Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 2

угол при вершине равен 30°. Большее основание пластины лежит на поверхности воды.

Вариант 2.22

		1	73x2 +2	2 dx .
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫
		−1	x
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 0,

y = e− x sin x ( 0 ≤ x ≤ π ).

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 12 + cosϕ .

4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY

фигуры, ограниченной линиями	x = 2, y =	0, y = x2.
5. Определить длину дуги кривой	y = ln(cos x)	на промежутке
0 ≤ x ≤ π / 4.

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной эллипсом		1	x2 +	1		y2 =1 и осями координат
	16			25

( x ≤ 0, y ≥ 0 ).

7. Котел имеет форму поверхности, полученной вращением парабо-

лы y = 2x2 вокруг своей оси. Определить работу, которую надо затратить на выкачивание жидкости с удельным весом γ из наполненного котла, если его высота равна 2 м.

8. Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой равно 10 м, верхнее − 6 м, а высота − 4 м. Нижнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 10 м.

Вариант 2.23

60

Определенный интеграл

					2	dx
1.	Вычислить несобственный интеграл				∫ 3		1)	2 .
					0	(x −
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями							y2 = x,
	y2 = 2x −2 .
3.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	r = 2sin 2ϕ,	r =1	( r ≥1).
4.	Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
	фигуры, ограниченной линиями			y = 2 − x,		y = 2 − 1 x2 .
								2
5.	Определить длину дуги цепной линии				y = 3 (ex/3 + e−x/3 ) на
	промежутке	−3 ≤ x ≤ 3.				2
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями		y2 = 2x,	x = 2.

7.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму шарового сегмента. Высота котла 2 м, радиус шара 3 м.

8.Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, закрыт круглой заслонкой. Определить силу давления воды на заслонку, если диаметр трубы равен 60 см, а центр заслонки находится под водой на глубине 15 м.

Вариант 2.24

		5	dx
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫ 3		2 .
		3	(4 − x)
2.	Найти площадь плоской фигуры, заключенной между парабо-
	лой x2 + 2x + y = 0 и прямыми, касательными к ней в точках
	61

Домашнее задание № 2

M(0; 0) и N(−2; 0).

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 4sin2 ϕ.

4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY

фигуры,	ограниченной линиями	y = x, y	2 = x.
5. Определить длину дуги кривой		y = ln(2x)	на промежутке
3 ≤ x ≤	8 .

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной координатными осями OX, OY и дугой эл-

липса	1 x2	+ 1 y2	=1 (x ≤ 0, y ≤ 0).
	9	4

7. Какую работу надо затратить, чтобы некоторое тело поднять с поверхности Земли на высоту h ? Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность? Используйте закон всемирного

тяготения F = k mM r2 , где r	− расстояние от центра Земли
до тела, k − постоянная величина,	M − масса Земли, m − масса
тела.

8. Пластина в форме круга вертикально погружена в воду. Определить силу давления воды на сторону пластины, если радиус круга равен 5 м, а верхний конец вертикального диаметра лежит на поверхности воды.

Вариант 2.25

			∞	dx
	1.	Вычислить несобственный интеграл	∫
					.
				(x + 2)2 (x +3)2
			0
	2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
		y = x2 − 2x, y = x .

3. Показать, что площадь сектора, ограниченная двумя радиус-

62

Определенный интеграл

	векторами		гиперболической спирали			r = a / ϕ
	нальна разности длин этих радиус-векторов.
4.	Определить объем тела, образованного вращением
	фигуры,	ограниченной		цепной	линией	y =	3
	осью ОХ	и прямыми		x = ±3.			2
5.	Определить		длину дуги одной		арки циклоиды

,пропорцио-

вокруг оси OХ

(ex/3 + e−x/3 ),

x = 3(t −sin t) ,

y= 3(1− cos t).

6.Найти координаты центра тяжести дуги однородной окружности, стягивающей угол 2α . Радиус окружности равен R .

7.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из вертикально стоящей цилиндрической цистерны, ра-

диус основания которой равен 2 м, а высота − 3 м.

