Тесты по математике

10

11

12

13

14

15

Вычислить

значение

частной

производной

функции,

заданной

неявно x3 + y3 + z3 - 3xyz - 4 = 0 ,

М0

(2;1;1) zx/

(М0) = ?

Вычислить значение частной

производной функции, заданной

x3 + y3 + z3 - 3xyz - 4 = 0,

неявно M 0 (2;1;1),

Z y/

(М 0 )

= ?

Вычислить значение частной

производной функции, заданной

x 2 + y 2 + z 2 - xy - 2 = 0,

неявно M 0 (-1;0;1),

Z x/

(М 0 ) = ?

Вычислить значение частной

производной функции, заданной

ez - xyz - x +1 = 0,

неявно M0 (2;1;0),

Z y/

(М 0 )= ?

н

Вычислить значение частной

производной функции, заданной

н

x cos y + y cos z + z cos x =

П

,

2

неявно

æ

П

ö

/

о

M 0

ç0;

; П ÷, Z x (М

0 ) = ?

2

è

ø

Вычислить значение частн й

производной функции, заданн й

т

П

неявно x cos y + y cos z + z cos x = 2

,

æ

П

к

ö

M 0 ç

0;

2

; П ÷, Z y/ (Мр0 )= ?

è

е

ø

						о	т	е	к
1			2
					и		3
-1			-3	л			0
		и	б
-1	б		1				2
2			0				2
ая			0				-П
∞

1

0

∞

41

4

1

-2

-2

П

2

П

2

16

17

18

19

20

21

22

23

Вычислить значение частной производной функции, заданной

неявно x2 +( 2y2)+ 3z2/ (= 59,)=

M0 3;1;4 , Zx М0 ?

Вычислить значение частной производной функции, заданной

неявно x2 +( xy + z)2 − 4/z(= −3),

M0 1;−1;1 , Z x М0 = ?

Если U = cos(x2 − y + z 3 ), то значение U y/ в точке M (0;− π2 ;0) равно

Если U = sin(x + 2y 2 − z), то значение

U z/ в точке			π		равно
		M ( 2 ;0;0)
Если z= х 2 у 3		+ х3 у , то значение z y/							в
точке М(1;1) равно
Если z= х 2 у 3		+ х3 у , то значение zх/							в
точке М(1;1) равно									н
Если z =	x		, то z xx//			равно		о
	1− 2y						р
Если z =	x		, то z ху			авно
	1− 2y
			е	к		т

н

																							е		к
− 1							1											о	т
																			1
4							4										и		12
0							−				3			л					−		1
										2											2
1				б	и				б										0
										2
							2
-0,5							0												1
ая							-3												4
0
-3							0												-5
4x							8x 2												8xy
(1− 2y)2
						(1− 2y)3
8x 2							2												2
						(1− 2y)2													1− 2y
(1− 2y)3
42

∞

1

2

0,5

2

2

5

5

0

-3

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

Если z =

x

, то z

уу//

равно

1− 2y

Если z = х + у +

xу

, то z xx//

равно

х − y

Если z = х + у +

xу

, то z уу//

равно

х − y

Если z = x3

− 2xy 2 − y3 , то z yy//

равно

Если z= 3х 2

+ 6ху + 5х + 2у 2 ,

тогда

grad z в точке А(-1;1)

Если z= х 2

− 5ху + 2у 2

− 2, тогда

grad z в точке А(1;1)

Если U = х 2

+ у 2 − z 2 ,

тогда

grad U

в точке А(1;-1;2)

н

Если U=

х 2 + у 2 + z 2

, тогда grad

U в точке А(-1;2;0)

о

Функция полезности

р

U = 5

x

+ y, тогда кривая безразличия

задаётся уравнением

т

Функция полезности

к

U = 4

y

+ x, тогда кривая безразличия

задаётся уравнением

е

23

4x

(1− 2y)2

8x2 у

(х − y)3

-4ух-3у

б

5i-2j

3i+j

ая

н

2i-2j-4k

5

i −

2

j − k

2

5

5y

= c

x

4х

= c

у

43

4x

(1− 2y)2

			2у 2							л
	(х − y)3
					б
					4x
	(х − y)2
и		− 4ух − 3у 2
3х2
			2i+5j
			i+j
-2i+4j-4k
5i-3j-6k
	5				+ y = c
			x
	4
					x			= c
			y

