Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 3

ограниченной линиями y = x, x + y = 2, y = 0.

5. Найти объем пространственной фигуры, ограниченной поверхно-

стями z = 4 − x2 − y2, 2z = 2 + x2 + y2 .

6. Вычислить момент инерции относительно оси OY однородной фигуры, ограниченной поверхностями 3y2 = x2 + z 2 , y = 3 .

7. Вычислить работу, совершаемую силой F = y2 ir − x2 rj , по пе-

ремещению материальной точки под действием этой силы вдоль окружности x = 4 cos t, y = 4 sin t (обход против часовой

стрелки).

8.	Найти циркуляцию вектора ar = yz i + 2xz j + xy k по линии, об-
	разованной контуром	треугольника				ABC:	A(1; 2; 0), B(0; 2; 0),
	C(0; 2; 3).
9.	Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля		F = (x − 2 y + 6z) k через внешнюю
	сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-
	ными плоскостями и плоскостью			x − y − z −1 = 0.
10. Показать, что векторное поле				a является			потенциальным, и
					x		r
	найти его потенциал,	ar = (−5ln				−10x2 ) ir +1+5x rj +13z2 k
					y
	(x > 0, y > 0).						y
	Вариант 3.22
1.	Вычислить массу линии		x = ln(1 + t 2 ),				y = 2 arctg t − t + 3,
	0 ≤ t ≤1, если линейная плотность					γ (x, y) = y e− x .
2.	Вычислить площадь	плоской		фигуры, ограниченной линиями
	x = 4 −( y −1)2 , x = y2 − 4 y +3.
			90

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

3. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного поверхно-

	стями	z = 0,	z = y,	x2 + y2 = 9		( y ≥ 0) .
4.	Найти массу однородной плоской фигуры, лежащей в первой чет-
	верти	и ограниченной		линиями		r = 2cos3ϕ,	r = 3, ϕ = 0
	(вне окружности).
5.	Вычислить координаты центра тяжести плоской однородной фи-
	гуры, ограниченной линиями				y = x3 − x, y = x4 −1.
6.	Найти	статический момент относительно плоскости XOY одно-
	родной	фигуры,	ограниченной		поверхностями		z = 4 − x2 − y2,

2z = 2 + x2 + y2 ,

если объемная плотность

γ (x, y, z) = z .

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

F = x i − 2y j , по пере-

мещению материальной точки под действием этой силы вдоль

линии, образованной контуром треугольника

ABC:

A(2; 0),

B(0; 2), С(2; 2).

ar = yz ir +

z

2

rj

y

2 r

8.

Найти циркуляцию вектора

+

k

по окружно-

x

x = 4, y = 4 cos t,

z = 4sin t .

x

сти

9.

Найти

непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (3x + 2 y − 6z) ri

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

− x + y + z − 2 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным,

и найти

r

(

)

r

4

3

y

r

r

его потенциал,

a = x

3 y − 2 y

i + x2

−

− 6z k .

1 j

Вариант 3.23

1. Вычислить массу неоднородной линии	x = 3(cos t + t sin t ),
91

Домашнее задание № 3

y = 3(sin t − t cos t),

0 ≤ t ≤ 2π ,

если

линейная

плотность в

каждой точке

γ (x, y) =

x2 + y2 .

2.

Вычислить

площадь плоской

фигуры,

ограниченной

линиями

x = 27 − y2 , x = −6 y .

3.

Найти объем

фигуры,

ограниченной

поверхностями

x = 0,

x = 3y, z = 0, z =8, x2 + y2 =18 ( y ≥ 0).

4.

Найти массу плоской фигуры, расположенной между двумя ок-

ружностями

x2 + y2 − 6 y = 0,

x2 + y2 −8 y = 0

и двумя пря-

мыми

y = x,

x = 0.

Плотность

γ (x, y) = x .

5.

Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = x2 ,

y = 8 / x, x = 6.

6.

Вычислить статический момент относительно плоскости XOY

однородной фигуры, ограниченной плоскостью

z = 3

и конусом

9(x2 + y2 ) = 4z2 .

