Тесты по математике

№ п/п

1

2

3

т

е

Тема 9. Криволинейные и поверхностные интегралы

и

о

тветов

Текст вопроса

л

Варианты

1

2

3

Вычислите поверхностный

0

3

б

32

3

интеграл первого рода òò zdσ , где

3

3

σ

и

σ - часть плоскости x + y + z = 4 ,

ограниченная первым октантом

б

( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0

Вычислите поверхностный

0

3

3

интеграл первого рода òò ydσ , где

ая

6

3

σ

σ - часть плоскости x + y + z = 1,

ограниченная первым октантом

н

( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )

Вычислите поверхностный

н

125

125

5

3

3

интеграл первого рода

òò(y + z)dσ ,

3

3

где σ - часть плоскости

σ

о

,

x + y + z

= 5

ограниченная первым октант м

( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )

т

р

е

к

61

к

4	5
4	1

4 1

4 1

Вычислите поверхностный интеграл первого рода òò xyzdσ , где

4				σ
	σ - часть плоскости x + y + z = 1,
	ограниченная первым октантом
	( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )
	Вычислите		поверхностный
	интеграл первого рода
5	òò zdσ , где	σ - часть сферы
	σ
	x2 + y 2 + z 2 = 1,			ограниченная
	первым октантом ( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )
	Вычислите поверхностный
	интеграл первого рода
6	òò(y + z)dσ , где σ - часть плоскости
	σ
	x + y + z = 3, ограниченная первым
	октантом ( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )						н
	Вычислите
			поверхност ый
	интеграл первого рода					о
	òò(y + z)dσ , где	σ - часть пл ск сти
7	σ			т	р
	x + y + z = 10 , ограниченная пе вым
	октантом ( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )
		е	к

н

3

120

3

2π				π	б				л
				2
			б	и
ая				120	3
9	3
9
	3			1000			3
					3

62

					т	е
		о
	3
и	120
	0

3 120

3 120

к

-120 3

π

-120 3

-120 3

1

1

1

1

Вычислите поверхностный интеграл первого рода

8

òò(y + z)dσ , где σ - часть плоскости

σ

x + y + z = 6 , ограниченная первым

октантом

( x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 )

ò (x −

1

)dy ,

где L-

дуга

кривой

9

L

y

y = x2 от О(1,1) до (2,4).

10

ò (xy − y2 )dx + xdy ,

где

L-

дуга

L

кривой y = x2 от О(0,0) до (1,2).

ò ydx − xdy , где L- дуга окружности

L

11

y = R sin t, x = R cos t ,

пробегаемая

против хода часовой стрелки

ò (xy − x)dx +

x2

dy ,

где

кривая L-

12

L

y

н

дуга графика y = 2

от точки (0,0)

x

до А(1,2)

р

ò xdy ,

где дуга синусоиды

y = sin x

13

L

т

о

от (π ,0) до (0,0)

к

е

н

9	3	1000	3
			3

1				2	б	л
1			и	2
0		б		1
ая			11
11
20

0 2

63

				т	е
		о
18			3
и
14		− ln 2
	3

31

30

R2π

2

20

3,4

к

-120 3

0

0

−R 2π

2

13

20

-2

1

- 3031

1

30

π

0

π

	ò ydx − xdy,	где	L-дуга	эллипса
	L			при
14	x = 6 cos t, y = 4 sin t
	положительном		направлении
	обхода
	ò ydx − xdy,	где	L-дуга	эллипса
	L			при
15	x = 6 cos t, y = 4 sin t
	отрицательном		направлении
	обхода
	ò ò ydy , где	L-	верхняя	половина
	L

16окружности x = R cos t, y = R sin t ,

обходимая против часовой стрелки.

	ò xdy -	верхняя			половина
	L						н
	L
17	окружности x = R cos t, y =				R sin t ,
	обходимая	против			часовой
	стрелки.
	ò xdy -	верхняя			пол вина
18	окружности x = 4 cos t, y =				р	оелки
					4sin t ,
				т
	обходимая против часовой ст
		е	к

-48π

-48π

0

н	ая
	0
	0

64

б

2π

2	π	б	л
и
2π

π

R2

π

16

	0	т	е
и	о
	0

π

π R

4π

к

48π π

48π π

-π 1

-π πR2

2

-π 8π

	ò xdy -	верхняя		половина
19	L
	окружности x = 2 cos t, y = 2sin t ,
	обходимая против часовой стрелки
	ò xdy -	четверть	окружности		в
20	L
	первой	четверти x = 2 cos t, y = 2sin t ,
	обходимая против часовой стрелки
	ò xdy -	четверть	окружности		в

