

SКонспектлекций по высшей математике Полный курс

129