Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 3

ar = (x + y +1) ex − e y ri + ex −(x + y +1) e y rj .

Вариант 3.12

1.

Вычислить массу криволинейного треугольника

OAB:

O(0; 0),

A(1; 1),

B(2; 0),

где OA - дуга параболы

y = x2, а линии AB

и BO - отрезки прямых.

Линейная плотность

γ (x, y) = 2x .

2.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной

линиями

y =1,

3.

y = 4,

y =1 / x2 .

z = 0,

Найти

объем

фигуры,

ограниченной

поверхностями

x + y + z = 3a ,

x2 + y2 = a2 .

4.

Вычислить момент инерции относительно оси OY плоской фи-

гуры, ограниченной осями координат

и

линией

x2 + y2 =1

( x ≥ 0,

y ≥ 0),

если плотность

γ (x, y) =

x2 + y2 .

5.

Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

x2 + y2 = 4,

x + y = 2

(x + y ≥ 2).

6.

Найти момент инерции относительно оси OY однородной фигу-

ры, ограниченной поверхностями

y2 = x2 + z 2 ,

y = 3.

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

F = yx ir +( y − x) j ,

по

перемещению материальной точки под действием

этой силы

по

ломаной ABС:

A(1; 1),

B(2; 3),

C(2; 1).

8.

Найти

циркуляцию вектора

ar = 0,5yx i +(z / x) rj +( y / x) k

по

замкнутой линии x =1,

y = cos t,

z = 3sin t, 0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти

непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (x + 2 y −3z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

x + 2 y − 2z −8 = 0.

80

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

		ar =	x	r		y	r
	10. Показать, что поле вектора			i	+		−1 j
			x2 + y2
					x2 + y2

является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.13
1.	Вычислить массу дуги линии				x = t, y = 1 t 2 ,		z = 1 t3,	0 ≤ t ≤1,
						2	3
	если линейная плотность			γ (x, y, z) =		2 y .
2.	Вычислить площадь		плоской		фигуры,	ограниченной		линиями
	y = x3,	x + y = 2,	y = 0.
3.	Вычислить объем фигуры,			ограниченной поверхностями x = 0,
	y =1,	y = 3, z = 0,	z = ln(2 − x).

4.Вычислить массу однородной плоской фигуры, ограниченной линией (x2 + y2 )2 = 2xy .

5.Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = 3 − x2 , y = 2x .

6.

Найти статический момент относительно плоскости

XOY од-

нородного конуса, ограниченного

плоскостью

z = 0

и

поверх-

ностью

z = 4 −

x2 + y2 .

силой F = (x −1 / y) rj ,

7.

Вычислить работу, совершаемую

по

пе-

ремещению материальной

точки

под действием этой

силы

по

параболе

y = x2

от точки

A(1; 1)

до точки

B(2; 4).

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = yx i + yz j + xz k

по линии, об-

разованной контуром треугольника

ABC: A(3; 0; 0),

B(0; 3; 0),

C(0; 0; 3).

9.

Найти непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (3x + 5y − 4z) ri

через внеш-

81

Домашнее задание № 3

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью		x − 4 y − 2z − 4 = 0.
10. Показать, что поле вектора	ar = x	x2 + y2 ri + y x2 + y2 rj

является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.14
1.	Найти массу дуги эллипса	x = 2 cos t, y = 3sin t ( x ≥ 0, y ≥ 0 ),
	если линейная плотность	γ (x, y) = x y .
2.	Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
	2x +3y = 6, y = 5 / (6x).
3.	Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями z = 0,
	z = y, x2 + y2 =1 ( z ≥ 0) .

4.Вычислить массу плоской однородной фигуры, ограниченной линией (x2 + y2 )3 = y4.

5.Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = 2x, y = 8 − x2 .

6. Найти момент инерции однородного куба относительно его ребра, если длина ребра равна единице.

7. Вычислить работу, совершаемую силой F = yx rj , по перемеще-

	нию	материальной точки под			действием этой силы вдоль ли-
	нии	y = arcsin x ,	0 ≤ x ≤ 1.
8.	Найти циркуляцию		вектора		ar = yz ir + x 2z rj + xy 2 k по ли-
	нии	x =1, y = cos t,		z = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π .
9.	Найти непосредственно			и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля				F = (4x −3y + 2z) rj через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 4x +3y − 2z −12 = 0.

82

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

10. Показать, что поле вектора

a является потенциальным,

и найти

его потенциал в области

x > 0,

y > 0,

r

z

z

r

z

2xyz

r

x

1

r

a

=

+

i

+

−

j

+

−

k .

2

2

2

2

2

2

y

1 + y

(1

+ y

)

1

+ y

x

xy

xy

Вариант 3.15

1.

Найти массу

дуги кривой

y = x2

от точки

A(2; 4)

до точки

B(1; 1), если линейная плотность

γ(x, y) =12 x .

2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y = ex ,

y = e− x ,

y = 2.

3.

Найти массу

однородной плоской фигуры,

ограниченной линия-

ми

x2 + y2 =

3 x,

x2 + y2 = y

(внутри окружностей).

4.

Найти статический момент относительно оси OY плоской одно-

родной фигуры, ограниченной линиями

x = y2 − 2 y,

x = 0.

5.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z =

5 ,

z =

1 x2 + 1

y2 +1.

4

4

6.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, огра-

ниченной поверхностями

2x +3y =12,

z = 0, z =

1 y 2 ,

x = 0 .

2

F = x2 ri + y x rj ,

7.

Вычислить

работу, совершаемую

силой

по

перемещению

материальной точки под действием этой силы

вдоль ломаной линии

OBC:

O(0; 0), B(2; 0),

C(2; 2).

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = x i + y j + xz k

по контуру тре-

угольника ABC:

A(4; 0; 0),

B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).

9. Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

83

Домашнее задание № 3

Гаусса поток векторного поля

F = (5x +3y − 2z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

−5x +3y +3z +15 = 0 .

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным, и найти

r

2

2 r

2

2

r

его потенциал,

a =

x

+ y

x + y

1+ x

i

+ 1+

y j .

Вариант 3.16

1.

Найти момент инерции относительно оси OY однородной ок-

ружности

x2 + y2 = 4.

2.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной линиями

x = −1,

x = y2 − 2 y , y = 2 .

3.

Вычислить объем фигуры, ограниченной поверхностями

y = 2 ,

y = 1 x2

,

z = 0,

z = 4 − y2.

2

4.

Найти массу плоской неоднородной фигуры, ограниченной лини-

ей (x2 + y2 )3 = (x2 − y2 )2 .

Плотность γ (x, y) =

x2 + y2 .

5.

Найти координаты центра

тяжести

плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = e2x ,

y = e−2x ,

y = e .

6.

Найти статический момент относительно плоскости

XOY

одно-

родной фигуры, ограниченной поверхностями

z = 8 − x2 − y2,

z = 4.

7.

Вычислить работу, совершаемую силой

F = (x + y) i +(x − y) j ,

по перемещению материальной точки под действием этой

силы

вдоль параболы

y = x2

от

точки

A(–1; 1) до точки

B(1; 1).

8.

Найти

циркуляцию

вектора

ar = 2xz i + yz j + xy k

по линии

x = 2 cos t,

y = 2sin t,

z =1,

0 ≤ t ≤ 2π .

84

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

9. Найти непосредственно и с помощью формулы ОстроградскогоГаусса поток векторного поля F = (x − 2 y + z) i через внешнюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-

ными плоскостями и плоскостью

6x + 2 y − z − 6 = 0.

r

3

2x

r

x

2

r

i

2 y

10. Показать, что поле вектора a

= x

+

+

−

y2

j

y

является потенциальным, и найти его потенциал при

y > 0 .

Вариант 3.17

1.

Вычислить

массу первого

витка

винтовой

линии

x = cos t ,

y = sin t,

z =

8 t .

Плотность

линии

в каждой

точке

равна

квадрату расстояния от этой точки до начала координат.

2.

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линиями

x =10,

x +3y =10,

5x − 6 y = −20.

3.

Найти объем

фигуры,

ограниченной

поверхностями

y = ex ,

y = e− x ,

z = e2 − y2 ,

z = 0.

4.

Вычислить массу однородной фигуры, ограниченной лемнискатой

Бернулли

(x2 + y2 )2 = 4(x2 − y2 ), окружностью

x2 + y2 = 4x

и прямыми

y = x,

y = − x .

5.

Найти координаты центра тяжести

плоской однородной фигуры,

ограниченной линиями

y = sin x,

y = cos x,

x = 0

(x ≥ 0) .

6.

Вычислить

статический

момент

относительно плоскости

XOY

однородной фигуры,

ограниченной поверхностями

y = x,

x =1,

y = 2x ,

x2 + y2 + z 2 = 9

(z ≥ 0) .

7.

Вычислить работу, совершаемую силой Fr = (x − y2 )ir+(x + y)2 rj ,

по перемещению материальной точки под действием этой силы по линии, образованной контуром треугольника ABC: A(1; 1),

85

Домашнее задание № 3
	B(2; 0), C(4; 2).			ar = xz i +3yz j + 7x k по эллипсу
8.	Найти циркуляцию вектора
	x = 2sin t,	y = 3cos t,	z = 4,		0 ≤ t ≤ 2π .
9.	Найти непосредственно		и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля			F = (x + 2 y −3z) j через внешнюю
	сторону полной поверхности пирамиды, образованной координат-
	ными плоскостями и плоскостью				2x −3y + z +12 = 0.
10. Показать,		что поле вектора a		является потенциальным, и найти

его потенциал, ar = (x2 + y) ri +(x +5y2 ) rj + 3z 2 k .

	Вариант 3.18
1.	Найти массу дуги параболы		y2 = 6x , отсеченной		параболой
	x2 = 6 y , если	линейная плотность в каждой		точке	параболы
	равна ординате этой точки.
2.	Вычислить площадь фигуры,		ограниченной	линиями		y = x ,
	y = 8 / (x + 2),	x = 0.
3.	Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями x = 3,					z = 0 ,

z= x2 − y2.

4.Найти момент инерции относительно начала координат плоской

	однородной		фигуры, ограниченной линией			(x2 + y 2 )2 = 4xy
	( x ≥ 0,	y ≥ 0).
5.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями			y = 3 / (x − 2),	y = x,	x =1.
6.	Вычислить		статический	момент относительно		плоскости XOY
	фигуры,	ограниченной поверхностями			z =1,	z = 4, y2 = x ,
	y2 = 4 −3x ,		если объемная плотность		γ (x, y, z) = z .

86

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

7.

Вычислить работу силы

F = x j

по

перемещению

материаль-

ной точки

под действием этой силы вдоль правой полуокружно-

сти

x2 + y2 = 9

от точки

A(0; –3)

до точки B(0; 3).

8.

Найти циркуляцию вектора

ar = yz 2 ir + x 2z rj + y 2x k

по ок-

ружности

x = 3cost,

y = 3sin t,

z =1, 0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти

непосредственно

и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (−2x +5y + 2z) k

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

− x +3y + 4z −12 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным,

и найти

r

2 y

r

r

( x > 0 ).

его потенциал, a

=

+1 i

+(2 ln x +5 y) j + z 2 k

x

Вариант 3.19

1. Вычислить момент инерции относительно начала координат отрезка AB: A(0; 1), B(1; 2), если линейная плотность в каждой точке γ (x, y) = x2 .

