2.3. Форсирующее звено I порядка (пропорционально-дифференциальное звено)

Его дифференциальное уравнение имеет вид:

(60)

Получим передаточную функцию звена:

(61)

(62)

Из передаточной функции видно, что это звено можно рассматривать как параллельное соединение идеального дифференцирующего звена с и усилительного (пропорционального) звена с , а потому оно сочетает в себе свойства этих двух звеньев.

Переходную функцию найдем, подставляя непосредственно в дифференциальное уравнение (60) математическое описание единичного ступенчатого воздействия , получим:

Учитывая, что производная от единичного ступенчатого воздействия есть единичный импульс, т.е. будем иметь:

(63)

Таким образом, переходная функция звена представляет собой сумму мгновенного импульса площадью и ступенчатой функции с амплитудой .

Изобразить графически такую переходную функцию довольно трудно. Но, применяя условное изображение мгновенных импульсов (в виде стрелки, длина которой в принятом масштабе равна площади импульса) - возможно, что и сделано на рисунке 2.9.

Проанализируем частотные характеристики звена.

Подставляя в , получим , откуда

(64)

(65)

Откуда

(66)

(67)

Рисунок 2.9. Переходная функция форсирующего звена первого порядка.

Рисунок 2.10. Амплитудно-частотная характеристика форсирующего звена первого порядка

Из выражения (66) ясно, что при , а при .

График амплитудно-частотной функции (66), т.е. амплитудно-частотная характеристика, показан на рисунке 2.10.

График АФХ подтверждает свойства дифференцирующих звеньев усиливать высокочастотные сигналы.

Из выражения (67) следует, что при , а при . График ФЧХ показан на Рисунок 2.11. При низких частотах входного сигнала фазовый сдвиг близок к нулю, но чем выше частота, тем больше увеличивается опережение по фазе выходного сигнала по отношению к входному, и в пределе оно составляет .

Рассмотрим амплитудно-фазовую характеристику звена. Из выражений (64) и (65) следует, что при всех частотах, но т.к. , то при , а при .

Это значит, что график АФХ форсирующего звена 1 порядка представляет собой прямую в 1-м квадранте, параллельную оси ординат и проходящую через точку .

Следует отметить, что примером форсирующего звена 1 порядка является применяемый в автоматических системах регулятор с пропорционально-дифференциальным законом регулирования (ПД-регулятор). Передаточная функция этого регулятора аналогична по структуре передаточной функции форсирующего звена (62), но записывается обычно через другие обозначения коэффициентов, а именно

(68)

где S₁ - коэффициент настройки пропорциональной составляющей в законе регулирования, а S₂ - коэффициент настройки дифференциальной составляющей.

Рисунок 2.11. Фазочастотная характеристика форсирующего звена первого порядка.

Рисунок 2.12. Амплитудно-фазовая характеристика форсирующего звена первого порядка.

Все динамические характеристики пропорционально-дифференциаль-ного (ПД) регулятора аналогичны рассмотренным характеристикам форсирующего звена 1-o порядка.

В заключение раздела по дифференцирующей группе звеньев отметим общие особенности их свойств.

1. Все звенья дифференцируют входное воздействие, поэтому признаком дифференцирующих свойств является присутствие полинома не ниже 1-ого порядка от р в числителе передаточной функции. Переходные функции всех звеньев имеют импульсный характер.

2. Все дифференцирующие звенья усиливают высокочастотные воздействия по амплитуде (т.е. хорошо пропускают высокочастотные воздействия и плохо низкочастотные).

3. Все дифференцирующие звенья дают опережение по фазе выходного сигнала по отношению к входному, т. е. их фазочастотные характеристики положительны.

В природе таких звеньев практически нет. К ним относятся в основном специально создаваемые в автоматике так называемые корректирующие звенья, применяемые для изменения свойств системы в нужном направлении.

Примеры реализации корректирующих звеньев с различными дифференцирующими свойствами приведены в литературе [2]. В настоящее время реализовать передаточные функции таких звеньев можно и программным путем на контроллерах или управляющих компьютерах.