Индивидуальное дз по Матану

Домашнее задание № 1

3. Дана функция		f ( x) = sin x + cos	x	. Найти	f (−π / 2),			f (0),
f (2x),		2
	f ( x −π).
Доказать,	что	f ( x + 2π) + f ( x +π) = −			π	−	x
					2 cos		2	.
					4

	4. Построить графики функций:						y = −1,5 − x2 + 2x + 3 ,
	y = sin	x −1		+1,	y =		2x −1			y = ex + e− x .
									,
							x +1
	2

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = tg3 2x − 2 arcsin 2 (x4 + 2x2 ) + 54x6 −x7 −1.

6.Вычислить пределы:

lim	2x2	+3x −5	,	lim	4 + x − 2	,	lim		x −1 x+2	,
					tg 3x
x →1 x2 − x				x →0			x →∞		x +3

	lim	sin 2x −sin x	,	lim	x2 − x +1	.
		arctg x			(x −1)2
	x →0			x →∞

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

y = arctg	1	,	y =		1 + 2 − x , x ≤ 1,
	(x − 2)2				ln(x −1),	1 < x .
8. Решить графически уравнение				2x − log2 (−x) = 0.
			10

Введение в анализ

Вариант 1.7

1. В окружность, радиус которой равен R , вписан прямоугольник. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от длины его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.

Найти области определения функций:

y =

5 − 4x − x2 ,

y = lg

x2

−1

+

1

,

y = arccos

x +1

.

x

2 −

4x +5

3

+ x

3

3.

Даны функции: f ( x) =

1− 4x2

и

g(x) = 0,5sin x .

Найти

f (0), g(−π / 6),

f (1 / x),

g(x +π / 2) .

Решить уравнение

f ( g( x) ) = 0 .

4.

Построить графики функций: y = log2 (2x +3),

y =

3x − 4

,

x − 2

y = x + sin(x / 2),

x = 5 −

y + 2 .

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) =1 − cos(x + x2 ) + ex6 +3x3 −1 + 2 ln 2 (1 + 4x4 + x3 ).

6.Вычислить пределы:

lim	1 + x − 1 + x2	, lim	x4	+ 2x2 −3	,	lim	5x +1	x/ 3
	1 + x −1								,
x →0		x →1 x2 −3x + 2				x →∞ 5x − 2

	lim	sin [π(3	+ 2x) ]	,	lim	2x3 −3x +10			.
		tg[π(2	+ x) ]			3x2	−	100
	x →0				x →∞
						11

Домашнее задание № 1

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

			cos x,			x ≤ 0,
y = 21/ (3−x) −1,	y =		3x + 2,			0 < x <1,
			x	2	+ 4x,	1 ≤ x .
8. Решить графически уравнение		x −sin x =1.

Вариант 1.8

1. Периметр прямоугольника равен 4a . Найти функциональную зависимость площади этого прямоугольника от длины его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций: y = lg cos x ,

	y =		1	,	y =	x − 2	+	3	1	.
		tg(2x +π / 4)				x +3		x	−5
3.	Дана функция		f ( x) =	4x +	1 .	Найти		f (1),	f (1 + x),
					x
	f (x2 ), f (1 / x).		Решить уравнение [ f (x) ] 2 = 5.
4.	Построить графики функций:				y = arctg 2x ,			y = −cos (x / 3),
	y = 2 log2 (3 − x) ,				y =1 − 0,5		x2 + 2x − 3 .

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции

β(x) = 4sin 4 (2x3 ) − 2(43x2 −1) +3 7 1+ x3 + 4x4 −1 .

12

								Введение в анализ
6. Вычислить пределы:
lim	3 x − 6 + 2		,	lim	sin πx	,		lim	x2	− 4	,
	x3 +	8			sin 3πx
x →−2				x →1				x →2 3x2 − x −10
	x −1	2x		lim	x2 −5x		+1	.
lim		,			3x +	7
x →∞	x +1			x →∞

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

2

1

,

x <1,

y =

,

y =

1 − x

1 (x−2)

3

+1

e

x

,

1 ≤ x .

