Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 1

Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций: y = log0,5(x −3) ,

y =

1

1

+ arcsin x ,

y = arctg 1 +

3 + 2x − x2 .

− tg x

x

3.

Дана функция

f (x) = a2 + x2 .

Найти

f (0), f (a),

f (x2 ), [ f (x) ] 2.

Решить уравнение

x f (x) +[ f (x) ] 2 = [ f (2a) ] 2.

4.

Построить графики функций:

y = 3 +

2x +1,

y = π + arctg x ,

y =

sin x −1

,

y = 4x −1.

2

x + 2

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = 8x3 − 2x2 + 73x−4x3 −1 + ln 2 (1+ 4x5 ) + tg3(x6 ).

6.Вычислить пределы:

lim

x3

+ 2x2

− x − 2

,

lim

sin x

,

lim

e3x −1

,

x2 −3x + 2

5 − x + 25

ln (1 + 6x)

x →1

x →0

x →0

lim

x6 + 2x4

−3

,

π

+ 7

lim (3 − x) tg

x .

x →∞ 2x3 −5x

x →3

6

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их гра-

40

						Введение в анализ
фики:
			4	− x	2	,	x ≤1,
y = 2 1/ (5−x) +1,	y =
				−	3 + x2 ,		1 < x .
		1
8. Решить графически уравнение		(x − 2)2 − log2 x = 0.

Вариант 1.30

1.Из проволоки длиной 120 см необходимо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Найти функциональную зависимость площади полной поверхности параллелепипеда от стороны его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.Найти области определения функций:

	y = ln (2x +1)	,	y = arcsin 1 − x ,		y =	x −8 .
	arctg (x −3)			2		x2 −1
3.	Дана функция ϕ( x) = 3 1 − x3 .			Найти	ϕ(b),	ϕ(1), ϕ(1 / x),
	ϕ(1 − x).
	Решить уравнение		[ϕ(x) ]3 +ϕ[ϕ(x) ] −ϕ(0) = 0.
4.	Построить графики функций:			y = 2 +sin(x / 3),
	y = log2 (3 − 2x) ,		y =1 − 0,5 − x2 + 6x ,		y = 0,5 arctg(x −1).

5. Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно

41

Домашнее задание № 1

малой функции

β(x) = 4e3x2 +6x5 − 4 + 5 1+8x2 −1+ 3x + sin3(4x2 ).

6.Вычислить пределы:

1

2x2

1 − x −3

4x −3 x−6

lim

−

,

lim

,

lim

,

x2

−

3 x +

2

x →1

x −1

1

x →−8

x →∞

4x +5

lim

1

−

1

,

3

1 + x2

+ 6x

.

2 4x

4sin

2

lim

x2 −3x +1

x →0

sin

2x

x →∞

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

	−2				2 − x,		x ≤ 2,
y = 4 −(x+1)		+ 3,	y =
					x +1 ,		2 < x .
				x − 2
8. Решить графически уравнение			x2 −		x +1	= 0.

42

2. Определенный интеграл

Вариант 2.1

	∞	dx
1.	Вычислить несобственный интеграл ∫		2	+1	.
	0	(x +1) x
2.					x =1,
	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

( y − x)2 = x3.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли r2 = 4 cos 2ϕ.

4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

	фигуры, ограниченной линиями			x = 0, y = 2x − x2, y = 2 − x .
5.	Определить длину дуги линии			y = ln x	при изменении аргумен-
	та на промежутке	3	≤ x ≤ 12 .
		4	5
6.	Найти координаты	центра тяжести однородного полукруга, огра-
	ниченного линиями		y = 0,	y = −	9 − x2 .

7.Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический котел. Радиус котла R = 2 м.

8.Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20 м, нижним 10 м, высотой 6 м. Определить силу давления воды на плотину.

Вариант 2.2

			∞	x +1
	1.	Вычислить несобственный интеграл	∫		dx .
				(x2 +1)3/ 2
			0
	2.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x + y = 0,

2x − y2 +3 = 0.

43

Домашнее задание № 2

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 4(1− cosϕ).

4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY

фигуры, ограниченной линиями	y = arcsin x,	y = π / 2,	x = 0.
5. Определить длину дуги кривой	x= −ln(cos y)	между	точками
с ординатами y1 = 0 и y2 = π / 3.

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = x .

7.Какую работу надо затратить, чтобы поднять всю воду из цилиндрического бака диаметром 2 м и глубиной 4 м на высоту 15 м над верхним краем бака?

8.Горизонтальная труба, поперечным сечением которой является круг диаметром 6 м, наполовину заполнена водой. Найти величину силы давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу.

Вариант 2.3

		∞
1.	Вычислить несобственный интеграл ∫ e−		x dx .
		0
2.	Найти площадь фигуры,	ограниченной линиями x + 3y = 0,
	y2 = x + 4.
3.	Вычислить площади фигур, ограниченных линиями			r = 2a ,
	r cosϕ = a .
4.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
	фигуры, ограниченной линиями x = 4, y = x,			y = 2 x .
5.	Найти длину дуги линии	x = 5(t − sin t),	y = 5(1 − cos t) ,
	0 ≤ t ≤ π .
		44

Определенный интеграл

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями 4 y = x2, y = 4.

7. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрического бака, имеющего радиус основания 2 м

ивысоту 5 м.

8.Определить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку,

	имеющую форму трапеции, нижнее	основание	которой равно
	10 м, верхнее − 6 м, а высота − 5 м,	если уровень погружения
	нижнего основания равен 20 м.
	Вариант 2.4	∞
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫ lnx2x dx .
		1	x = 4 − y2 ,
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

x= y2 − 2 y .