7.

Вычислить

работу

силы

F = ( y2 − 2x) i +(2 y + x2 ) j

по пе-

ремещению материальной точки под действием этой силы по

ломаной линии OAB: O(0; 0),

A(1; 0),

B(2; 2).

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = yz i − xz j + xy k

по окружно-

сти

x = 6 cos t, y = 6sin t,

z = 6, 0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти

непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (6x − y + 6z) j через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

3x − 6 y + 2z − 6 = 0.

r

y r

x

r

xy

r

10. Показать, что

поле

вектора

a

=

i

+

j −2

k

(z > 0)

z 2

z 2

z3

является потенциальным, и найти его потенциал.

92

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Вариант 3.24

1.

Вычислить массу отрезка

прямой

AB:

A(1; 2),

B(3; 6),

если

линейная плотность

γ (x, y) =1

x2 + y2 + 4 .

2.

Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

x = 0,

x = 72 − y2 , 6x = y2

(y ≥ 0) .

3.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z =

x2 + y2 ,

z = 0,

x2 + y 2 =8x,

x2 + y 2 =12x .

4.

Найти момент инерции относительно

оси

OY

плоской фигуры,

ограниченной

линиями

x =1,

x = 4,

y = 0,

y = xe−x .

Плот-

ность фигуры

γ (x, y) = 4 / x2 .

5.

Найти координаты центра

тяжести

плоской фигуры, ограничен-

ной линиями

x2 + y2 = 4,

y = x ( y ≥ x),

если

плотность в

каждой точке

γ (x, y) =

x2 + y2 .

6.

Найти

массу пространственной фигуры, ограниченной

поверхно-

стями

x = 0,

y = 0,

z = 0,

x + y + z = 4,

если объемная

плот-

ность

γ (x, y, z) = 3x .

F = y2 ir + x2 rj ,

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

по пе-

ремещению материальной

точки

под действием этой силы вдоль

верхней половины эллипса

x = 4 cos t,

y = 5sin t,

0 ≤ t ≤ π .

8.

Найти

циркуляцию вектора

ar = y i + 2x j

по линии,

образо-

ванной контуром треугольника

ABC:

A(1; 1),

B(2; 0), C(2; 2).

9.

Найти

непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (6x + y + 2z) k через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

6x + 2 y +3z − 6 = 0.

93

Домашнее задание № 3

	r	r		1		r	r
10. Показать, что поле вектора	a	= (x + y) i	+ x +			j	+ z k
				y

( y > 0 ) является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.25
1.	Вычислить массу отрезка			прямой	AB:	A(1; 4; 3),	B(1; 0; 6),
	если линейная плотность			γ (x, y, z) = x		2x +( y / 4)2 +(z / 3)2 .
2.	Вычислить площадь		плоской фигуры , ограниченной				линиями
	y = 3 − x2 , y = 3 − 3 − x2 .
3.	Найти объем	тела,	ограниченного		поверхностями		z = y2,
	x + 2 y = 2, x =0, z = 0.
4.	Найти момент инерции относительно оси					OY плоской фигуры,
	ограниченной	линиями		y2 −4 y + x2 = 0, y2 −8y + x2 = 0,

	y = x, x = 0 (x ≥ 0) ,		если плотность			γ (x, y) =1 / y .
5.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями		x =1,		y = x +1,	y = ex .
6.	Вычислить статический		момент		относительно плоскости XOY
	однородной фигуры, ограниченной поверхностями						x2 + y2 = 4,
	z = 8 − x2 − y2,	z = 0.
7.	Вычислить работу, совершаемую силой					F = (cos y) i −(sin y) j ,
	по перемещению	материальной точки под действием этой силы
	вдоль ломаной линии ABC:			A(2;–2), B(–2; 2), С(0; 2).
8.	Найти циркуляцию вектора			ar = 3x2 y i + xz j + z2 k			по линии,
	образованной контуром треугольника ABC: A(3; 4; 0), B(0; 4; 0),
	C(0; 4; 6).

9. Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

94

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Гаусса поток векторного поля F = (x + 6 y − 6z) i через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 2 y − 6z − 6 = 0.