L

21 первой четверти x = R cos t, y = R sin t ,

обходимая против часовой стрелки

		ò 2xydx − x2dy , где L- дуга параболы
	22	L	= 2 y 2 от точки O(0,0) до точки
		x

А(2,1)

ò ydx + xdy , где L-отрезок прямой от

23 L

О(0,0) до В(1,4)

		т	р	о	н
	к
е

0

0

0

1

	ая
н	4

65

б

π

16

		π				л
	16				б
	1
	и
			2
	5
	1

	2π			т	е
и		о
	2π
	R2π
	4
		3
	5
	2

к

-π 8π

π 8π

−	R	2	π	π
		2

12 0

5

1,2 0

№

п/п

1

2

3

4

5

6

Тема 10. Дифференциальные уравнения

Варианты

Текст вопроса

1

2

3

и

Решение уравнения

-х2 +3

х2 +с

х2

+1

(1 + х2 )dy - 2xydx = 0, удовлетворя

б

л

ющее

условию у(1) = 2 имеет

вид

и

Решение уравнения

х2 +1

2х

х3

− 1

(1 + х2 )dy - 2xydx = 0, удовлетворя

б

ющее

условию у(0) = 1 имеет

вид

y = − sin x

Частное решение уравнения

у = 2 -

3

у =

3

/

æ π ö

sin x

sin x

tgx × y

= 2 - y,

yç

÷ = -1

ая

è

2 ø

Найти у(е 2 ), если у(х)- решение

5

4

-4

уравнения 2ху / = 9,

н

удовлетворяющее условию

у(е)=0,5

Найти у(2), если у(х)- частное

3

5

6

решение уравнения ху / - у = х3 ,

о

н

удовлетворяющее условию

р

у(1)=1,5

т

Найти у(5)+у(1), если у(х)-

0

-4

-6

частное решение уравнения

х2 у / + у 2 = 0

к

при у(-1)=1

е

66

т	е	к
о
твет в		4
		х2 -1

х2

у = 2 + sin3 x

9

1

6

5

2х2 +3

-2х

у = - sin1 x

0

8

4

7Частное решение уравнения х2 у / + у 2 = 0 при у(-1) = 1 имеет вид

8Найти f(0), если у=f(x)- решение уравнения у / = 1 +2хх2 ,

удовлетворяющее условию f( 2 )=ln3

9Решить уравнение

(2х+5у)dx+(5x+3y 2 )dy=0

10	Решить уравнение
	(3х2 + 2у)dx + (2x - 3)dy = 0
11	Решить уравнение
	ху / + у = -х2 у 2 , у(1)=1
12	Частное решение уравнения
	(х2 -1)у / = 2ху при у(2)=6 имеет
	вид
13	Решить уравнение
	ху 2 у / = х3	+ у3
14	Решить уравнение
	2ху / = 9,	у(е) = 0,5 . В ответе
	указать у(е2 )					р
15	Решить уравнение
	ху / - у = х3 ,		у(1) =1,5 . В ответе
16	указать у(2)				т
	Частное решение уравнения
	ctgx × у / = 2 - у			к
			при у(0) = -1 имеет
	вид		е

2х+3 х+3

1 3

x+5y=c 5xy+y=c

2xy − 3y = C x3 - 3y = C

		х		х-3
		5		ая	4
	х 2	+ 2		2(х	2 -1)б
у3 =		3х2	н
			ln cx у = 3х2 ln x
о	н
		3			5
-3+2сosx				2-3cosx

67

			х-1					о
							и
			1
			л
			3
	и	б
		+ 5ху + у3 = с
	х2
	x3	+ 2xy - 3y = C
				х2
			х2 + 8

