- •Высшая математика
- •Содержание
- •Примеры решения типовых задач
- •1.2. Скалярное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •Векторное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Примеры решения типовых задач
- •2.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •Плоскость в пространстве
- •Примеры решения типовых задач
- •2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Примеры решения типовых задач
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы
2.2. Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение вида Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
Таблица 2
№ п/п |
Определение кривой |
Вид уравнения |
Примечание |
1 |
Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)
|
- каноническое уравнение эллипса |
2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное; расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0<<1. Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса |
2 |
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5) |
- каноническое уравнение гиперболы |
2а–действи-тельная ось; 2b–мнимая ось; 2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет, >1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты |
3. |
Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
|
у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ
x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) |
F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)
F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б) |
1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х2+100у2=3600.
Решение:
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
36х2+100у2=3600, поделим обе части уравнения на 3600:
, a2=100, b2=36.
Fл(-с,0) – левый фокус;
Fп(с,0) – правый фокус;
С=.
Fл(-8,0); Fп(8,0).
Эксцентриситет: .
Ответ: Fл(-8,0); Fп(8,0); =0,8.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х2+25у2=400 и точку М0(1;-3) (рис.7).
у 4
М
5 -5 х М0
-4
Рис.
7
Приведем уравнение 16х2+25у2=400 к каноническому виду.
, a2=25, b2=16.
Левая вершина эллипса (-а,0)(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:
.
Ответ: .
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х2-16у2=144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).
Решение:
у
3
FП
-4 5 х
-3
Рис.8
Приведем уравнение 9х2-16у2=144 к каноническому виду ,a2=16, b2=9.
Правый фокус гиперболы Fп(с,0);
С=.
Итак, Fп(5,0).
1-й способ.
Условие параллельности двух прямых: k1=k2.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;
3х-2у+6=0
2у=3х+6
у=(3/2)х+3
k1=3/2k2=3/2.
Значит, y=(3/2)x+b2 проходит через точку Fп(5,0), то 0=(3/2)5+ b2 b2=-15/2. Итак, 3x-2у-15=0.
2-й способ.
Искомая прямая проходит через точку Fл(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнением А(х-х0)+В(у-у0)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.
Ответ: 3х-2у-15=0.
4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х2+20у2=80, перпендикулярно прямой 2х-у+1=0 (рис.9).
Решение:
y
2
l
х
М
-2
Рис.
9
Приведем уравнение к каноническому виду 4х2+20у2=80,
, a2=20, b2=4.
Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).
1-й способ.
Условие перпендикулярности двух прямых: k1k3=-1.
2х-у+1=0
у=2х+1 k1=2.
Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k2x+b2;
k2=-1: k1 k2=-1/2,
Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то.
Итак, х+2у+4=0.
2-й способ.
По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х-у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.), что если искомая прямаяl перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) параллельно вектору :
. У нас ;;
-х=2у+4, х+2у+4=0.
Ответ: х+2у+4=0.
Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.
Решение:
a2=16, b2=25.
Правый фокус эллипса имеет вид Fп(с,0);
С=.
Итак, Fп(3,0).
Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;
k=1 y=x+b.
Так как прямая проходит через точку Fп(3,0), то 0=3+b b=-3.
Значит, y=x-3.
Ответ: y=x-3.