1.2. Реальное интегрирующее звено (интегрирующее инерционное)

Звено любой физической природы, описываемое дифференциальным уравнением вида:

(13)

называется реальным интегрирующим звеном или интегрирующим инерционным.

Его передаточная функция может быть выведена из уравнения (13), преобразованного по Лапласу при нулевых начальных условиях

(14)

и имеет вид:

(15)

Из выражения передаточной функции видно, что звено можно рассматривать как последовательное соединение идеального интегрирующего звена с передаточной функцией и апериодического звена первого порядка с передаточной функцией

.

Выведем уравнение переходной функции звена. Выразим из уравнения (14) изображение выходного сигнала

Подставим изображение единичного ступенчатого воздействия

Разложим изображение на простые дроби:

(16)

Откуда:

или

Найдём неизвестные коэффициенты разложения A, B, C:

при : ;

при : ;

при : ;

тогда ;

.

Подставим коэффициенты A, B, C в изображении выходного сигнала (16), разложенного на простые дроби

или

.

Ищем оригиналы для каждого слагаемого по таблицам преобразования Лапласа:

(17)

(18)

(19)

Тогда по свойству линейности преобразования Лапласа оригинал выходного сигнала определяется как сумма оригиналов (17), (18) и (19)

или окончательно

(20)

График переходной функции, построенный по уравнению (20), представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5. Переходная функция реального интегрирующего звена.

Рисунок 1.6. Амплитудно-частотная характеристика реального интегрирующего звена.

Из графика мы видим, что при ступенчатом входном воздействии выходная величина реального интегрирующего звена неограниченно возрастает. Причем скорость переходного процесса зависит от постоянной времени и от передаточного коэффициента .

Нетрудно доказать, что при переходная функция имеет асимптоту, уравнение которой:

(21)

Согласно уравнению (21) тангенс угла наклона асимптоты к оси абсцисс определяется величиной передаточного коэффициента , а отрезок, отсекаемый на оси абсцисс - величиной постоянной времени . По этим параметрам можно выбирать диапазон времени, в пределах которого целесообразно строить график переходной функции, а также проверять построение этого графика. Обычно для выхода на линейный участок характеристики достаточно делать расчёты в диапазоне , в пределах .

Примером реального интегрирующего звена может быть:

а) последовательное соединение двух напорных баков, причём из последнего жидкость откачивается насосом постоянной производительности, когда входная величина – изменение расхода на входе в объект, т.е.

,

а выходная – изменение уровня жидкости во втором баке

.

б) электродвигатель, если входным сигналом считать изменение напряжения , а выходным - изменение угла поворота при условии, что собственная инерционность двигателя соизмерима с инерционностью других звеньев АСР.

Рассмотрим частотные характеристики реального интегрирующего звена. Заменим в передаточной функции

(22)

Учитывая, что данное звено представляет собой последовательное соединение идеального интегрирующего звена и апериодического звена 1 порядка, для нахождения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристик звена удобнее всего воспользоваться правилом последовательного соединения, а именно: при последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ФЧХ складываются. АЧХ и ФЧХ идеального интегрирующего звена были выведены выше в разделе 1.1. и имеют вид:

а характеристики апериодического звена 1-о порядка подробно исследованы в работе [1] и выражаются следующими формулами:

Тогда АЧХ и ФЧХ реального интегрирующего звена будут соответственно:

(23)

(24)

Анализ амплитудно-частотной функции показывает, что при , а при . График этой функции показан на рисунке 1.6.

Причём из выражения (23) ясно, что чем больше инерционность звена, определяемая величиной постоянной времени Т, тем при одной и той же частоте входного сигнала будет меньше значение АЧХ , т.е. тем интенсивнее звено отфильтровывает (в смысле - не пропускает) высокочастотные воздействия.

График фазочастотной характеристики представлен на Рисунок 1.7. Он показывает, что отставание по фазе выходного сигнала звена по отношению к входному гармоническому при малых частотах составляет порядка , а при больших – не превышает величину .

Проанализируем амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) реального интегрирующего звена. Из выражения (22) традиционным способом нетрудно вывести формулы для вещественной и мнимой частотных характеристик звена

Таким образом:

(25)

(26)

Из выражений (25) и (26) делаем вывод, что при положительных параметрах звена вся амплитудно-фазовая характеристика будет лежать в III квадранте комплексной плоскости, т.к. при и. Действительно, при , , а при , .

Таким образом, начальную точку при АФХ изобразить невозможно, т.к. при этой частоте АФХ в бесконечности ассимптотически приближается к прямой . График этой характеристики показан на рисунке 1.8.

Рисунок 1.7. Фазочастотная характеристика реального интегрирующего звена.

Рисунок 1.8. Амплитудно-фазовая характеристика реального интегрирующего звена