pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k
.pdfу
у
y=f(x)
-1
\о х
х
Рис. 157 Рис 158
Пусть М(х; у) - произвольная точка кривой у= f(x) (см. рис. 158).
По формуле расстояния от точки до прямой ( d= \АтJ:2в:ов~ С\)
находим расстояние от точки М до прямой (25.5): d= \k~Ь\.
k2 +1
Условие d ---1 О будЕ'т выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.
lim (kx - у+ Ь) =О. |
(25.6) |
х~оо |
|
Отсюда следует, что kx - у+ Ь = а:, где а: = а:(х) бесконечно малая:
а: ---1 О при х -t оо. Разделив обе части равенства у = Ь + kx - а: на х и
перейдя к пределу при х -t оо, получаем:
|
lim ~ = lim |
(~ + k - |
~). |
|
х~оо Х х~оо |
Х |
Х |
Так как .!!.. -t О и Q. -t О, то |
|
|
|
х |
х |
|
|
|
|
|
(25.7) |
Из условия (25.6) находим Ь: |
|
|
|
|
1Ь = }~~(у - kx). , |
(25.8) |
|
Итак, если существует наклонная асимптота у = kx + Ь, то k и Ь
находятся по формулам (25.7) и (25.8).
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде
лы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой. Если хотя бы один из пределов (25. 7) или (25.8) не существует
или равен бесконечности, то кривая у= f(x) наклонной асимптоты не
имеет.
210
В частности, если k =О, то Ь = lim f(x). Поэтому у= Ь - урав-
нение горизонтальной асимптоты. х->оо
За.ме'Чание: Асимптоты графика функции у = f(x) при х---+ +оо
и х ---+ -оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов
(25. 7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х ---+ +оо
и когда х ---+ -оо.
Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у= хе"'.
Q Решение: Так как |
lim |
хе"' = |
|
lim |
ех = +оо, то график функции |
||||
|
х->+оо Х |
|
х-> +оо |
|
|
|
|||
при х -t +оо наклонной асимптоты Hf'имеет. |
|
|
|
||||||
При х---+ -оо справедливы соотношения |
|
|
|
||||||
k = |
|
хех |
= lim ех = О, |
|
|
||||
lim - |
|
|
|
||||||
Ь = lim (хех - Ох) = |
|
Х-4-00 Х |
|
Х-4-оо |
[ ] |
= liш - - =О. |
|||
lim |
хех = |
|
lim |
~ = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
00 |
1 |
|
Х-4-ОО |
Х-4-00 |
|
Х-4-00 е-Х |
00 |
Х-4-00 -е- r |
|
|||
Следоватt>льно, при х---+ |
-оо график имеет горизонтальную асимптоту |
||||||||
у=О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
25.8.Общая схема исследования функции и построения
графика
Исследование функции у= f(x) целесообразно вести в определен
ной последовательности.
1.Найти область определения функции.
2.Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями
координат.
З. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x) >О или f(x) <О).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего
вида.
5.Найти асимптоты графика функции.
6.Найти интервалы монотонности функции.
7.Найти экстремумы функции.
8.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-
ции.
На основании проведенного исследования построить график функ ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя
зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не сколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем
211
понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол
нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро
вождать постепенным построением графика функции.
При.мер 25.14. Исследовать функцию у= ~lх и построить ее
-х
график.
Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной. выше схе
мы исследования.
1. Функция не определена при х = 1 их= -1. Область ее опреде
ления состоит из трех интервалов (-оо; -1), (-1; 1), (1; +оо), а график
из трех ветвей.
2.Если х ==О, то у =О. График пересекает ось Оу в точке 0(0; О); если у= О, то х =О. График пересекает ось Ох в точке 0(0; О).
3.Функция знакоположительна (у > О) в интервалах (-оо; -1) и
(О; 1); знакоотрицательна - |
|
в (-1; О) и (1; +оо). |
|
4. Функция у=~ является нечетной, т. к. |
|||
1-х |
|
|
|
у(-х) = 1 |
|
-х |
х |
- |
( )2 |
= -- 12 = -у(х). |
|
|
-х |
-х |
|
Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди
нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х ;;::: О.
5. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:
k = |
. 1 ~х2 |
= |
1· |
|
1 |
|
= |
О |
lffi -- |
lffi |
--- |
|
|||||
1 |
|
х |
2 |
|
||||
|
х--+со Х |
|
х--+со 1 - |
|
|
|
||
(k =О при х-+ +оо и при х-+ -оо), |
|
|
|
|
|
|||
Ь= lim (х- -Ох)= lim - х |
|
=О. |
||||||
ж--+оо |
1 - Х2 |
|
х--+оо 1 - |
:z;2 |
||||
Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = О. Прямая у = О является асимптотой и при х --+ +оо, и при х -+ -оо.
