- •230100.62 «Информатика и вычислительная техника»
- •Предисловие
- •Методические рекомендации к изучению тем курса и выполнению контрольных работ
- •Раздел 1. Функции нескольких переменных
- •Тема 1. Основные понятия. Непрерывность
- •Тема 2. Частные производные. Полный дифференциал функции
- •Тема 3. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций
- •Тема 4. Производная в данном направлении. Градиент функции
- •Тема 2. Тройной интеграл
- •Тема 3. Криволинейный интеграл I рода
- •Тема 4. Криволинейный интеграл II рода
- •Раздел 3. Дифференциальные уравнения
- •Тема 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Тема 4. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Тема 5. Системы дифференциальных уравнений
- •Раздел 4. Ряды
- •Тема 1. Числовые ряды
- •Тема 2. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов
- •Тема 3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
- •Тема 4. Степенные ряды
- •Тема 5. Ряды Фурье
- •Задания контрольной работы № 1
- •Задания контрольной работы № 2
- •31. 32.
- •Список использованной и рекомендуемой литературы
Задания контрольной работы № 2
В задачах 1-10 найти общие или частные решения уравнений первого порядка: а) с разделяющимися переменными; б) линейных.
1. а) y’-xy2=2xy; б) y’x-y=x2cosx, y(π/2)= π/2.
2. а) xy’+y=y2 , y(1)=1/2; б) y’x·lnx+y=2x.
3. а) y’=cos(y-x); б) y’x+2y=x4, y(1)= 7/6.
4. а) (x+2y)y’=1, y(0)=-1; б) y’x+x2+xy=y.
5. а) y’=; б) y’+ytgx=1/cosx, y(0)=0.
6. а) y’ctgx+y=2, y(0)=-1; б) y’+2xy=x.
7. а) y’-y=2x-3; б) y’+y/x=2lnx+1, y(1)=1.
8. а) (x2-1)y’+2xy2=0, y(0)=1; б) y=x(y’-xcosx).
9. а) x2y’-cos2y=1; б) x(y’-y)=ex, y(1)=e.
10. а) e-y(1+ y’)=1, y(0)=-1; б) y’sinx+ycosx=ex .
В задачах 11-20 найти решение а) уравнения, допускающего понижения порядка; б) линейного неоднородного уравнения.
11. а) 2y3y”=-1 ; б) y”-4y’+4y=x2 .
12. а) y”+y’2=1 ; б) y”-9y=e3x cosx.
13. а) xy”+y’=0 ; б) y”+y’-6y=xe2x .
14. а) yy”-y’2=0 ; б) y”+y’-2y=8sin2x .
15. а) yy”+y’2=0 ; б) y”-2y’-3y=e4x .
16. а) yy”=y’(1+y’) ; б) y”+y=4xex .
17. а) 2yy”+y’2=0 ; б) y”-3y’+2y=xcosx .
18. а) y3y”-1=0 ; б) y”-2y’+y=6xex .
19. а) y”+y’2=2e-y ; б) y”+ y=cosx .
20. а) yy’+y’3=y’2 ; б) y”+3y’-4y=xe-x .
В задачах 21-30 найти решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.
21. y”+3y’+2y=(ex+1)-1. 26. y”+4y=1+ctg2x.
22. y”+y=cosec x. 27. y”+4y’+4y=e-2x lnx.
23. y”+2y’+y=(xex)-1. 28. y”-2y’+y=x-2 ex .
24. y”+4y=2tgx. 29. y”-4y’+5y=.
25. y”+2y’+y=3e-x .30. y”-2y=4x2.
В задачах 31-40 решить систему дифференциальных уравнений путем исключения неизвестных и матричным способом.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
В задачах 41-50 исследовать на сходимость числовые ряды.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
В задачах 51-60 найти область сходимости степенного ряда:
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59.60.
В задачах 61-70 разложить в ряд Тейлора по степеням (х-х0) функции:
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
В задачах 71-80 вычислить интеграл с точностью до ε, пользуясь разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
В задачах 81-90 разложить в ряд Фурье функцию f(x), определенную в интервале (-π;π) следующими условиями:
81. f(x)=-π/4 при -π<x<0; f(x)=π/4 при 0<x<π.
82. f(x)=|x| при -π<x<π.
83. f(x)=-(π+x)/2 при –π<x<0; f(x)=(π-x)/2 при 0<x<π.
84. f(x)=|sinx| при –π<x<π.
85. f(x)=x при -π<x<π.
86. f(x)=-cosx при -π<x<0; f(x)=cosx при 0<x<π.
87. f(x)=0 при -π<x<0; f(x)=1 при 0<x<π.
88. f(x)=0 при -π<x<0; f(x)=sinx при 0≤x<π.
89. f(x)=|cosx| при -π<x<π.
90. f(x)=sin(x/2) при -π<x<π.
Вопросы к экзамену
Функции нескольких переменных (основные понятия). Частные производные 1-го порядка. Дифференциал функции. Пример.
Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Неявные функции и их дифференцирование. Примеры.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Примеры.
Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля и его свойства. Примеры.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Примеры.
Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат. Примеры.
Применение двойного интеграла к вычислению площади плоской области, объема. Примеры.
Тройной интеграл. Его свойства и применение. Примеры.
Криволинейный интеграл 1-го типа (по длине дуги). Свойства и применение. Примеры.
Криволинейный интеграл 2-го типа (по координатам). Свойства и применение. Примеры.
Алгебраическая форма комплексного числа (определение, операции). Комплексная плоскость. Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма. Действия над числами, заданными в тригонометрической и показательной формах.
Извлечение корня из комплексного числа. Решение уравнений вида хn=а.
Дифференциальные уравнения (определение, общее и частное решения). Уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка: у(n)=f(x), F(x,y’,y”)=0, F(y,y’y”)=0.
Понятие о линейном дифференциальном уравнении. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения. Определитель Вронского.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью: f(x)=eax( Pn(x)cos(bx)+Qm(x)sin(bx)).
Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Методы их решения.
Числовые ряды (основные понятия, необходимые условия сходимости ряда).
Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера.
Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Исследование обобщенного гармонического ряда .
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд.
Разложение в ряд Маклорена функций exp(x), sin(x), cos(x).
Тригонометрические ряды Фурье в интервале (-;).
Ряды Фурье в произвольном интервале (). Ряды Фурье для четных и нечетных функций.