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией

r= 2 − cosϕ .

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

	фигуры, ограниченной линиями				y = 0,	3x −10 y = 0,
	9x2 −25y2 = 225		(x ≥ 0) .
5.	Найти длину	дуги	линии	y =	(3 − x) x	между точками, ор-
	динаты которых равны нулю.				3
6.	Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды
	x = 2 cos3 t,	y = 2sin3 t ,		расположенной в первом квадранте.

7.Резервуар, имеющий форму конуса с вершиной, обращенной вниз, до краев наполнен водой. Высота конуса равна 3 м, а радиус основания − 0,9 м. Какую работу нужно совершить, чтобы выка-

45

Домашнее задание № 2

чать из резервуара всю воду?

8. Определить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку, имеющую форму эллипса, большая ось которого равна 6 м и находится на поверхности воды. Малая ось эллипса равна 4 м.

Вариант 2.5

				2	x2dx
1.	Вычислить несобственный интеграл ∫					6 .
				0	64 − x
2.	Найти площадь фигуры,		ограниченной линиями			y = 0 ,
	y = ln2 x,	x =1 / e.
3.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	r2 =16sin 2ϕ, r = 2 2		(вне окружности).
4.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
	фигуры, ограниченной линиями			y = sin x,	y = 3sin x , на про-
	межутке	0 ≤ x ≤ π .
5.	Найти длину дуги линии		y = ln (2 cos x) между смежными точ-
	ками пересечения ее с осями координат OX и OY.
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями		y =1,	y = 5 − x2 .

7. Скорость движения точки V = t e−0,01t м/с. Найти длину пути,

пройденного точкой от начала движения t = 0 до полной остановки.

8. Треугольная пластина с основанием 30 см и высотой 20 см погружена вертикально в воду так, что ее основание находится на поверхности воды. Определить силу давления воды на одну из сторон пластины.

46

		Определенный интеграл
	Вариант 2.6	0
			arctg x
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫	x2 +1 dx .
		−∞
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 −3y = 0,

2x2 +3y −12 = 0.

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 2 + cosϕ.

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной линией x2 + y2 −8 y + 7 = 0.

5. Найти длину дуги линии y = ln (x2 −1) при изменении аргумента на промежутке 2 ≤ x ≤ 3.

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигу-

ры, ограниченной кривой	1 x2	+ 1 y2	=1 и осями координат
	4	9

( x ≥ 0, y ≤ 0 ).

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса. Радиус основания конуса равен 3 м, высота − 5 м.

8.Пластинка, имеющая форму эллипса, вертикально погружена в жидкость, с удельным весом d . Большая ось эллипса, равная 2a , параллельна уровню жидкости. Найти силу давления жидкости на

каждую сторону пластинки, если центр эллипса находится на глубине h, а малая ось равна 2b ( h > b ) .

Вариант 2.7

	4		dx
1. Вычислить несобственный интеграл	∫				.
		x	x	2
	2				− 4
47

Домашнее задание № 2
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями							y = 0 ,
	y = x2, x + 2 y −3 = 0.
3.	Вычислить площадь фигуры,			ограниченной линиями ϕ = π / 6,
	ϕ = π / 3,	r = 4 cosϕ,	r = 8 cosϕ		(π / 6 ≤ϕ ≤ π / 3).
4.	Вычислить объем тела,		образованного вращением вокруг оси ОХ
	фигуры,	ограниченной	гиперболой		1 x2	− 1 y2 =1	и	прямы-
	ми x = ±4.				4	2
5.	Найти длину дуги линии, заданной параметрическими уравне-
	ниями	x = 4(cos t + t sin t),		y = 4(sin t − t cos t) ,			0 ≤ t ≤ 2π .
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями		y = 0, y = sin x			( 0 ≤ x ≤ π ).

7. Котел, имеющий форму полушара, частично заполнен водой. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать воду из этого резервуара, если радиус котла равен R , а уровень воды расположен ниже края сосуда на R /2 ?

8. Найти силу давления на каждую из сторон прямоугольной пластины, вертикально погруженной в воду, если ее основание равно 5 м, высота − 4 м. Верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Вариант 2.8

		∞			dx
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫					.
			x	x	2	+ x +1
		1
							1 x2
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями					y =		,
							3

y= 4 − 23 x2 .

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

r = 4 cos3ϕ, r = 2 ( r ≥ 2 ) .

48

Определенный интеграл

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY

	фигуры, ограниченной линиями		x = 2,	x = 2 4 − y2 .
5.	Найти длину дуги линии	y = arcsin(e−x ), 0 ≤ x ≤1.
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями	x = 2,	y = 2,	x + y = 2.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие резервуара, имеющего форму вертикально стоящего цилиндра, если удельный вес масла равен γ , высота цилиндра − H , радиус основания − R .

8. Пластинка, имеющая форму круга, вертикально погружена в воду. Найти силу давления воды на сторону пластинки, если центр круга находится на глубине 2 м, а его радиус равен 4 м.

Вариант 2.9

				∞
1.	Вычислить несобственный интеграл			∫ x e−xdx .
				0
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	x2 −3x − y = 0, 3x + y − 4 = 0.
3.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	r = cosϕ, r = sin ϕ	( 0 ≤ϕ ≤ π / 2 ).
4.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОX
	фигуры, ограниченной линиями		y = sin x,		y =	2	x .
						π
5.	Найти длину дуги линии y2 = x3 ,		отсекаемую прямой x = 4 .
					3
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями	y = 0,	y = 4 − x2.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы тело

49