и

				е
		т	2
		8x
	(1− 2y)				3
о		8x2
		(х − y)3

2

х − y

-4х

3

-3i-j

-2i-2j-4k

−	1						i +			2
5								5
5
							x		= c
				y
4							+ х = c
				у

к
							2
						1− 2y
												2
							2
							2x 2
				(х − y)3
				-4х-6у
						2i-5j
							-4
							24
j							1
		5									+1 = c
	2
							x
	2										+1 = c
					у

34Производятся два вида товаров: х и у. Цены на эти товары

соответственно равны

	р1 = 8,	р2	= 10. Функция затрат
	С(х; у) = х2		+ ху + у 2 . Найти максимум
	прибыли.
35	Для производственной функции
	z = 4x3	− xy 2 + 5y определить
	коэффициент эластичности
	Ex (z),	где	х = 1	у = 2.
36	Для производственной функции
	z = 4x3	− xy 2 + 5y определить
	коэффициент эластичности
	E у (z),	где х = 1		у = 2.
37	Составить уравнение касательной
							н
	плоскости к поверхности z =xy в
	точке М(3;4;12)
38	Составить уравнение касатель й
	плоскости к поверхности
	х2 + у 2	+ z 2	− 26 = 0 в точке М(3;4;1)
39						т
	Составить уравнение касательнойо
	плоскости к поверхнос и
					к
	х 2 − у 2	− z 2	= 1 в точке М(3;2;2)р
				е

							о	т	е	к
	2			4							36
								28
					л	и
				б
	1							0,2			8
		б	и	0,8
	2			0,8				0,2			8
н	ая			12=0
4x-3y-z=0			4x+3y-z-				4x-y-z-2=0				-4x+3y+z=1
3x-4y-z-			3x-4y-6=0				3x+4y+z-26=0				4y-3z=0
26=0
3x-2y-z-1=0			3x-2y-2z-1=0			2y-z-3=0					3x-2z-1=0

44

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Cоставить уравнение нормали к поверхности е z − z + xy = 3 в точке М(2;1;0)

Составить уравнение нормали к поверхности х 2 + у 2 − z 2 = 1 в точке М(1;0;3)

Найти точки экстремума функции

z = −x2 + y 2 + xy − 2x − 6y

Найти точки экстремума функции

z = ух − y 2 − x + 6y

Найти экстремум функции

z = x2 + xy + y 2 = y + x − 4 при условии х+у+3=0

Найти экстремум функции

z = x2 + 2y 2 при условии 3х+2у=11

Найти экстремум функции

z = x2 − 2xy + 2y 2 + 2x

Найти экстремум функции

z = −x 2 − y 2 + 2y + 4x

Найти точки экстремума фу кции

z = x 2	+ xy + y	2 − 6y − 3x					н
Найти стационарные точки функции
z = x 2	+ xy + y	2 − 3x − 6y				о
Найти число стациона ных очек
функции					р
z = x 4	+ y 4 − 2x 2 + 4xy −			2y 2
		е	к	т

x −1 2 = y2−1 = 0z

x2−1 = 2y = z −0 3

	(0;2)
	(4;4)	б
	-4
	ая
н	(3;2)
	-2
	2
	(0;-3)
	(0;0)
	0

45

x − 2

=

y

=

z

1

2

0

x −1

=

y

=

z − 3

2

0

− 6

б

л

и

(1;-2)

4

(4;0)

11

2

1

(0;3)

(0;1)

1

							е			к
	x			т			= z
		= y −1
1		о		2			0
и		− 2			y
	x			=			=	z
		1		2			0
		экстремума
				нет
				(-4;4)