8. Пластина, имеющая форму эллипса, погружена вертикально в жидкость наполовину. Определить силу давления жидкости на каждую сторону этой пластины, если одна из осей эллипса длиной 10 м лежит на поверхности жидкости, а длина погруженной полуоси равна 15 м. Удельный вес жидкости равен γ .

Вариант 2.26

					e	dx
	1.	Вычислить несобственный интеграл			∫		.
						x (5 − 4 ln x)2
					0
	2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
		y = 2 − x2,	y3 = x2.
	3.	Вычислить	площадь фигуры,	ограниченной линиями r =1,
		r =1+ cosϕ	( r ≥1).
	4.	Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OХ
		фигуры, ограниченной линиями		x = e,		y = 0, y = ln x .

63

Домашнее задание № 2

5. Определить длину дуги кривой y = ln(sin x) на промежутке

π / 4 ≤ x ≤π / 2 .

6.Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями	y = cos x, x = 0, y = 0, и располо-
женной на промежутке	0 ≤ x ≤ π / 2.

7. Два тела движутся по одной и той же прямой линии со скоростя-

ми v = 3t 2	− 4t м/с и	v	2	= 4t +12 м/с. Если в начальный мо-
1

мент времени t = 0 они находились в одной точке, определить, когда и на каком расстоянии от этого места они снова встретятся.

8. Пластина, имеющая форму треугольника с основанием 6 см и высотой 2 см, погружена вертикально в воду вершиной вниз так, что основание ее параллельно поверхности воды и находится на глубине 1 см. Определить силу давления воды на каждую сторону этой пластины.

Вариант 2.27

				∞	dx
	1.	Вычислить несобственный интеграл		∫
						.
					(x2 −1)2
				2
	2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
		y =1−(x − 2)2 ,	x + y =1.

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r = 2 cos2 ϕ .

4.Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси OХ

фигуры, ограниченной линиями x = π / 4, y = 0, y = tg x .

5. Определить длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от точки О(0; 0) до точки А(4; 8).

6. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной линиями y = ex , y = e, x = 0.

64

Определенный интеграл

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму усеченного конуса. Высота конуса равна 4 м, радиус нижнего основания равен 2 м, верхнего − 3 м.

8. Пластина, имеющая форму круга, вертикально погружена в жидкость с удельным весом γ . Найти силу давления на сторону пла-

стины, если радиус круга равен R , а его центр находится на глубине H ( H > R ).

Вариант 2.28

		2			dx
1.	Вычислить несобственный интеграл	∫	x	2		2 .
		3			4 − x
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	y = x / 2, y =1 / (2x), x = 4 .

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r =1+sin 2ϕ.

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY

	фигуры, ограниченной линиями	y = ln x,	y = 0, x = e.
5.	Определить длину дуги кривой	x = 2 cos3 t,	y = 2sin3 t при
	0 ≤ t ≤ π / 4.
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями y = −6 + x2 , y = −2.

7.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы с помощью насоса поднять воду, наполняющую полусферический котел, на высоту 10 м над верхним краем котла. Радиус котла равен 2 м.

8.Треугольная пластинка вертикально погружена в воду так, что ее вершина находится на 10 см выше поверхности, а основание па-

65

Домашнее задание № 2

раллельно поверхности воды. Найти силу давления на стороны пластинки, если основание треугольника равно 50 см и находится на глубине 30 см.

Вариант 2.29

							0
1.	Вычислить несобственный интеграл						∫ x e2xdx .
							−∞
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	y = 8 / (x2 + 4),		x2 = 4 y.
3.	Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями
	r = 2	sin 2ϕ,	r =	2	( r ≤ 2 ).
4.	Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY
	фигуры, ограниченной линиями					x2 + y2 = 9,		2x − 5y = 0,
	x = 0 ( y ≥ 0 ) .
5.	Определить длину дуги параболы						y = 2 x,	0 ≤ x ≤1.
6.	Найти координаты центра тяжести дуги однородной окружно-
	сти	y = 4 − x2 ,		−	3 ≤ x ≤	3 .

7.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом основания R и высотой H . Удельный вес песка равен γ .

8.Найти силу давления на каждую из сторон прямоугольной пластинки, вертикально погруженной в воду, если основание ее рав-

но 4 м, высота − 2 м. Верхнее основание пластинки параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Вариант 2.30

66

Определенный интеграл

	∞	(arctg x −3)2
1.	Вычислить несобственный интеграл ∫	1+ x2	dx.
	0
2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	y = (x − 2)3, y = 4x −8.