6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как
У |
1 |
= |
(-х-)' == 1(1- х2 ) - х(-2х) = х2 +1 , |
||
|
|
1 _ х2 |
(1 _ х2)2 |
(1 _ х2)2 |
|
то у' > О в области определения, и функция является возрастающей на
каждом интервале области определения.
7. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = (lx~~2)2, то
критическими точками являются точки х1 = 1 и х2 = -1 (у' не суще
ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ
ция экстремумов не имеет.
212
8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":
у"= ( х2 + 1 |
) '= 2x(l - х2)2 - (х2 + 1)2(1 - |
х2 )(-2х) = 2х(х2 + 3). |
(1 -х2)2 |
(1 -х2)4 |
(1 -х2)3 |
у
х
у= 1-х2
х
у'~2
-1 |
о |
1 |
х |
|
Рис. 159 |
|
Рис. 160 |
Вторая производная равна нулю или не существует в точках х1 =
= О, х2 = -1, Хз = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.
Точка 0(0,0) - точка перегиба графика функции.
График выпуклый вверх на интервалах (-1; О) и (1; оо); выпуклый
вниз на интервалах (-оо; -1) и (О; 1). |
• |
|
График функции изображен на рисунке 160. |
||
|
§26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Вопределении функции у= f(x) не говорится о том, при помо~ци
каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях,
когда функция является формулой вида у = х53 - 5х + 7, значения
функции найти легко с помощью четырех арифметических действий.
Но как найти значения, например, функций у= sinx, у= ln(l + х) при любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = f(x), ее заменяют многочленом Pn(x) степени n, значения которого всегда и
легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию
многочленом дает формула Тейлора.
213
26.1. Формула Тейлора AJlЯ многочлена
Пусть функция f(x) есть многочлен Pn(x) степени n:
f(x) = Рп(х) = ао + aix + а2х2 + ... + anxn.
Преобразуем этот многочлен также в мн0«>член степени n относитель но разности х-хо, где х0 - произвольное число, т. е. представим Pn(x)
в виде |
|
Pn(x) = Ао + Ai (х - хо)+ А2(х - хо)2 + ... + Ап(х - хо)п. |
(26.1) |
Для нахождения коэффициентов Ао, Ai, ... , An продифференцируем п
раз равенство (26.1):
Р~(х) = Ai + 2А2(х - хо)+ ЗАJ(Х - хо)2 + ... + пА"(х - x0 )n-l,
Р;.:(х) |
= 2А2 + 2 · ЗАз(.т - хо)+ |
.. + n(n - l)An(x - x0)n-z, |
Р;.:1 (х) |
= 2 · 3А3 + 2 · 3 · 4А4(х - |
хо)+ ... |
...+n(n - l)(n - 2)Ап(х - хо)п-3 ,
p~n) (х) = п(11 - l)(n - 2) ... 2 · 1An·
Подставляя х =хо в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Pn(xo) = Ао, |
т. е. |
Ао = Рп(хо), |
|
|
|
А _ |
Р~(хо) |
|
т. е. |
1 - |
_1_!_' |
Р::(хо) =2А2,
Р;.:1 (хо) = 2 · ЗАз,
А |
_ Р;:,(хо) |
|
||
т. е. |
- |
2! |
' |
|
2 |
||||
|
1 |
Р;:,'(хо) |
|
|
т. е. Аз= |
, |
|||
З! |
||||
p~n)(xo) = п(п - 1) ... 2 · 1An,
Подставляя найденные значения А0, А1 , ... , An в равенство (26.1), по
лучим разложение многочлена n-й степени Pn(x) по степеням (х - х0):
Р~(хо) |
хо)+ |
Р;{(хо) |
(х - |
Хо)2 + ... |
||
Pn (х) = Pn (Хо) + - |
- |
-(т - |
1 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
2. |
|
|
... + PJn)(xo) (х - хо )n. (26.2)
п.1
214
~Формула (26.2) называется формулоii. Teii.лopa дJtS& многочле на Рп(х) степени n.
Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х) = -4х3 |
+ 3х2 - |
2х + 1 |
||||||
по степеням х + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а Решение: Здесь Хо= -1, Р'(х) = |
-12х2 + 6х - |
2, Р"(х) = -24х + 6, |
||||||
Р111 (х) = -24. Поэтому Р(-1) |
= |
10, Р'(-1) |
= |
-20, |
Р"(-1) |
= |
30, |
|
Р"'(-1) = -24. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(х) = |
-20 |
|
30 |
-24 |
|
|
|
|
10 + -1-(х + 1) + |
2Т(х + 1) 2 |
+ згС.r + 1) 3 , |
|
|
||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4х3 + 3х2 - |
2х + 1=10 - |
20(:r + 1) + 15(:r + 1) 2 - |
4(х + 1) 3 . |
8 |
||||
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у = f(x). Формула Тейлора птволяР1, при опредt'ленных условиях, приближенно представить функцию f (х) в ви
де многочлf'на и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция f (х) определена в некоторой окрест ности точки х0 и имеет в ней производные до (n + 1)-го порядка
включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка
с Е (х0; х) такая, что справедлива формула
|
f'(.ro) |
|
f"(xo) |
хо) |
2 |
+ ... |
|
f(x) =/(хо)+ -!-(х - |
хо)+ - |
-!-(х - |
|
||||
|
1 |
|
п |
2 |
|
|
n+1 |
|
f(n)(xo) |
|
f(n+l)(c) |
|
|
||
... + |
n.1 |
(х - |
хо) + |
(п+ l)'. |
(х - |
|
хо) |
|
|
|
(с= хо+ В(х - хо), |
О< f) < 1). (26.3) |
|||
~Формула (26.3) называется формулоfi. TeiJ.лopa дJtS& функции
f(x). Эту формулу можно записать в виде f(x) |
= Рп(х) + Rп(х), |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
f'(x ) |
J"(x ) |
2 + ... + |
f(n)(x |
0 |
) |
(х-хо)п |
Рп(х) =f(xo)+-rf-(x-xo)+--2f-(x-xo) |
n! |
|
||||
~называется многочленом Teii.лopa, а
f(n+1)(c)
Rп(х) = (n + l)! (х - xo)n+l
215
~называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Rn (х) есть погрешность приближенного
равенства f(x) 1::::1 Pn(x). Таким образом, формула Тейлора дает воз можность заменить функцию у= f(x) многочленом у= Рп(х) с соот
ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена
Rn(x).
~ При Хо = О получаем частный случай формулы Тейлора - фор му.л.у Мап.л.орена:
f(x) = f(O) +/'(О)х+/"(О)х2 + .. + f(n)(O) xn + j(n+l)(c) xn+l |
(26 4) |
|||||
1! |
2! |
· |
n! |
(п + 1)! |
' |
· |
где с находится между О их (с= Ох, О<(}< 1). |
|
|
||||
При п = О формула Тейлора (26.З) |
имеет вид f(x) |
= !(хо) + |
||||
+ f'(c)(x-xo) или f(x)- f(x0 ) = f'(c)(x-xo), т. е. совпадает с формулой
Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для
приближенных вычислений /(х) 1::::1 /(хо)+ f'(xo)(x - хо) (см. «диффе
ренциал функции») является частным случаем более точной формулы
/'(хо) |
хо) + ... + |
f(n)(xo) |
(х - хо) |
n |
J(х) ~ f (хо) + --(х - |
п! |
. |
||
11 |
|
|
|
|
Прuмер 26.2. Найти число е с точностью до 0,001.
0 Решение: Запишем формулу Маклоренадля функции j(x)=ex. На
ходим производные этой функции: f'(x)=ex, f"(x)=ex, ... , f(n+l)(x)= =ez. Так как J(O)=e0 =1, J'(O)=e0 =1, ... , J(n)(O)=l, J(n+I)(c)=ee, то
по формуле (26.4) имеем:
|
|
х |
х2 |
хэ |
xn |
eexn+I |
|
e"'=l+-1,+-2, +-з,+ ... +-,+ ( |
1) 1' |
||||||
Положим х = 1: |
|
. |
. |
. |
п. |
п+ |
. |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
ее |
||
|
|
||||||
е = |
1 + -1, + 2' + |
31 |
+ ... + 1 |
+ ( |
1)'. |
||
|
|
. |
. |
. |
п. |
n+ . |
|
Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что |
|||||||
остаточный член |
(п ~l)! |
меньше 0,001. Так как О< с< 1, то ее < 3 |
|||||
Поэтому при п = 6 имеем |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
ее |
|
|
|
|
|
|
|
-7, < - 4 = 0,0006 < 0,001. |
|
||||
|
|
. |
50 о |
|
|
|
|
Итак, получаем приближенное равенство |
|
|
|||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
~ |
|
|
е ~ l + 1 + 2! + |
З! |
+ 4! + 5! + 6! |
|
|
|||
~ 2 + 0,5 + 0,1~67 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181~2,718, |
|||||||
т. е. е ~ 2,718. |
|
|
|
|
|
|
8 |
216
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элЕ>ментарных функций:
хз |
х5 |
x2n+1 |
х2n+з |
sinx=x- З! + 51 -."+(-l)n(2n+l)! +(-l)n+\2n+З)! ·сове,
х2 |
х4 |
x2n |
x2n+2 |
cosx=l- 21+4! - ... +(-l)n(2n)1+(-l)n+l(2n+2)!·cosc,
х2 |
хз |
xn |
xn+l |
ln(l + х) = х - 2 + З + ... + (-l)n-1-;- + (-l)n (n + 1)(1 + c)n+l'
(1 + х)µ = 1 + µх + µ(µ2~ 1) х2 + ... + µ(µ - 1). -~~µ - n + 1) xn+
µ(µ |
- 1) ... (Jl - n)(l + c)µ-n-l |
n+l |
+ |
(n + 1)! |
х · |
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1Лекции 23-241
§27. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
27.1.Основные понятия
~Комплексным числом z называется выражение вида z = x+iy,
где х и у - действительные числа, а i так называемая мнимая
единица, i 2 = -1.