8. Решить графически уравнение

x2 +

1

+1 = 0.

x

Вариант 1.9

1. В сегмент, ограниченный параболой y2 = 4x и прямой x = 2,

вписан прямоугольник. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от его высоты. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций: y = ln(1 − x) + ln(1 + x) ,
	y =	x2	− 2x + 7	,	y = arcsin(2x −3) +		1		.
			2x +5			4x −3
3.	Дана функция		f ( x) =tg x .		Найти f (0), f (−π / 4),			f (2x) ,

13

Домашнее задание № 1

f ( x / 2). Решить уравнение

0,25 [ f (x) + f (π / 2 − x) ] 2 + f (x) f (π / 2 − x) = 2.

4.

Построить графики функций:

y =cos

x +1

,

y =

lg(4 − x)

,

2

y = 3 − x2 − x ,

y = 0,5 ( ex + e− x ).

5.

Найти при x →0

главную часть степенного вида бесконечно ма-

4

− arctg3 x +1 − cos(x + x3 ).

лой функции β(x) = 3 e2x

−1

6.

Вычислить пределы:

lim

3 −

5 + x

,

lim

1 − cos3 x

,

lim

1

−

3

,

1 −

5 − x

tg2 4x

1 − x

x →4

x →0

x →1

1 − x3

x (ln(2x +1)

− ln(2x +3) ),

3

lim

lim

1 − x

x +

.

x →∞

x →∞

7.

Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

2

4 − x

,

x < 0,

y = 2 −1/ (x−1)

+3,

y =

x

0 ≤ x .

x +1,

8.

Решить графически уравнение

log2 x −sin x = 0 .

Вариант 1.10

1. В треугольник с основанием a и высотой H вписан прямоугольник так, что основание прямоугольника лежит на основании треугольника. Найти функциональную зависимость площади прямоугольника от его высоты. Указать область определения этой

14

Введение в анализ

функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.	Найти области определения функций:				y = 2	(x−x2 )−0,5
									,
	y =	1 − x	,	(	− 4 +	6 − x		)	.
		x3 +5x2 +		y = lg x
			6x
3.	Дана функция f (x) = x2 +3x .			Найти f (1),		f (−2), f (2x) ,
	f (1 / x). Решить уравнение			f ( x − 2 ) =0.
4.	Построить графики функций:			y = −sin(2x − 4),
	y = log3(2x +1) ,		y = (x −3)3 + 2,			y =	x +3			.
							x − 4

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-

лой функции β(x) = 2 ln3(1 + 2x) − 4 tg2 ( x2 ) + 2 (3x5 −1).

6.Вычислить пределы:

lim	x2	− 2x	,	lim	sin 7x	,	lim		2x −3	4x
										,
x →2 x2 − 4x + 4				x →0 tg(x2 +πx)			x →∞		2x

	lim	3 x2 − 2 3 x +1	,	lim	3x5 +1		.
		(x −1)2			2x6	+ 7x2
	x →1			x →∞

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

		0,		x < −2,
y = 31/ x − 2,	y =		− 4 − x2 ,	− 2 ≤ x ≤ 2,
			x +1,	2 < x.

15

Домашнее задание № 1

8. Решить графически уравнение log2 x − 2− x = 0.

Вариант 1.11

1. Образующая прямого кругового конуса равна L. Найти функциональную зависимость объема конуса от радиуса его основания. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2.

Найти области определения функций:

y =

1

,

tg 2x +1

y =

1 − log2 (2 − x) ,

y = x2 − 4x + 3 + arctg 1 .

x

3.

Дана функция

f ( x) = sin 2x − cos 2x .

Найти

f (π / 2) ,

f (−π / 4),

f (x +π / 4),

f (x −π / 2) .

Доказать,

что

f ( x +π) − f ( x −π / 2) = 2 f ( x).

4.

Построить графики функций:

y = x +sin 3x ,

y = lg (1 +3x) ,

y = 2 − 1 + x ,

y =

2x +1 .

x +1

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно малой функции β(x) = ( e4x3 +x2 −1) + sin3(2x) − 7 1 + 2x4 +1.

