Основные допущения irt

1) существуют латентные (скрытые) параметры личности, недоступные для непосредственного наблюдения. В тестировании это уровень подготовленность испытуемого и уровень трудности задания;

2) существуют индикаторные переменные, связанные с латентными параметрами, доступные для непосредственного наблюдения. По значениям индикаторных переменных можно судить о значениях латентных параметров;

3) оцениваемый латентный параметр должен быть одномерным. Это означает должен измерять знания только в одной, четко заданной, предметной области.

Математические модели irt

В качестве математической модели, связывающей успех испытуемого с уровнем его подготовленности и трудностью задания выбирается логистическая функция. Для модели Раша она имеет вид

                    (1)

                    (2)

Масштабный множитель 1,7 используется для совместимости модели G.Rasch  с моделью A.Fergusson, где вероятность правильного ответа на задание выражена интегралом нормального распределения что позволяет использовать  вместо логистических кривых хорошо изученную интегральную функцию нормированного нормального распределения⁷

             (3)

Модель Раша носит название «1 Parametric Logistic Latent Trait Model» (1PL), а модель A.Fergusson - «1 Parametric Normal Ogive Model» (1PN). Поскольку модель Раша описывает вероятность успеха испытуемого как функцию одного параметра (θ_i - β_j), то иногда ее называют однопараметрической моделью IRT.

Взаимодействие  двух множеств θ_i и β_j  образует данные, обладающие свойством «совместной аддитивности» (conjoint  additivity). Правильное использование модели Раша позволяет отделить оценки испытуемых от оценок трудности заданий и наоборот. Это свойство Rasch Measurement  носит название separability parameter  estimates⁸ - «независимость оценок заданий от испытуемых и оценок испытуемых от параметров заданий».

На рис.1. показаны три характеристические кривые согласно уравнению (1) с трудностями заданий -2, 0 и +2 логита (первое самое легкое, второе - среднее, третье самое трудное). Из приведенных зависимостей видно, что чем выше уровень

Рис.1. Характеристические кривые заданий (ICC) в модели (1PL).

подготовленности θ  испытуемого, тем выше вероятность успеха в том или ином задании. Например, для испытуемого с θ =0 вероятность правильно ответить на первое задание близка к единице, на второе равна 1/2 и на третье почти равна нулю. Отметим, что в точках, где θ = β вероятность правильного ответа равна 0,5. То есть, если трудность задания равна уровню подготовленности (ability) испытуемого, то он с равной вероятностью может справиться или не справиться с этим заданием.

Характеристические (логистические) кривые для заданий теста в англо-язычной литература называются Item Characteristic Curve (ICC).

На рис.2. показаны три характеристические кривые испытуемых согласно уравнению (2) - «Person Characteristic Curve» (PCC). Показаны графики для трех испытуемых с уровнем подготовленности -2 логита (самый слабый), 0 логитов (средний) и +2 логита (сильный испытуемый).

Из приведенных зависимостей видно, что чем выше уровень подготовленности, тем выше вероятность правильного ответа на задание. Например, задание с трудностью  b = 0 первый испытуемый ( q=-2) практически не сможет выполнить, второй  q = 0) имеет вероятность выполнения задания равную 0,5, третий q=+2) легко справится с заданием, так как для него вероятность успеха почти равна единице.

Рис.2. Характеристические кривые испытуемых (PCC) в модели 1PL.