~Если х = О, то число О + iy = iy называется чисто мнимъ~м;
если у = О, то число х + iO = х отождествляется с действительным
числом х, а это означает, что множество~ всех действительных чисел
является подмножеством множества <С всех комплексных чисел, т. е. ~с <С.
~Число х называется деii,сmвиmельноii, частью комплексного
числа z и обозначается х = Rc z, а у |
мнимоii, частью z, |
у= lmz.
~Два комплексных числа z1 = х1 + iy1 и z2 = Х2 + iy2 называются
равными (z1 = z2 ) тогда и только тогда, когда равны их действи
тельные части и равны их мнимые части: х1 = х2, У1 = у2. В 9астности,
комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда
х = у = О. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся.
~Два комплексных числа z = т + iy и z = х - iy, отличающиеся
лишь знаком мнимой части, называются соnря:нсенными.
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
|
1 |
|
Всякое комплексное число z = х + iy |
у |
|
можно изобразить точкой М(х;у) плоскости |
|
м |
Оху такой, что х = Rez, у = lmz. И, на |
у |
|
|
|
|
оборот, каждую точку М(х; у) координатной |
|
|
плоскости можно рассматривать как образ |
|
|
комплексного числа z = х + iy (см. рис. 161). |
о |
х х |
~ Плоскость, на которой изображаются |
|
|
|
|
|
комплексные числа, называется комn |
|
Рис. 161 |
лексноii. плоскостью. Ось абсцисс называется деi1,ствите.яъноi1.
осью, так как на неi! лежат действительные числа z = х + Oi = х.
Ось ординат называется мнимоii, осью, на ней лежат чисто мнимые
комплексные числа z =О+ iy.
218
§Комплексное число z = х + iy можно задавать с помощью радиус-
вектора r =ОМ= (х;у). Длина вектора r, изображающего ком
плексное число z, называется мoiJy.tteм этого числа и обозначается jz/ или r. Величина угла между положительным направлением дей
ствительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, на
зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z
или ер.
§Аргумент комплексного числа z = О не определен. Аргумент ком-
плексного числа z -::f О - величина многозначная и определяется с
точностью до слагаемого 21Тk (k =О, -1, 1, -2, 2 ... ): Argz =argz+27rk,
где arg z - гл.авное значение аргумента, заключенное в проме
жутке (-11"; 7r], т. е. -71" < arg z :::; 1Т (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 27r)).
27 .З. Формы записи комплексных чисел
§Запись числа z в виде z = ~ +iy называют а.л,гебраuческоii. фор моi1. комплексного числа.
§Модуль r и аргумент ер комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора f =ОМ, изображающего ком
плексное число z = х + iy (см. рис. 161). Тогда получаем х = rcos<p,
у = r sin <р. Следовательно, комплексное число z = х + iy можно запи сать в виде z = r cos ер + ir sin <р или
z =r(cos<p+isincp).
Такая запись комплексного числа называется трuгонометрu-ческоii. формоi1..
Модуль r = lzl однозначно определяется по формуле
r = lzl = Jx2 +у2.
Например, lil = .../02 + 12 = 1. Аргумент <р определяется из формул
х |
. |
у |
tgcp = '#.__ |
COS<p = -, |
SШ<р = -, |
||
r |
|
r |
х |
Так как
ер= Argz = argz + 2k1Т,
то
coscp = cos(argz + 2k7r) = cos(argz), sin<p = sin(argz).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи
сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе
ние аргумента комплексного числа z, т. е. считать ер = arg z.
219