6.Вычислить пределы:

lim

x +13 −(x +1)

,

lim

x3

−3x − 2

,

lim

1 − cos x

,

x2 −9

− x − 2

x tg 3x

x →3

x → −1 x2

x →0

2

lim

1 + x

,

lim

x [ ln(x +1)

− ln x ].

x

− x

x →±∞

x

→∞

16

Введение в анализ

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

		3	1/ x					− x
y =					,	y =		e ,	x ≤ −1,
		1/ x
3				+ 2				ln(x +1),	−1 < x .
8. Решить графически уравнение								(x −1)2 − log2 x = 0.

Вариант 1.12

1.Два поезда с интервалом в два часа отправляются со станции в направлениях, составляющих между собой угол α . Скорости поездов одинаковые и равны V . Найти функциональную зависимость расстояния между поездами от времени. Указать область определения этой функции.

2.Найти области определения функций:

x

y = arccos

1

,

y = 3 1/ (x−1) +

4

−1.

y = lg tg

,

x

x2

2

3.

Дана функция f ( x) = x2 + 2.

Найти f ( 3 ),

f (a),

f ( x +1),

f ( x3 ).

Решить уравнение

f [ f (x) ] =11.

4.

Построить графики функций:

y =

2 sin(x +π / 3)

,

2

y = lg(3 − x) ,

x = 2 −

− y2 − 2 y + 8 ,

y = x +

.

x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-

лой функции β(x) = tg3(2x4 ) −3 1 + x + 2x2 +1 + ( 32x4 +x5 −1).

17

Домашнее задание № 1

6. Вычислить пределы:

lim			x	3 +1	,
			+3x + 2
x →−1 x2
			2
lim		x		+3x +1 −
x →∞

lim		x +9 x + 2	,	lim	x +1 −1		,
					5 + x −	5
x →∞		x +8		x →0

						π		π
					sin 2x +		−sin x −
	2					6		6
x		+ x − 2	,	lim					.
						3x +π
				x →−π/ 3

7.Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

			1						x +1	,	x <1,
y =	arctg				,	y	=		1 − x
		x	+	2
									− x ,		1 ≤ x .
8. Решить графически уравнение								2− x − x 3 = 0.

Вариант 1.13

1.Периметр равнобедренного треугольника равен 2 p . Треугольник

вращается вокруг основания. Найти функциональную зависимость объема тела вращения от длины основания треугольника. Указать область определения этой функции и область определения соответствующего ей аналитического выражения.

2. Найти области определения функций:				y =		x −1		,
					x2		−3x − 4
y = logπ	2x + 4	− x +5 ,	y =	1	π / 4)		+ x .
	x −3			sin(x +
			18

					Введение в анализ
3.	Дана функция f (x)	= 2x .		Найти	f (0),	f (2x +1), f (1 / x),
	f (log2 5).	2[ f (x) ] 4 −17[ f (x) ] 2 +8 =0 .
	Решить уравнение
4.	Построить графики функций:			y	= e2x + e−2x ,
	y = 1 + cos(x − 2),		y = 2 −		1 − 4x2 ,	y =	3x .
							1 − x

5.Найти при x →0 главную часть степенного вида бесконечно ма-

лой функции β(x) = 5ln(1 + 2x3 − x4 ) − 2 sin 4 (3x) + arctg3(4x2 ) .

6.Вычислить пределы:

lim	x3	+8x2 +15x	,		lim	1 − cos 3x	,	lim		2x +1	x
		x3 + 27				sin 2 2x				3x − 2	,
x →−3					x →0			x →∞
lim		x		,		3 1	+ x3
	2	+ x − 2 − x			lim			.
x →0					x	→∞ x + x2		+ x

7. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

		1/ (1−x)				x2 +3,			x ≤2,
y =	4 + 2		,	y =		1,			2 < x ≤ 3,
	1 + 21/ (1−x)
						log	2	(x −3) ,	3 <x .
8. Решить графически уравнение						log2 x + x2 −1 = 0.

Вариант 1.14

1.Периметр осевого сечения цилиндра равен 6 p . Найти функциональную зависимость объема цилиндра от его высоты. Указать об-

19