- •230100.62 «Информатика и вычислительная техника»
- •Предисловие
- •Методические рекомендации к изучению тем курса и выполнению контрольных работ
- •Раздел 1. Функции нескольких переменных
- •Тема 1. Основные понятия. Непрерывность
- •Тема 2. Частные производные. Полный дифференциал функции
- •Тема 3. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций
- •Тема 4. Производная в данном направлении. Градиент функции
- •Тема 2. Тройной интеграл
- •Тема 3. Криволинейный интеграл I рода
- •Тема 4. Криволинейный интеграл II рода
- •Раздел 3. Дифференциальные уравнения
- •Тема 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Тема 4. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Тема 5. Системы дифференциальных уравнений
- •Раздел 4. Ряды
- •Тема 1. Числовые ряды
- •Тема 2. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов
- •Тема 3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
- •Тема 4. Степенные ряды
- •Тема 5. Ряды Фурье
- •Задания контрольной работы № 1
- •Задания контрольной работы № 2
- •31. 32.
- •Список использованной и рекомендуемой литературы
Тема 2. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов
Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.
[3], гл.IV, §14.
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
1) геометрический ряд - сходится при |q|<1, расходится при |q|≥1;
2) гармонический ряд - расходится;
3) обобщенный гармонический ряд - сходится при р>1, расходится при р≤1.
Интегральным признаком Коши можно пользоваться, когда выражение общего члена аn= f(n) имеет смысл не только для целых положительных значений n, но и для всех n, больших некоторого положительного числа N.
Тема 3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
[2], гл.IV, §15.
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:
ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Тема 4. Степенные ряды
Функциональные ряды. Сходимость степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Некоторые приложения степенных рядов.
[2], гл.V, §§16-19.
Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения х, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, с помощью других признаков сходимости рядов.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Применим признак Даламбера:
Далее определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство <1; |x+1|<2; −3<x<1.
Согласно признаку Даламбера, при любом значении х из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при x<–3 и x>1 расходится.
Граничные точки х=–3 и х=1 этого интервала, для которых признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.
При х=–3 получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница (члены этого ряда убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю.)
При х=1 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится (он представляет собой обобщенный гармонический ряд с показателем р=1/2<1). Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал –3≤х<1.
При решении задания 7 контрольной работы №2 целесообразно использовать разложение в ряд Маклорена элементарных функций sinx, cosx, (1+x)m, 1/(1-x), ln(1+x), arctgx.
Степенные ряды имеют различные приложения. С их помощью вычисляют с заданной точностью значения функций, определенных интервалов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Рассмотрим определенный интеграл
Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд
сходящийся в интервале (-R;R), который содержит отрезок интегрирования [a;b].
Применяя теорему о почленном интегрировании степенных рядов, можно представить интеграл в виде числового ряда
Если ряд сходится достаточно быстро, то можно приближенно вычислить определенный интеграл с помощью частичной суммы ряда
Погрешность результата складывается:
- из погрешности замены ряда частичной суммой; эта погрешность равна остатку ряда;
- погрешностей округления при вычислении частичной суммы.
Для знакочередующегося ряда остаток оценивается в соответствии с замечанием к теме 3 раздела 4. Для оценки остатка ряда в других случаях применяют мажорирование такими числовыми рядами, остатки которых легко оцениваются.
Пример. Вычислить приближенно с точностью до =0,0001
Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cosx и заменяя в нем х на х, имеем
Интегрируя в пределах от 0 до 1, получим
Пятый член этого знакочередующегося ряда Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда: