Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 1

ласть определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.

Найти области определения функций:

y =

3

,

cos 2x

y = arcsin( x / 2) ,

y = log3(5 − 2x) +

x .

3x

x −1

x2 +1

3.

Дана функция

f ( x)

= tg x .

Найти

f (−π / 3),

f (−π / 4),

f (x −π / 2), f (x +π / 2).

Решить уравнение [ f (x ) ] 2 = 2 f (x) +3.

4.

Построить графики функций:

y = x −sin x ,

y = log4 (x −3) ,

x = 1 −

y2 − 4 y + 5 ,

y =

x + 2 .

x −3

5.

Найти при

x →0 главную часть степенного вида бесконечно

малой функции

β(x)

=3 ( 52x −1) − 2 3 1 + 4x2 + 2 + tg2 (3x3 ).

6.

Вычислить пределы:

lim

x3

+8x2

+ 7x

,

lim

2x sin 3x

,

lim

x +1 x + 2

,

x2 −

1

1 − cos x

x →−1

x →0

x →∞ 2x +1

lim

x − x

,

lim

x3 −3x

2 −1

.

x

+ 4 −

2

1 −5x3

+ x

x →0

x →∞

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

	2			cos 2x ,				x ≤ 0,
y = 3 − 2 1/ x		,	y =
						x
					e		−1,	0 < x .
			20

Введение в анализ

8. Решить графически уравнение log2 x − x +3 = 0.

Вариант 1.15

1. В шар, радиус которого равен R , вписан цилиндр. Найти функциональную зависимость объема цилиндра от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций:						y = lg[sin(x −π / 3) ],
	y =	1		4 − x 2		y = 2 x −3 x		1
		1 − 2 x	+	x2 − 2x + 2 ,				+ 1 + x .
3.	Дана функция		f (x) = 2x4 − 2x3 −5x2 + 6x −10.					Найти f (0) ,
	f (0,5),	f ( x ),		f (1 / x).
	Решить уравнение			f ( x ) = 0,5 ( f ( x) + f (−x)).
4.	Построить графики функций:					y = 2 log2 (x + 2),		y = 2x +	3	,
									x
	y = 2 cos(x +π / 4) ,				x = −1 − 2		− y2 + 6 y −8 .

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = arcsin 2 (x2 + 2x3 ) + arctg(x3 + x2 ) − e2x3 +1.

6.Вычислить пределы:

lim

1

−

x

,

lim

sin 3x

,

lim

3x +5

x +1

,

x − 2

x3

tg 5x

x →2

−8

x →π

x →∞ 3x −1

21

Домашнее задание № 1

3	x − 6 + 2	,	lim	3	+	x2 +1	.
lim	x + 2				1 − x2
x →−2			x →∞

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

	1					1 − 1 − x ,		x ≤ 1,
y = π − arctg		,	y	=
	x					1	,	1 < x .
						1 − x
8. Решить графически уравнение					x 2 x −1 = 0.

Вариант 1.16

1.Окно имеет форму прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр окна равен 2 p . Найти функциональную зависи-

мость площади окна от длины его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций: y = log3(log 0,5 x) ,

	y = 4	3x + 2							x
		6x − 5	− x2	,				y = 2 + 4 sin x .
3.	Дана функция	f (x) = lg		1		+ x	.	Найти	f (0),	f (0,5),
					1
	f (1 + x), f (1 / x).					− x			f ( x ) − f (−x) = 2.
			Решить уравнение
4.	Построить графики функций:							y = 2 x + 2−x ,
	y = sin(2x − π / 3)		,		y = lg(3 − 2x) ,				y =	2x +1	.
										1 − 2x

22

Введение в анализ

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

2

3

2

5

6

2x3

− 4

+ 1.

β(x) = ln (1 + 2x + x ) − 3

1 + x −3

6.

Вычислить пределы:

lim

1

−

1

,

lim

1

− cos

2x

,

2 x

(1 − x)2

− x3

lim 1 +

,

x →1

1

x →

0

cos

7x − cos 3x

x →∞

x

+1

lim

3 1 + x3

,

lim

2x +9 −5

.

3 x −

x →∞ x + x2

+1

x →8

2

7.

Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

x ,

x ≤ −1,

y = 5 − 41/ x ,

y =

−1 < x ≤1,5.

9 − 4x2 ,

8.

Решить графически уравнение

x lg x − 1 / x = 0.

Вариант 1.17

1. Образующая конуса равна L. Найти функциональную зависимость объема конуса от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций: y =			log2 x	,
			arcsin(x − 2)
y = 3 1 − x + tg x	,	y = x +9 + e1/ x .
4 − x2			2 + 3 x

23

Домашнее задание № 1

3. Дана функция f (x) = 1 + lg x . Найти f (1), f (10), f (x3 ), f (1 / x) .

Решить уравнение	[ f (x) ]2 [ f (1/ x) ]2 = 4 − 2 [ f (x) ] 2.
4. Построить графики функций:		y = −(x − 2)3,
y = sin x + 2 ,	y = 3 +	4x + x2 ,	y =	3	x	.
2					− x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β( x) = sin4 (3x2 ) −3 arcsin2 (3x − 4x2 ) +1 − cos( x2 + x4 ) .

6.Вычислить пределы:

lim	x2 + 2x −3		,	lim	tg x −sin x		,	lim	16 − x − 4	,
	x3 + 4x2 +3x								x +1 −1
x →−3				x →0 2x2 arcsin x				x →0
x −3		4x−1		lim	(	2x +1 −		3x +1 .
lim		,
x →∞	x			x →+∞				)

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

			2	x	,	x ≤ 0,
y = 31/ (1−x) + 2,	y =		− x +1,			0 < x < 3,
			− 2,			3 ≤ x .
8. Решить графически уравнение		lg x − x + 2 = 0.

24

Введение в анализ

Вариант 1.18

1.Окно имеет форму прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр окна равен 2 p . Найти функциональную зависи-

мость площади окна от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций:						y = (log3 x − log2 x )−0,5,
	y =	4		+	x ,	y = x2 − 7x +10 + arctg 1 .
		ctg 3x −1							x
3.	Дана функция f ( x) = sin x .					Найти	f (π / 3), f (5π / 6),
	f (x −π / 2),		f (x +π).
	Решить уравнение				f (π / 2) − 0,5 f (2x) + f ( x) − f (π / 2 − x) = 0 .
4.	Построить графики функций:					x = 4 +	1 − y ,
	y =	x + 4	,		y = arctg(x −1),		y =		log3(2 − x)		.
		2 − x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

	β(x) = 2		2			+ arctg2 (3x)		−5	1 + 4x3 + x6 +1.
		e3x−4x		−1
6. Вычислить пределы:
lim	x3	−8		,		lim	4 + 2x − 2		3x + 2		2x+1
							x +1	−1	, lim		,
x →2 (x2 −5x + 6)(x −12)					x →0				x →∞ 3x −1

3	1	+ x	3 − x2	lim	cos	3x − cos	5x	.
lim			,		1	− cos 6x
x →∞ 3x		+ 4 x − 2		x →0
						25

Домашнее задание № 1

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

					x2 +1,	x < 0,
	−2
y = 4(x+2)		,	y =		1 − x2 ,	0 ≤ x <1,
					x2 ,	1 ≤ x .
8. Решить графически уравнение					sin x − x = 0.