-5

-11

-1

5

9

(1;0)

3

x +1 2 = y2+1 = 0z

x −1 2 = y2−1 = 0z

(-4;3)

(-4;-4)

-4,75

(-3;2)

1

0

-9

(-1;0)

2

51

52

53

54

55

56

57

Найти число стационарных точек функции

z = x3 + y3 + 6xy

Найти экстремум функции

z = x3 + 8y3 − 6xy + 5

Найти экстремум функции

z = x 2 + xy + y 2 − 6x − 9y

Найти экстремум функции

z = x3 + xy 2 + 6xy . В ответе указать их

сумму

Найти число стационарных точек функции

z = х3 − 2x 2 y + 3y 2

Найти число стационарных точек функции

z = х3 + xy 2 + 6хy

Найти число стационарных точек функции

z= (х − у)2 + (у −1)3

ек т р о н

н

2

1

21

6

1

ая1

1

46

1

		4	л	и
	-21
	6	б2
		3
б	и	2
		2

о	т		е
	3
	0,5
	15
	-6
		3

3

3

0

к

0

0

5

0

0

4

3

т

е

к

Тема 7. Интегрирование функции одной переменной

№

Варианты

тветов

и

о

п/п

Текст вопроса

1

+ 1

2

4

3

1.

Вычислить неопределенный

2 x

2

x6 + 1

12x5

6

интеграл ò

x6 + 1

б

x

6

+ 1

x + arctgx

1 + arctgx

2

Вычислить неопределенный

1

2

л

x +

arctgx

интеграл ò

x

dx

2

x2

+ 1

3

Вычислить неопределенный

6

6

2

25 + 3x

25 + 3x

dx

xб

и

3

интегралò

25 + 3x

25 + 3x

4

Вычислить неопределенный

ln x +

1

ln

2

x2

+

1

ln

2 x

1

+ ln

2

x

1 + ln x

2

x

интеграл ò

dx

2

2

x

5

Вычислить неопределенный

1

2 2x

1

1 − cos 2x

dx

−

tg

-

ctg2x

ln

2

2

1 + cos 2x

интеграл ò

н

н

ая

1 − cos2 2x

6

Вычислить неопределенный

1

2

3

1 + x2

о

(1 + x

)

интеграл ò x

1 + x2

dx

x +1

2

1 + x2

7

Вычислить неопределенный

2

2

3

р

интеграл ò

x +1 dx

т

− 3 (x + 1)

2

3

(x + 1)

