1.3. Индукция и дедукция как основные приемы обоснования математических предложений

Различают два основных вида умозаключений – индукцию и дедукцию.

Индукция – это умозаключение, при котором из одного или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение. Различают два основных вида индукции – неполную и полную.

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ЛОГИЧЕСКИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ДЕДУКТИВНЫЕ

ИНДУКТИВНЫЕ

ПРЯМОЕ

КОСВЕННОЕ

аналитическое

синтетическое

доказательство от противного

метод математической индукции

метод полной индукции

метод геометрических преобразований

метод симметрии

метод поворота

метод параллельного переноса

алгебраический метод

метод площадей

координатный метод

векторный метод

метод равенства и подобия треугольников

метод симметрии

метод поворота

метод параллельного переноса

Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких, но не всех, единичных суждений.

В процессе обучения неполная индукция широко применяется в младших классах (например, при изучении переместительного закона сложения из одного или нескольких примеров типа “5 + 2 = 2 + 5” делается общий вывод: “а + в = в + а”).Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, неполная индукция не является методом логического доказательства.

Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений, относящихся к рассматриваемой ситуации.

Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным, полная индукция является методом логического доказательства. Однако используется этот метод редко по следующим причинам: 1) громоздкость, 2) невозможность рассмотрения всех единичных и частных суждений в силу того, что их бесконечно много.

Тем не менее, можно привести примеры использования полной индукции: при изучении вопроса об измерении вписанного угла рассматриваются все возможные случаи: 1) одна из сторон угла – диаметр окружности; 2) диаметр лежит между сторонами вписанного угла; 3) диаметр находится вне угла.

Дедукция – умозаключение, при котором из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее суждение.

Пример. См. пример умозаключения на с. 19: первое суждение – общее, второе суждение – частное, новое суждение – вывод – новое, менее общее суждение. 

Таким образом, сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение.

Дедукция является основным методом логического доказательства.

Дедуктивное доказательство теорем характеризуется логической последовательностью шагов, обязательностью обоснований и их ссылками на уже признанные достоверными математические факты.

2. Методика обучения доказательству теорем

2.1. Воспитание потребности в логическом доказательстве

В начале изучения геометрии в основной школе происходит переход к строгим логическим обоснованиям математических предложений. Этот переход всегда вызывал и вызывает значительные трудности: учащиеся не только не усваивают идеидоказательства, плохо отыскивают последовательность шагов, но и не видят надобности в самом логическом доказательстве, особенно если доказываемый факт наглядный.

Причины этого явления кроются в том, что до седьмого класса мы ограничиваемся индуктивными обоснованиями. Поэтому для учащихся достаточно чертежа, из которого и так все ясно. Одной из проблем школьных учебников по геометрии является то, что в них совершенно не показано, как думало человечество, создавая ту или иную теорию, более того, там нет попыток показать, как думал математик, создавая то ил иное доказательство, и уже практически совсем нет попыток учить ученика рассуждать и доказывать.

Для воспитания потребности в логическом доказательстве необходимо организовать специальную работу в 5-6 классах, показав преимущества логического обоснования по сравнению с другими.¹

Кратко охарактеризуем основные приемы этой работы.

1. Воспитание критического отношения к заключениям, основанным на неполной индукции.

Пример. Справедливо ли “свойство” обыкновенных дробей: если числитель и знаменатель содержит одинаковую цифру, то на нее “можно” сократить?

Учитель приводит “примеры"

После чего показывает, что эти примеры специально подобраны, в общем случае это несправедливо .

2. Полезно использовать особенности зрительных восприятий, показывая, что нельзя доверять простым зрительным впечатлениям.

Пример. Какой отрезок длиннее? <––––––>

>­­­––––––< 

3. Уместно показать относительность результатов измерений.

Пример. Проанализировать предложение “Длина отрезка АВ равна 25 см”, вызвав к доске для измерения одного и того же отрезка учеников с линейками, шкалы которых различны. 

В методической литературе выделяют несколько уровней обучения доказательству. Первый уровень рассмотрен выше: он должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получить новые предложения. Следующий, второй уровень, должен характеризовать умения школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять эвристические приемы. На этом уровне следует формировать действия преобразования заключение теоремы в равносильное ему, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий и т.д. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска доказательства. Данный уровень по характеру своих действий наиболее свойственен первым разделам курса планиметрии, которые содержат и многие эвристики, основанные на ассоциациях «равенство отрезков – равенство треугольников», и т.д. Формированию эвристик учитель должен уделить самое серьезное внимание.

Обучение анализу доказательства, выделению логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применение эвристических приемов – составляет содержание третьего уровня обучения школьников доказательству.

Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого уровня работы с доказательством. На этом уровне осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т.д. Он соответствует программе 7-8 классов.

Содержание пятого уровня обучения доказательству составляет обучение умению опровергать предложенные доказательства. С точки зрения методики обучение умению опровергать предложенные доказательства очень важно.

Таким образом, под обучением доказательству можно понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств.