2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость

Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в таблице 4.

Таблица 4

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
1	Канонические уравнения прямой	(x0,y0,z0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой	Вектор называетсянаправля-ющим вектором прямой
2	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	(x1,y1,z1), (x2,y2,z2) – координаты двух заданных точек	Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости
3	Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей	- уравнение одной плоскости; - уравнение второй плоскости	Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

l₁:

l₂: .

Угол между прямыми определяется как .

Условие перпендикулярности прямых:

=0.

Условие параллельности прямых:

.

Пусть плоскость  задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как

.

Условие параллельности прямой и плоскости Аm+Bn+Cp=0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Примеры решения типовых задач

1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,4,-3) перпендикулярно прямой (рис.11).

Решение:

{5;-1;2}

М(2;4;-3)

Рис. 11

Чтобы написать уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас это точка М(2;4;-3)) и координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то ее направляющий вектор{5;-1;2} можно взять в качестве вектора-нормали к плоскости. Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

5(х-2)-1(у-4)+2(z+3)=0

5х-10-у+4+2z+6=0

5х-у+2z=0.

Ответ: 5х-у+2z=0.

2) Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2;4;-3) перпендикулярно плоскости 3х-2у+5z-1=0 (рис.12).

Решение:

М(2;4;-3)

{-3;-2;5}

Рис.12

Чтобы написать канонические уравнения прямой в пространстве , необходимо знать координаты любой точки М(х₀,у₀,z₀), через которую проходит прямая (у нас эта точка М(2;4;-3)), и координаты направляющего вектора {m;n;p}(вектора, параллельного прямой). Так как прямая перпендикулярна плоскости, то она параллельна вектору нормали к плоскости. Следовательно, определив из уравнения плоскости координаты вектора нормали {-3;-2;5}, возьмем его в качестве направляющего вектора прямой. Теперь запишем каноническое уравнение искомой прямой

.

Ответ: .

3) Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2;-3;-4) параллельно прямой .

Решение:

Уравнение прямой будем искать в виде , гдеx₀,y₀,z₀ – координаты точки, через которую проходит прямая (у нас это точка М₀(2;-3;-4)), {m;n;p} – направляющий вектор прямой. Так как искомая прямая параллельна заданной прямой, у них один и тот же направляющий вектор. Найдем направляющий вектор прямой, заданной в условии общими уравнениями. Общие уравнения прямой задают ее, как линию пересечения двух плоскостей (рис.13).

М₀(2;-3;-4)

Рис.13

Из общих уравнений плоскостей определяем координаты их нормалей {1;1;-1} и{1;-1;2}. Заметим, что направляющий вектор и , следовательно, вектор можно найти как векторное произведениеи.

=.

{1;-3;-2} – направляющий вектор искомой прямой. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид: .

Ответ: .

4) Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и(рис. 14).

Решение:

Чтобы написать уравнение плоскости в виде A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты любой точки М₀(x₀,y₀,z₀), лежащей в плоскости, и координаты вектора {А,В,С}, перпендикулярного плоскости.

Рис.14

Из уравнений прямых определяем координаты точек М₁(2;1;0) и М₂(-1;1;3), лежащих на прямых, а следовательно и в искомой плоскости. В качестве М₀(x₀,y₀,z₀) можем взять любую из них.

Теперь ищем вектор нормали. Заметим, что направляющий вектор прямых {4;-2;1} параллелен плоскости, а следовательно. Вектор лежит в плоскости, следовательно. Тогда=.

={-1-2;1-1;3-0}={-3;0;3}.

==.

Итак, {-6;-15;-6} – нормальный вектор плоскости. Подставим его координаты и координаты любой из точек М₁ или М₂ в уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, получим: -6(х-2)-15(у-1)-6(z-0)=0. (Мы подставили точку М₁(2;1;0)).

2(х-2)+5(у-1)+2(z-0)=0

2х-4+5у-5+2z=0

2х+5у+2z-9=0.

Ответ: 2х+5у+2z-9=0.

5) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(-1;0;2) и М₂(3;2;1) перпендикулярно плоскости α: 2х-3у+z-5=0.

Решение:

Рис.15

Ищем уравнение плоскости β в виде A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (рис.15). Нам необходимо иметь координаты любой точки, лежащей в плоскости (у нас их две М₁ и М₂), и координаты вектора нормали. Так как вектора нормали в условии задачи нет, следует найти любые два вектора, ортогональных нормали. Тогда их векторное произведение даст нам нормаль. На рис.15 видно, чтои. Координаты вектора{2;-3;1} определяются из уравнения плоскости α. Найдем координаты вектора.

={3-(-1);2-0;1-2}={4;2;-1}.

=.

Подставляем координаты вектора {1;6;16} и координаты любой из точек М₁ и М₂ (мы возьмем М₁(-1;0;2)) в уравнение плоскости, получим:

1(х+1)+6(у-0)+16(z-2)=0

х+6у+16z-31=0

Ответ: х+6у+16z-31=0.

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(2;3;-4).

Решение:

М(2;3;-4)

М₁(1;0;-2)

Рис.16

Чтобы написать уравнение плоскости A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, необходимо знать координаты точки, лежащей в плоскости (у нас точка М(2;3;-4)), и координаты вектора нормали .

В условии задачи нет вектора нормали, но мы заметим (рис. 16), что направляющий вектор прямой {2;-1;3} и вектор . Тогда. Определив из уравнений прямой координаты точки М₁(1;0;-2), найдем вектор ={1-2;0-3;-2-(-4)}={-1;-3;2}.

=. Теперь запишем уравнение искомой плоскости:

7(х-2)-7(у-3)-7(z+4)=0

7х-14-7у+21-7z-28=0

7х-7у-7z-21=0.

х-у-z-3=0.

Ответ: х-у-z-3=0.