1.4. Смешанное произведение трех векторов

Свойства

Определение

Применение

Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида

( =

=

Объем параллелепипеда

V=

==

====

,

,

то

Объем пирамиды

V=

Условие компланарности трех векторов:

=0

Примеры решения типовых задач

1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки

А(1;2;3); В(0;-1;1); С(2;5;2); D(3;0;-2).

Решение:

. Найдем координаты векторов :

;

;

.

.

=4.

Ответ: 4.

2. Доказать, что векторы =2,икомпланарны.

Доказательство:

, следовательно, компланарны.

3. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), D(5;0;6) в одной плоскости.

Решение:

Для того, чтобы доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, нужно доказать, что векторы компланарны. Найдем координаты векторов:

{1-2;2-(-1);1-(-2)}={-1;3;3};

{2-2;3-(-1);0-(-2)}={0;4;2};

{5-2;0-(-1);6-(-2)}={3;1;8}.

Проверим компланарность векторов :

, следовательно, векторы не компланарны, следовательно, точки А, В, С,D не лежат в одной плоскости.

4. Даны координаты вершин пирамиды А(1;2;-3), В(1;0;-1), С(2;4; -6), D(0;-1;3). Найти а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в) ; г).

Решение:

а) V_АВСD=. Найдем координаты векторов:

{1-1;0-2;-1(-3)}={0;-2;-2};

{2-1;4-2;-6-(-3)}={1;2;-3};

{0-1;-1-2;3-(-3)}={-1;-3;6}.

Найдем смешанное произведение :

=2(6-3)=2(-3+2)=6-2=4.

Итак, V_АВСD=(куб.ед.).

б) S_∆АВС=. Найдем векторное произведение векторов:

.

.

S_∆АВС=(кв.ед.)

в) .

Найдем скалярное произведение векторов :

=0∙1+(-2)2+2(-2)=0-4-6=-10.

Найдем длину ||=.

Итак, .

г) . Найдем скалярное произведение:

=1(-1)+2(-3)+(-3)6=-1-6-18=-25.

Найдем длину :

||=. Значит,.

Ответ: а) 2/3 куб.ед.; б) кв.ед. в); г).

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1.Найти длину вектора , если: С(1;-3;4),D(0;-2;1).

Ответ: ||=.

2. Найти длину радиус-вектора точки М(2;-3;6).

Ответ: 7.

3. Найти длину вектора , если{2;-1;0},{3;-1;4}.

Ответ: .

4.Найти направляющие косинусы вектора , если А(3;-5;4);D(2;-1;0).

Ответ: cosα=:cos=:cosγ=.

5. Даны векторы =2и. Найти: а); б); в).

Ответ: а) 5; б) 5/9; в) .

6. Даны векторы . Проверить, являются ли они ортогональными?

Ответ: не являются.

7. Вычислить работу силы , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в положение М(1;-1;3).

Ответ: 16.

8. Раскрыть скобки и упростит выражение:

1) ;

2) .

Ответ: 1) 2; 2) 3.

9. Даны векторы и. Найти.

Ответ: .

10. Найти площадь параллелограмма АВСD, если его вершины А(3;-2;4), В(0;-1;6), С(1;-3;6), D(1;-1;0).

Ответ: .

11. Сила приложена в точке А(1;-1;0). Найти ее момент относительно точки В(2;-1;3).

12. Проверить компланарность векторов ,

, .

Ответ: компланарны.

13. Даны координаты вершин пирамиды А(4;4;10), В(7;10;2), С(2;8;4), D(9;6;9).

Найти: а) V_АВСD; б) S_∆АВС; в); г).

Ответ: а) 4; б) ; в); г).

14. Найти угол между векторами , гдеединичные векторы и угол между ними равен 120˚.

Ответ: -1/2.

Глава 2. Аналитическая геометрия

2.1. Прямая линия на плоскости

Уравнением линии на плоскости ХОУ называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Простейшей из линий является прямая.

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений (табл. 1).

Таблица 1

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечания
1	Уравнение с угловым коэффициентом y=kx+b	k – тангенс угла  наклона прямой к положительному направлению оси ОХ; b – отрезок, отсекаемый прямой от оси ОY	≠π/2
2	Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0	А,В – координаты вектора, перпендикулярного прямой (нормального вектора) N.	А,В не равны нулю одновременно
3	Уравнение прямой, про-ходящей через данную точку в данном направ-лении у-у0=k(х-х0 )	т.М(х0,у0) – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой	При различных k уравнение называется уравнением пучка прямых с центром в точке М(х0,у0)
4	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	т.М1(х1,у1), т.М2(х2,у2) – заданные точки
5	Уравнение прямой в отрезках на осях х .	а,b – отрезки, отсекаемые прямой от координатных осей ОХ и ОY соответственно	а≠0, b≠0
6	Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору	т.М0(х0,у0) – заданная точка; m,n – координаты вектора, параллельного искомой прямой ( направляющего век-тора)	Такое уравнение часто называют каноническим
7	Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору А(х-х0)+В(у-у0)=0	т.М0(х0,у0) – заданная точка, А,В – координаты нормального вектора искомой прямой