Индивидуальное дз по Матану

Министерство транспорта России Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедры высшей и прикладной математики

домашних заданий по курсу высшей математики

∑e jπ xi i

∞

∫x n −1e−x dx

0	e = 2,7182...

Екатеринбург

2004

Министерство транспорта России Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедры высшей и прикладной математики

В.Я. Егоров А.И. Недвецкая М.А. Толмачева

С Б О Р Н И К

домашних заданий по курсу высшей математики

Методическое руководство для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Издание второе, исправленное

Екатеринбург

2004

Настоящее руководство содержит три больших домашних задания по основным темам курса высшей математики. Цель заданий − упорядочить самостоятельную работу студентов.

Студент, приступающий к выполнению индивидуальной работы, должен предварительно проработать необходимый теоретический и практический материал на групповых занятиях.

При оформлении отчета решения задач обязательно сопровождать подробными объяснениями и иллюстрировать чертежами.

Объем индивидуальных заданий зависит от времени, отведенного на изучение темы.

Работы следует представлять на проверку в сроки, предусмотренные семестровыми планами. По теме домашнего задания, как правило, проводится коллоквиум.

Авторы: ст. преп. ст. преп. ст. преп.

В.Я. Егоров, А.И. Недвецкая, М.А. Толмачева.

Под редакцией В.Е. Замыслова

Рецензент: доцент кафедры "Высшая математика" УрГУПС к.ф.-м.н. П.П. Скачков.

©	Уральский государственный университет путей сообщения
	(УрГУПС), 2004

1. Введение в анализ

Вариант 1.1

1. В конус с высотой H вписан шар. Найти функциональную зависимость объема шара от радиуса основания конуса. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций:

	y =	4x − x2 ,	y = arccos	1 − 2x ,	y =	log0,3(3 − x) .
				3
3.	Дана функция f (x) = lg(x −3). Найти				f (4), f (13), f (x2 ),
	f (1 / x).	Решить уравнение		f (x +3) + f (x) = f (7).
4.	Построить графики функций:			y = (x +1)3 + 2,
	y = sin(2x +3) −1,		y = log2 (3x −1) ,			y =			x
											.
								x	−1

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = 3sin 2 (x3 + x2 ) + 4 arcsin3 x + 7 3 1 + x5 + 2x6 −1 .

6.Вычислить пределы:

lim

x +3 − 2

,

lim

x sin 3x

,

lim

3x2

−5x − 2

,

x +15 − 4

1

− cos

4x

−3x − 2

x →1

x →0

x →2 2x2

lim

2x x

lim

x2 − x

−1

.

,

−3x2

+ x

x →∞

2x −1

x →∞ 1

3

Домашнее задание № 1

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

			ex ,	x ≤ 0 ,
y = 3 1 ( x−2) +1,	y =		2x − x2 ,	0 < x < 2,
			0,	2 ≤ x .
8. Решить графически уравнение		2x + x − 2 = 0.

Вариант 1.2

1.В конус с радиусом основания R и высотой H вписан цилиндр. Найти функциональную зависимость объема цилиндра от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.Найти области определения функций:

y =

x

,

y = arcsin 2x ,

y = log3

9 − x2

x2

.

8 + 2x − x2

+ 4

Дана функция f ( x)

=

x2

f (3) ,

f (−1) ,

f (2x),

3.

.

Найти

x2

− 4

−32

f ( x ).

Доказать,

что

f (x + 2) − f (x − 2) =

.

x(x2 −16)

4.

Построить графики функций:

y = arctg 2x ,

y = 2 cos(x −1),

y = 1 −

4x − x2 ,

y =

2x + 3 .

x + 3

5.

Найти при

x →0 главную часть степенного вида бесконечно

4

Введение в анализ

малой функции

β( x) = 1 −cos(x	3		5	1	+ 2x	9	+ x	3		+ln	2	( 1	+ x	4	+ x	5	) .
		) + 2							−1

6. Вычислить пределы:

lim

x3 +8

, lim

x + 4 − 2

,

lim

sin 2x − 2 sin x

,

x

x3

x →−2 x3 +3x2 +3x + 2

x →0

x →

0

2x +1 x

lim

x

2

− 7x

−

x

2

+9x

lim

,

.

x →∞

2x +3

x →∞

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

y = 3 − 2	1/ x	,	y	=	ln(−x) ,	x < 0,
						0 ≤ x .
1 + 21/ x					(x − 2)2 ,
8. Решить графически уравнение					3 x−1 + x = 0.

