Примеры решения типовых задач

1. Найти длину вектора , если А(1;2;3); В(2;-5;4).

Решение:

Найдем координаты вектора :{2-1;-5-2;4-3}; АВ{1;-7;1}.

Найдем длину вектора :

.

Ответ: .

2. Найти длину радиус-вектора точки А(2;3;-1).

Решение:

Координаты радиус-вектора точки А совпадают с координатами самой точки: {2;3;-1}.

Найдем длину радиус-вектора :

.

Ответ: .

3. Найти длину вектора , если{1;-1;0},{3;-1;4}.

Решение:

Найдем координаты вектора :{1+3∙3;-1+3(-1);0+3∙4};{10;-4;12}.

Найдем длину вектора :

.

Ответ: =.

4. Найти направляющие косинусы вектора , если А(1;-1;3), В(2;-3;4).

Решение:

Найдем координаты вектора :{2-1;-3-(-1);4-3},{1;-2;1}.

Найдем длину вектора :

.

Итак, ;;.

Проверка: .

Ответ: ;;.

1.2. Скалярное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: =|||

=

|

k()=

= (k=

=)

Вычисление в прямоугольных координатах: если

, то

.

Скалярное произведение ортов

=0

=1

Работа силы F на перемещение S А=

Примеры решения типовых задач

1) Даны векторы =3и. Найти: а);

б) ; в).

Решение:

а) =3∙2+(-1)3+2(-1)=6-3-2=1.

б) .

в) .

Ответ: а) 1; б); в).

2) Даны векторы {3;-1;4},{-2;2;2}. Проверить, являются ли они ортогональными?

Решение:

=3∙(-2)+(-1)2+4∙2=-6-2+8=0. Следовательно, векторы ортогональны.

3) Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

Решение:

А=. Найдем координаты вектора=:

{4-2;2-4;7-6};

={2;-2;1}.

Найдем работу А:

А=3∙2+2(-2)+4∙1=6-4+4=6.

Ответ: 6.

4) Найти длины диагоналей параллелограмма (рис.1), построенного на векторах где=60˚.

Решение:

Выразим диагонали параллелограмма ипо правилу

Рис.1

параллелограмма: ,

.

Т.к. векторы не единичные, следовательно,заданы в произвольном базисе, тоиможно найти по определению:

=

=.

=

=.

Ответ: =.

2. Векторное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Векторным произведением двух векторов называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторахии направлен так, что кратчай-ший поворот отк видится против часовой стрелки

=

Площадь треугольника

S=

)=

= k()

Условие коллинеарности

Момент силы , в точке А относительно точки О:

Вычисление

Примеры решения типовых задач

1. Раскрыть скобки и упростить выражение:

а) ;

б) (2.

Решение:

а) +

=2

б) (2= 2

.

2. Даны векторы и. Найти.

Решение:

.

Ответ: .

3. Найти площадь ∆АВС, если А(1;2;0); В(3;0;-3); С(5;2;6).

Решение:

S_∆АВС=. Найдем координаты векторов:

{3-1;0-2;-3-0}={2;-2;-3};

{5-1;2-2;6-0}={4;0;6}.

Найдем векторное произведение :

=.

.

S_∆АВС=.

Ответ: .

4. Сила приложена в точке М(2;-1;1). Найти ее

момент относительно начала координат.

Решение:

. Найдем координаты вектора : О(0;0;0), М(2;-1;1), следовательно,{2;-1;1}.

=

=.

Ответ: .