- •Высшая математика
- •Содержание
- •Примеры решения типовых задач
- •1.2. Скалярное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •Векторное произведение двух векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.4. Смешанное произведение трех векторов
- •Примеры решения типовых задач
- •1.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая линия на плоскости
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Примеры решения типовых задач
- •2.2. Кривые второго порядка на плоскости
- •Плоскость в пространстве
- •Примеры решения типовых задач
- •2.4. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Примеры решения типовых задач
- •2.5. Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы
Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)
Таблица 3
№ п/п |
Вид уравнения |
Смысл входящих в уравнение коэффициентов |
Примечание |
1 |
Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 |
(x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора |
Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости |
2 |
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 |
D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; х0,y0,z0 – координаты данной точки |
Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями |
3 |
Уравнение плоскости, проходя-щей через три заданные точки |
М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами |
Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой |
4 |
Уравнение плоскости в отрезках на осях |
а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат |
аbc≠0 |
Пусть даны две плоскости 1 и 2:
1: А1х +В1у+С1z+D1=0,
2: А2х +В2у+С2z+D2=0.
Угол между двумя плоскостями определяется как .
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0, то есть =0.
Условие параллельности двух плоскостей:
или .
Расстояние от точки до плоскости:
,
где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x0,y0,z0) – данная точка.
Примеры решения типовых задач
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;1,3) перпендикулярно вектору .
Решение:
Найдем координаты вектора : О(0;0;0); М(-1;1;3)
{-1;1;3}.
Уравнение плоскости имеет вид:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
А=-1, В=1, С=3 – координаты вектора нормали.
X0=-1, y0=1, z0=3.
-1(х+1)+1(у-1)+3(z-3)=0
-х-1+у-1+3z-9=0
-х+у+3z-11=0.
Ответ: -х+у+3z-11=0.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1;-1;3), М2(2;-1;0), М3(4;2;-1).
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид:
,
,
9(х-1)-5(у+1)+3(z-3)=0
9х-9-5у-5+3z-9=0
9х-5у+3z-23=0.
Ответ: 9х-5у+3z-23=0.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-2;7;3) параллельно плоскости х-4у+5z+1=0 (рис.10).
{1;-4;5}
М0(-2;7;3)
Рис.
10
Нормальный вектора для плоскости х-4у+5z+1=0 {1;-4;5} является нормальным для искомой плоскости. Так как плоскость проходит через точку М0(-2;7;3), то уравнение плоскости имеет вид:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
1(х+2)-4(у-7)+5(z-3)=0
х+2-4у+28+5z-15=0
х-4у+5z+15=0.
Ответ: х-4у+5z+15=0.
4. Найти расстояние от точки М0(1;-1;3) до плоскости 13х+2у-5z+1=0.
; х0=1; у0=-1; z0=3.
А=13; В=2; С=-5, D=1.
.
Ответ: d=.
Найти угол между плоскостями х+у-1=0 и 2х-у+3z-1=0.
Решение:
Угол между плоскостями определяем как угол между нормалями к этим плоскостям. Из общих уравнений плоскостей определяем координаты нормалей {1;1;0},{2;-1;3}.
.
.
Ответ:.