Вариант 1.19

1.Периметр равнобедренного треугольника равен 2 p . Треугольник

вращается вокруг оси симметрии. Найти функциональную зависимость объема тела вращения от длины основания треугольника. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций:				y = arcsin(x −3) ,
						ex+4
	y = ln	1 − 2x ,	y = x2 −3x − 4 +			1	.
		x +3			3	x2 − 25
3.	Дана функция ϕ(x) = x2 −5x .			Найти	ϕ(1),	ϕ(a),	ϕ(x −1),
	ϕ( x / 2) .	Решить уравнение		ϕ(x2 ) =ϕ(1).
4.	Построить графики функций:			y = 2 −	− x2 + 6x ,
	y = −cos 2x ,		y = log2 (x + 4) ,		y = e−2x + 2.
5.	Найти при	x →0 главную часть степенного вида бесконечно
			26

Введение в анализ

малой функции

β(x) = tg3(2x) −52x2 +x +1 − ln(1 + 3x6 + x5 ).

6.Вычислить пределы:

lim

x3

− x2 − x − 2

,

lim

x −3 x/ 2

lim

sin 2x

,

x2 − 4

,

3 −

3 + x

x →2

x →∞

x + 2

x →0

lim

x

2

+1

−

,

lim

sin 3x −sin 2x

.

x

arctg 2x

x →+∞

x →0

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

	31/ (x+2)						5	− 4 − x,		x ≤ 4,
y =			,	y	=
	+31/ (x+	2)						1	,	4 < x .
2
						4		− x
8. Решить графически уравнение							2x − log2 (x +3) = 0.

Вариант 1.20

1. Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом. Периметр окна равен 2 p . Найти функциональную зави-

симость площади окна от высоты его прямоугольной части. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций:					y =		4		6x − x2 −5 ,
y = 2 9−x2 +	6		,	y = arctg		1			+ lg(2x +5).
	4 cos2 x −1					x +1
				27

Домашнее задание № 1

3.

Дана функция

f ( x) = sin 2x .

Найти

f (−π / 6),

f (π / 3),

f ( x −π / 4),

f ( x +π / 2) .

Доказать тождество

x

π

−

x

π

−

x

f

+ f (x) + f (1,5 x) = 4 f (x) f

4

f

3

.

2

6

4

4.

Построить графики функций:

x = 3 +

− y2 − 4 y −3 ,

y =

3x − 2

,

y = arctg 3x,

y = sin(x − 2)

+ 3.

1 − x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = 2(1 − cos(x4 ) ) +5 3 1 + x3 −1 + 2x2 −1.

6. Вычислить пределы:
lim	3x4 − 4x3 +1	,	lim	cos 5x − cos 2x		,	lim		2x + 3	x+1
	(x −1)2			x arcsin(x / 2)					2x −1	,
x →1			x → 0				x →∞
lim	5x		,	lim	4x3 − 6		.
	3 1 + x − 3 1 − x
x →0			x →∞ 2x4 + 3x2

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

y = e	−(x−3)−2	+ 2,	y =	lg(1 − x),	x <1,
					1 ≤ x .
				(x − 2)2 ,
8. Решить графически уравнение				2 x + x = 0.

28

Введение в анализ

Вариант 1.21

1.Периметр осевого сечения цилиндра равен 6 p . Найти функцио-

нальную зависимость объема цилиндра от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.

Найти области определения

функций: y = arccos x

+

− x ,

7

y =

x2 + 6x +10

,

y =

6 − x +

1

.

x2 −

9x +14

lg (2x − 3)

3.

Дана функция

f ( x) = sin

x

+ cos

x

.

Найти

f (π / 2),

f (−π),

f (2x +π), f ( x − 2π).

2

2

Доказать, что

f ( x + 2π) + f ( x + 6π) = − 2 f (x).

4.

Построить графики функций:

y =1 +

x2 + 4x + 5 ,

y = x + 1 ,

y = −2 + cos

x

,

y =

lg(x − 2)

.

x

2

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = arctg2 (x + x2 ) − 4sin(2x3 + x4 ) + 2 ln(1 + x4 + x6 ).

6.Вычислить пределы:

2x2 −3x +1

x2 −1

x2

/ 3

x3 +8

lim

,

lim

,

lim

,

+ 4x −5

x2

x − 6 + 2

x →1 x2

x →∞

x →−2

3

29