Вариант 1.3

	1. В эллипс	x2	+	y2	= 1 вписан прямоугольник. Найти функ-
		16		9

циональную зависимость площади прямоугольника от абсциссы его вершины, лежащей в первой четверти. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций: y = lg(sin x),

	y = 5 − x −	6	,	y = 0,5 4−x2 +	1		.
		x			x −1
				5

Домашнее задание № 1
3.	Дана функция f (x) = tg x .		Найти	f (π 3),	f (π 6),
	f (x +π 2), f ( x2 ).
	Решить уравнение	f 2 (x) + f (x) f (x −π 2) = 2.
4.	Построить графики функций:		y = x +sin 2x ,
	y = log2 (3 − x) ,	y = 3 + 4 − x ,		y =	2x +1.
					1 − 2x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции β(x) = arcsin 2 (x + 2x3 ) −3 tg4 x + 2 arctg5 x .

6.Вычислить пределы:

lim	3x2	+ x − 4	,	lim
		− x −5
x →1 6x2				x →0
lim	2x +3 −			3x + 4 ,
x →−1		x +1

1 + cos 2x − 2 cos x		,	lim		2 + x x
x sin 3x					,
			x →∞		x
lim	1 − x −	3x	2
			.
x →∞ 2x2 +5x

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

					2	− x	,	x < 0,
	1
y = −		,	y =			+ 2,		0 ≤ x < 2,
	(x + 2)2			x
						x2 +5 ,		2 ≤ x .
8. Решить графически уравнение					lg x + x −3 = 0.

Вариант 1.4

1. В шар, радиус которого равен R , вписан конус (из двух возможных случаев выбрать конус с наибольшей высотой). Найти функ-

6

Введение в анализ

циональную зависимость площади боковой поверхности конуса от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций:				y =		x2 −5x + 6 ,
	y = arccos 2x +1,		y =		1	+	x −3 .
		4		ctg x +1
3.	Дана функция	f (x) = lg (2x −1). Найти					f (1), f (5,5),
	f (1 + x), f ( x / 2).
	Доказать, что	f (x) + f (2x +1) = f [ x(4x −1) ].
4.	Построить графики функций:		y = −		− x2 −5x − 4 ,

x		−	π	y = log3(3x − 2),	y = x +	3	.
y = sin	2		,			x
			4

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = arctg2 (x3 + x4 ) + 2sin(4x2 + 2x6 ) − ln(1 + 2x4 + 3x5 ) .

6.Вычислить пределы:

x3

− 4x2 + 7x − 6

1 − cos 4x

2x +1

x

lim

,

lim

,

lim

,

x cos x

2x + 5

x → 2 x3 − 2x2 + x − 2

x → 0

x →∞

lim

x2 − 3x3

+ 6x

,

lim

x − 2

.

+1)(x2

+ 2)

x +12 −

x →∞ (x

x → 4

4

7

Домашнее задание № 1

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

		1					−		1− x ,	x <1,
y = arctg			,	y	=
	x	−1						3
							x		,	1 ≤ x.
8. Решить графически уравнение						2 sin x + x −1 = 0.

Вариант 1.5

	1. В эллипс	x2	+	y2	=1 вписан прямоугольник. Найти функцио-
		a2		b2

нальную зависимость периметра прямоугольника от абсциссы его вершины, лежащей в первой четверти. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.

Найти области определения функций:

x

y = arcsin

+1 ,

2

− log2

3

y =

1

+

1 − 2x .

y = lg 1

,

2 − x

x3

− x

3.

Дана функция

f ( x) =

2x

.

Найти

f (−3),

f (2),

f (1 / x),

− x2

f (cos x) .

1

f (tg 2x) = − 3 .

Решить уравнение

4.

Построить графики функций:

y = 2 +

2

x2 − 2x +10 ,

3

y =

cos(2x +1)

,

y = lg (−x +1),

y =1 − (x − 2)3.

8

Введение в анализ

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-

лой функции β(x) = e2x3 +x8 − 1 + 3 5 1 + x6 − 1 + 23x4 − 1.

6.Вычислить пределы:

lim

x3 + 4x2 + 4x + 3

, lim

4x3

−8x

,

lim

3x −1 x2

x3 + 27

5x2 +

,

x →−3

x →∞ 3x4 −

6

x→±∞

3x

lim

(

x − 2 − x

)

,

lim

tg x − tgα

.

x →∞

x →α sin x −sin α

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

y = 2 +3	−1/ x2	y	=	1 / (x + 2) ,	x < −2 ,
	,				− 2 ≤ x .
				(x + 2)2 ,
8. Решить графически уравнение				4 cos x − x −5 = 0.

Вариант 1.6

1. В шар, радиус которого равен R , вписан конус (из двух возможных случаев выбрать конус с наибольшей высотой). Найти функциональную зависимость объема конуса от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций:			y =		x	,
				2 cos x −1
y = x2 − 7x +12 ,	y =		1	5)	+ 2 1/ x .
x2 −10x + 25		ln(2x +

9