8

Вычислить неопределенный

x cos

2sin

sin

x

x

x

cos

к

x

x

интегралò

dx

x

е

47

4 5

x6 + 1

x − arctgx

325 + 3x

2 ln x

x − cos3 2x 3

13 (1+ x2 )3

x2 + x

2

2x cos x

9Вычислить неопределенный интеграл ò sin x cos3 xdx

10Вычислить неопределенный интеграл ò x2 dx

1+ x6

11Вычислить неопределенный

интеграл	ò	dx
		(1- x)17

12Вычислить неопределенный интеграл ò sin 2x ×sin xdx

13Вычислить неопределенный

интеграл ò		сos2x				dx
	cos	2	x sin	2
					x

14Вычислить неопределенный интеграл ò sin12x dx

15Вычислить неопределенный

интеграл ò		1		dx
		2

16Вычислить неопределенныйр интеграл ò ln 2x dx т

x2 е к- x - 56x

о	н

-cosx×

sin4 x

sin4 x

4

4

и

x 6

x3

3

л

1

(1- x)16

16(1- x)16

и

1

2 sin

3

x

-

6

sin 3x +

б

б

3

+

1

sin x

2

− ctgx + C

− ctgx − tgx + C

ая

+C

0,5 ln | tgx | +C

5 ln | tgx |

н

+ С

x − 3

- 2

2 - х

2 arcsin

+ C

2

	-	1	ln 2x +	1	-	1	ln 2x -	1
								x
		x		x		x

48

	о	т	е		к
				x
		3cos2
		arctg x			3

-1 16(1- x)16

12 cos 2x + cos x

−tgx + C

−0,5 ln | tgx | +C

-arcsin x −2 3 + C

-12 ln 2x - 1x

- cos4 x 4

13 arctg x3

(1- x)17

17

12 cos 2x × cos x

ctgx + tgx + C

− 0,5 cos x + C

arcsin x 2− 3 + C

- 21xln2x- 21x

17 Вычислить неопределенный интеграл ò xe−3xdx

18 Вычислить неопределенный интеграл òarcsin xdx

19 Вычислить неопределенный интеграл ò ln(x2 +1)dx

20 Вычислить неопределенный интеграл ò x ×2−x dx

21 Вычислить неопределенный интеграл ò xcos7x dx

22 Вычислить неопределенный интеграл ò xe - x dx

23 Вычислить неопределенный интеграл ò ln xdx

24	Вычислить неопределенный
	интеграл ò x ln xdx
25	Вычислить неопределенный
	интеграл ò	x				dx	т
		sin	2	x
26
	Вычислить неопределенный
	интеграл ò		x			к		р
			2	x		dx
		cos
				е

о	н

о

е

к

x −3x 1 −3x xe−3x + e−3x

x

-xe−3x -e−3x

−3x

1 −3x

-

e

-

e

e

-

e

3

9

-

3

3

и

т

1

x ×arcsin x +

1

2

arcsinx +

arcsinx +

1- x

xarcsin x +

+ 1- x2

1- x2

1- x2

ln (x 2 + 1)+

x ln(x 2

л

+ 1)+ x ln(x2 + 1)+ х xln(x2 +1)-2х +

+ 2arctgx

+ 2arctgx

+ 2arctgx

+2arctgx

- x×2−x

- 2−x

x × 2−x

-

2−x

- x × 2−x

+ 2−x

x×2−x

+ 2−x

б

ln 2

ln2 2

ln2

ln2 2

ln 2

ln 2

ln2

ln2 2

x sin 7 x +

cos 7 x

x sin 7x + cos 7x

x

1

x

1

7

и

7

sin7x

−

7

cos7x

7

sin7x +

49

cos7x

xаяln x − x

−x

x ln x - 4x

2

x2

− x

x

2

− x

x2

− x

x2

− xe

−x

+ e

− xe

− x

− e

− x

xe

− e

xe

+ e

− x

б

н

x ln x − x

x ln x −1

ln x − x

x ln x + x −1

ln x -

ln x +

2

4

2

4

ln x − xctgx

xctgx − ln x

ln | sin x | −x

ln | sin x | −xctgx

xtgx − ln | cos x | xtgx + ln | cos x |	x	2	ln x -	x	2	x ln x − x
	2
			4

49

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Вычислить ∞ò						dx
						4
	1 (x +1)
Вычислить	∞						dx
	ò
						2
	−∞ x						+ 4x + 9
Вычислить	∞òarctgxdx
	0
Вычислить	ò3						dx
					9 - x2
	0
Вычислить	ò5					dx
					5 - x
	1

Найти сумму коэффициентов разложения подынтегральной дроби

dx

ò (x - 3)(x + 4)

Найти сумму коэффициентов разложения подынтегральной дроби

		x + 2
	ò		dx
		x(x + 4)		н
	Найти сумму коэффициентов

разложения подынтегральной дроби
	(x - 8)					о
ò		dx
	x2 (x - 3)
Найти сумму коэффициент в
				т
разложения подынтег альной д оби
	x		к		р
ò (x2 +10)×(x - 2) dx
		е

0

0

расходится

расходится

	4				б
	-		2
	7
	ая
н	0
		8
	3
		5
	7

50

∞

			и
расходится
	0	л
	б
и	0
	0
	0

1

4

- 83

1

		е			к
		24
о	тπ
			1
			1
	-		π
			2
	-4

- 17

1

10

9

- 72

- 241

π

5

π

2

π

2

расходится

2

7

- 12

-1

7

5