10. Показать, что поле вектора a является потенциальным, и найти его потенциал, ar = (x5 y + y) ir +(x 6 / 6 + x) rj + z k .

Вариант 3.26

1.

Вычислить

массу неоднородной линии, заданной уравнениями

x = 5(t −sin t ),

y = 5(1− cos t ),

0 ≤ t ≤ π,

если линейная плот-

ность γ (x, y) =

10 y .

2.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

x = 4,

y = 3

x,

y =

3 .

2

2x

3.

Найти объем тела,

ограниченного поверхностями

y = 0,

z = 0 ,

y = 5x,

z =

3 x, x2 + y2 = 50 .

5

4.

Найти массу плоской фигуры,

ограниченной линиями

y =

1

x ,

3

y =

3 x, x2 + y2 −8x = 0 ,

если плотность

γ (x, y) =

x2 + y2 .

5.

Вычислить координаты центра тяжести плоской однородной фи-

гуры,

ограниченной

линиями

y = sin 2x,

y = cos 2x,

y = 0,

0 ≤ x ≤ π / 4.

6.

Вычислить

момент инерции относительно оси

OZ фигуры, огра-

ниченной поверхностями

z = x2 + y 2 +1,

z = 9 − x2 − y 2 ,

если

объемная плотность

γ (x, y, z) = 5 / (x2 + y2 ).

7.

Вычислить работу,

совершаемую силой F = tg(x + y) ri + sin x j ,

по перемещению материальной точки под действием этой силы

вдоль ломаной линии

ABC: A(1; 2), B(–1; 3),

C(2; 2).

95

Домашнее задание № 3

8.

Найти

циркуляцию

вектора

ar = 5x2 y ir + y rj − 2z k

по

линии,

образованной контуром треугольника

ABC: A(2; 4; 3),

B(2; 0; 0),

C(2; 4; 0).

9.

Найти

непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (x − 6 y + 6z) j через внешнюю

сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

x + y + z +1 = 0 .

10. Показать, что поле вектора

ar

= 3x2 ir+ z 2 rj +2 yz kr

является

потенциальным, и найти его потенциал.

Вариант 3.27

1.

Вычислить массу цепной линии

y = 2( ex / 4 + e−x / 4 ) ,

0 ≤ x ≤ 4,

если линейная плотность γ (x, y) = e x / ( e x / 4 +e−x / 4 ) .

2.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y = x,

y = −x,

x2 + y 2 = −2x .

3.

Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями

x + y = 8,

y = 4x, z = 3y, z = 0.

4.

Вычислить момент инерции относительно оси OX плоской не-

однородной фигуры, ограниченной линиями

y = 0 ,

y =

3 x ,

x2 − 4x + y2 = 0,

x2 −8x + y2 = 0

(между окружностями),

если плотность γ (x, y) = 3 / (x2 + y2 ) .

5.

Найти

координаты

центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = arcsin x,

y = arccos x,

y = 0 .

6.

Найти массу фигуры, ограниченной поверхностями

y = 0 ,

y = 4 ,

z = 6 − x2 ,

z = 2 + x2 ,

если плотность

γ (x, y, z) = 2z + y .

7.

Вычислить

работу,

совершаемую силой

F = y i − x j ,

по

пе-

96

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

ремещению материальной

точки

под

действием этой силы

вдоль циклоиды x = 3(t −sin t ),

y = 3(1− cos t ),

0 ≤ t ≤ 2π.

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = (5x − y) i +(x − y) j

вдоль ок-

ружности x2 + y2 = 25.

9.

Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (−2x + 6 y + 3z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

− 2x + y + z − 2 = 0.

r

z 2 r

z 2 x r

2zx

r

( y > 0 )

10. Показать, что поле вектора

a

=

i

−

j +

k

y

y 2

y

является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.28
1.	Найти массу дуги астроиды				x = 3cos3 t,		y = 3sin3 t ,			0 ≤ t ≤ π ,
	если линейная плотность				γ(x, y) = x .						2
2.	Найти площадь фигуры,			ограниченной линиями					y =1,		y = 6 ,
	y =1 / x,	y = 6 ex .
3.	Найти	объем фигуры,		ограниченной			поверхностями				z = 0,
	z = 4 −	x2 + y2 ,	x2 + y 2 = 4x			(внутри цилиндра).
4.	Найти момент инерции относительно оси OX							плоской фигуры,
	ограниченной линиями			x = 0, y = 4, y = 2x .				Плотность			в ка-
	ждой точке γ (x, y) = e−xy .
5.	Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной
	линиями	x = 0,	x =1,	y =1,		y = −	2x − x2 .
6.	Вычислить статический			момент		относительно		плоскости			YOZ
	фигуры,	ограниченной плоскостью x + y + z = 4							и	координат-
					97

Домашнее задание № 3
	ными плоскостями.			Объемная плотность				γ (x, y, z) = y .
7.	Вычислить работу, совершаемую силой F = (5y + x) i − y x j , по
	перемещению		материальной		точки		под	действием этой силы
	вдоль контура		x = 5cos t,		y = 5sin t,			0 ≤ t ≤ π .
8.	Найти	циркуляцию		вектора	a	по	окружности		x2 + y2 = 4,
	z = 3,	где ar = (x −3y) i +(z −3x) j + (x − z) k .
9.	Найти	непосредственно и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля					F = (3x + 2 y + 6z) i			через внеш-
	нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-
	динатными плоскостями и плоскостью						x + y − 2z + 2 = 0.
10. Показать, что поле вектора					ar = (2x ln y) ri +(x2 / y) rj ( y > 0 )

является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.29
1.	Вычислить момент инерции относительно оси OY линии							y =	4	,
						γ (x, y) = x3 .			x
	1 ≤ x ≤ 4,			если плотность
2.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	x = 0,		y2 −6 y + x2 = 0,			y2 −10 y + x2 = 0, y = x 3
	(между прямыми).
3.	Найти		объем тела, ограниченного				поверхностями x + y = 3,
	z = 4x2 + 2 y2 +1,				x =0, y =0, z =0.
4.	Найти	массу плоской фигуры, ограниченной линиями						x = 0,
	y = 0,		1	x2 + y 2	=1 (x ≥ 0, y ≥ 0) ,		если плотность в каждой
		16
	точке	γ (x, y) =16 x y3.
5.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

98

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

	ограниченной линиями		y = −x2 + 4x,			y = 0.
6.	Вычислить	статический	момент относительно плоскости XOY
	однородной	фигуры, ограниченной поверхностями					z = 1 и
	z = 5 − x2 − y2 .
7.	Вычислить работу силы		F = (x2 −3y) ir + (x + 3y 2 ) rj				по пере-
	мещению материальной точки под действием этой силы вдоль
	ломаной линии ABC:		A(1; 1),		B(2; 3),	С(4; 0).
8.	Найти циркуляцию вектора			ar = xz i +( y + 2xz) j + z k			по ок-
	ружности	x = 5cost,	y = 5sin t,		z =1,	0 ≤ t ≤ 2π .
9.	Найти непосредственно		и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля			F = (x −3y + 5z) j через внешнюю
	сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-
	ными плоскостями и плоскостью				x − 2 y + z − 2 = 0.
10. Показать,		что поле вектора		ar = 3x 2z ir − 2 y rj + x3 k			является

потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.30
1.	Вычислить массу			линии	y = ln(x + 2),	0 ≤ x ≤ 4,	если	линей-
	ная плотность			γ (x, y) = (x + 2)2.
2.	Вычислить		площадь фигуры, ограниченной линиями					x = 4,
	y = x / 2,		y =1 / (2x).
3.	Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями						x = 0,	z = 0,
	x =	5y,	x2 + y2 = 50,		z = 6 y / 11.
4.	Вычислить момент инерции относительно начала координат пло-
	ской	неоднородной фигуры, ограниченной лемнискатой Бернул-
	ли	(x2 + y2 )2 = 4xy			(x ≥ 0, y ≥ 0),	если плотность фигуры

99