3.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией r =1+ cos 2ϕ .

4.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OХ

	фигуры, ограниченной линией		x2 + y2 − 2x − 4 y + 4 = 0.
5.	Определить длину дуги кривой		y = ln(1− x2 ), 0 ≤ x ≤1/ 4.
6.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигу-
	ры, ограниченной линиями y = 2 ln x, y = 0,			x = e.
7.	Котел имеет форму поверхности, полученной вращением парабо-
	лы y = 4x2	вокруг своей оси.	Определить работу, которую надо
	затратить на выкачивание жидкости с удельным весом γ из на-
	полненного котла, если его высота равна 4 м.
8.	Найти силу,	с которой вода давит на плотину,		имеющую форму
	трапеции. Верхнее основание трапеции равно			7,8 м, нижнее ос-
	нование − 5,1 м, высота − 3 м.

67

3. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Вариант 3.1

1. Найти массу линии, образованной контуром треугольника ABO: A(1; 0), B(0; 1), O(0; 0), если линейная плотность в каждой точке равна сумме координат этой точки.

2.	Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями				y = x2,
	4 y = x2 ,	x = 2, x = −2.
3.	Найти объём тела, ограниченного двумя поверхностями				z = 0,
	z =64 − x2 − y2.
4.	Определить статический момент относительно оси OX плоской
	фигуры,	ограниченной	кривой	(x2 + y2 )2 = 8a2x y,	x ≥ 0,
	y ≥ 0, если плотность		γ (x, y) = x .
5.	Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной
	линиями	16 y = x2 , 4y2 = x ,		если плотность в каждой точке

γ (x, y) = y .

6.Найти момент инерции относительно оси OX цилиндра, огра-

	ниченного	поверхностями				y2 +z 2 = 9,		x = 2,	x =5,	если
	объемная плотность			γ (x, y, z) = x .
7.	Вычислить	работу,		совершаемую			силой	Fr = ( x2 + 2xy) rj , при
	перемещении точки под действием этой силы по верхней по-
	ловине эллипса		1 x2 +		1 y2	=1	против часовой стрелки.
			4		9	ar = y i − x j + x k
8.	Найти циркуляцию			вектора					вдоль	замкну-
	той линии, составленной из отрезков осей координат и дуги
	астроиды	x = 2 cos3 t,			y = 2sin3 t, z = 0			(x ≥ 0,	y ≥ 0).

68

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

9. Найти непосредственно и с помощью формулы ОстроградскогоГаусса поток векторного поля F = (x + z) i через внешнюю сто-

рону полной поверхности пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью x + y + z − 6 = 0.

10. Показать, что поле вектора a является потенциальным, и найти его потенциал, ar = (4x3 y3 −3y2 +5) ri + (3x4 y2 − 6xy − 4)rj .

	Вариант 3.2
1.	Вычислить массу дуги первой арки циклоиды						x = 3(t −sin t ) ,
	y = 3(1− cos t ).			Линейная плотность в каждой точке равна квад-
	рату ординаты этой точки.
2.	Вычислить		площадь плоской		фигуры,	ограниченной линиями
	y2 =4 + x,		x + 3y = 0.
3.	Найти объём тела, ограниченного поверхностями						y = 4 ,	y = x2,
	z =0,	z = x2 + y2 .
4.	Вычислить массу однородной плоской фигуры, ограниченной
	линиями		x2 + y 2 = 2x, x2 + y2 = 4x,			y = x,	y = 0	(между
	прямыми).
5.	Найти	координаты центра тяжести плоской фигуры, ограничен-
	ной линиями			y = x2 , y =1,	если плотность		в каждой точке

γ (x, y) = y.

6.Найти момент инерции относительно оси OZ конуса, ограничен-

ного поверхностями x2 + y2 − z 2 = 0,	z = 2, если объемная
плотность γ (x, y, z) = z .
7. Вычислить работу, совершаемую силой	F = y i + x j +( x + z) k ,

при перемещении материальной точки под действием этой силы

69