y = x ln cx

-4

6

-2+cosx

т	е	к
		-х
		0

х2 + у3 = с

x3 + 2xy = C

1

х2

2х2 - 2

3х2 - 6

y = cx2

9

1

2-cosx

-х-1

-1

5y-3xy=c

x3 + 2x - 3y = C

3х+2

х2 − 2

y = 3x ln x

0

8

2+cosx

17

Решить уравнение

х4 − х2

2х2 +3

18

ху /

- 2у = 2х4 , у(1)=0

π ) = 0,5

sinx-5

2sinx-3

Решить у / = (2у + 1)сtgx,

y(

4

19

Решить уравнение

сosx

cosx+1

у

/

sin x = y cos x,

æ

π ö

yç

÷ =1

è

2 ø

20

Решить уравнение

е х

е− х

у / + 2у = е х у 2 ,

у(0) =1

21

Решить уравнение

у = х2

1

б

ху/ + у = -х2 у 2

у = х2

22

Решить уравнение

х4

− х2

2х2 +3y

(3х2 + 2у)dx + (2x - 3)dy = 0

ая

23

у

//

+ у / - 6у = хе2х

Решить уравнение

x3

+ y 4

= C

y 4

- x3

= C

(3х2 + 6ху2 )dx + (6x2 y + 4y3 )dy = 0

24

Вычислить

63

н

-57

2к13

- 3к2

+ 3, где к1 , к2 -корни

характеристического уравнения

25

Решить уравнение

о

sinx-

ysinx

у //

+ у = 4sin x,

y(0) = 0,

y / (0) = -1

2xcosx

26

Решить уравнение

р

1

н2

с1 х + с2

т

с1 х

+ с2

ху // - у / = 0

2

27

Найти сумму корней

к

1

3

характеристического уравнения

у

////

- 3у

///

+ 3у

//

- у

/

= 0

е

68

х2 +1

	2sin 2			и		о
			x -		0,5
		л
	б	sinx+1
и		3е х -2
у=1
х2 -1
x3 + y 4 + 3x2 y 2 = C
		51

-2xcosx

2х+с

-1

т	е	к
		х2	-1

2xsinx

sinx

х4 − х2

у= -х2

x3 + 2xy - 3y = c

3ху - у4 + х3 = С

48

sinx-2x

х2 + с1 х + с2

-3

х4 + х2

2 sin 2 x + 0,5

cosx-1

хе х

у= - х12

х2 у + у 2 = c

3ху - у 4 = С

57

cosx-xsinx

с1 х2 + с2 х

2

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

Решить уравнение

у // + у / - 2у = 0, у(0) = 0, у / (0) = 3

Решить уравнение

у // - 2у / + у = 0

Вычислить

4к1к2 + к22 - 3к1 , где к1 , к2 - корни

характеристического уравнения

у // + у / = cos x

Найти сумму корней характеристического уравнения

у //// - 3у /// + 3у // - у / = 0

Решить уравнение

ху // + у / = 0

Частное решение уравнения у // - 4у = 2х3 имеет вид

Найти решение уравнения

у // + 2у / + 2у = хе− х , у(0)=0, у / (0)=0

Найти у(3), если у-частное решение уравнения у // - 2х = 0,

удовлетворяющее условиям
у(1)=1, у(0)=0			р
Решить уравнение
у // = у / × сtgx		т
Частное решение уравнения
у // - 4у = 3е2х имеет вид
е	к

е

к

у = е−2х - е− х

у = е−2х + е− х

у = е−2х - е

у = е−2х

у = е−2х - 2е− х

у = С1ех + С2

у = С1ех + С2е

у = С1е х +

и

хех

ту = С1ех + 3С2

у = С1е х + хех

С2

л

о

-1

-3

1

3

3,2

1

3

б

и

б

-1

-3

2

у = С ln x

у = С2 ln x

у = С1 + С2 x

у = С1 + ln x

у = С1 + С2 ln x

Ах3

ая

Ах2

Ах3 + С

Ах3 + Вх2 + Сх + Д

Ах-С

x-sinx

е− х (х - sin x)

e x sin x − x

e x sin x

2x-sinx

11

н

13

7

5

10

о

cosxн

-cosx+1

c2 - c1 cos x

c2 - c1 sin x

c2 х + c1 cos x

Ае−2 х

Ахе −2 х

Ае 2 х

Ахе2х

Ах2 е2 х

69

38	Решить уравнение
	у // - 2у / + у =	ех	, у(1)=е, у / (1)=3е
39		х
	у // = 2х , y(0)=0, y(3)= -3. Найти
	у(-3)
40	Вычислить
	к1к2 + (к1 + к2 ) × 3, где к1 , к2 -
	корни характеристического
	уравнения у // - 2у / + 2у = 0
41	Решить уравнение
	ху // - 2у / = 0

42Решением уравнения

у// = 8sin 2x является

43Среди приведённых уравнений указать уравнения в полных

дифференциалах

а)(х2 -1) у / + 2ху 2 = 0
б)(х2 + у 2 + х)dx + ydy = 0
в)3х2 е у dx + (x3e y -1)dy = 0
г)у / +	у	= sin x			р
	х
д)е− х dx + (1 - xe− y )dy = 0				т
		е	к

хе х

21

6

с1 х3 + с2

Сsin2x

в, д

о	н	н

						о		т	е	к
xlnx-1
			хех (1 + ln x)						xe x + ln x
	3			-3	и					-21
	2			л						8
			б	-4
с1	х + с2	и		2х+с						2х2 +3
	б								sin2x+cx
-с1 х + с2		- 2sin 2x + c1 x + c2
ая	в			д						б, г

70

lnx+x

20

4

х2 +1

sin2x-x

а,д