2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

	y = x3 − x ,		y = x4 −1.
3.	Найти массу верхней половины круга				x2 + y2 =16,	если	плот-
	ность	γ (x, y) = ln(1+ x2 + y2 ).
4.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями			y = 6 / (x − 2), y = 2x,		y = 5.
5.	Найти	объем	фигуры,	ограниченной	поверхностями z = 5 ,
	z 2 = x2 + y2 +1.
6.	Вычислить статический момент относительно плоскости						XOY
	однородной фигуры, ограниченной поверхностями					x =1,	y = x ,
				87

Домашнее задание № 3

y = −x, z = 0, z = x2 + y2 .

7.

Вычислить работу, совершаемую силой F = (4 − y) i + ( y − 2) j ,

по перемещению материальной точки

под действием этой силы

вдоль первой арки циклоиды

x = 2(t −sin t ),

y = 2(1− cos t ).

8.

Найти циркуляцию

вектора

r

= y

2r

+ x

2 r

2 r

по

окруж-

a

i

j + z

k

ности

x =1,

y = 5cos t,

z = 5sin t,

0 ≤ t ≤ 2π .

9.

Найти непосредственно и с помощью формулы Остроградского-

Гаусса поток векторного поля

F = (−8x +3y − 2z) i

через внеш-

нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-

динатными плоскостями и плоскостью

6x −3y − 2z + 6 = 0.

10. Показать, что поле вектора

a

является потенциальным, и найти

r

x

r

2x

r

5 r

его потенциал,

a

= 2 ln

− x2 i

+

3sin y −

j

+

k

y

z

y

( x > 0, y > 0, z > 0 ).

Вариант 3.20

1.

Вычислить массу дуги линии

x = et cost,

y = et sin t,

z = 2et ,

0 ≤ t ≤1,

если линейная плотность

γ (x, y, z) = z .

2.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

y = 1 x2 ,

2

y =1 / (1+ x2 ).

3.	Найти объем фигуры, ограниченной поверхностями x = 0, y = 0,
	z = 0, z = 4 − x2 , 2x + y = 4 ( x ≥0).
4.	Найти момент инерции относительно оси OX однородной пло-
	ской фигуры, ограниченной линией (x2 + y2 )3 = x2.
5.	Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,
	ограниченной линиями y = x, x2 + y 2 = 4x (y ≥ 0) .
	88

Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

6. Вычислить статический момент относительно плоскости XOY

	однородной фигуры, ограниченной поверхностями						x =1− y2 ,
	x = 0, z = 0,		z = y2 .			r
7.	Вычислить работу, совершаемую силой
						F = (x2 + 2xy) ri , по пе-
	ремещению материальной точки под действием этой силы вдоль
	нижней половины эллипса			1 x2 + 1 y2 =1 (обход против часо-
	вой стрелки).			9	4
8.	Найти циркуляцию вектора			a	по кривой	x = 2 cos t ,	y = 2sin t ,
	z = 2,	где	ar = ( yz − x2 ) ir +(xz − y2 ) rj + z 2 kr.
9.	Найти	непосредственно и с помощью формулы Остроградского-
	Гаусса поток векторного поля				F = (7x +3y − 6z) rj через внеш-
	нюю сторону полной поверхности пирамиды, образованной коор-
	динатными плоскостями и плоскостью −3x + y − 6z +18 = 0.
10. Показать, что поле вектора					ar = 2xy2z ir + 2x2 yz rj + x2 y2 k

является потенциальным, и найти его потенциал.

	Вариант 3.21
1.	Найти массу четверти эллипса	1 x2	+ 1 y2	=1 (x ≥ 0,	y ≥ 0) ,
		9	4
	если линейная плотность в каждой точке γ(x, y) = xy .
2.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной			линиями	y = x3,

y= 4x .

3.Найти массу фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной

линиями	r = 2cos 2ϕ , r = 2	(вне окружности), если плот-
ность	γ (r,ϕ) = r2 .

4. Найти координаты центра тяжести плоской однородной фигуры,

89