помощь по matcad

3.augment (A,B) формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы должны иметь одинаковое число строк);

4.stack (A,С) формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних– матрица С (матрицы А и С должны иметь одинаковое число столбцов);

5.diag(b) формирует диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят элементы вектора

b=СT ;

6.length(b) вычисляет количество компонент вектора b=СT ;

7.rows(А) вычисляет количество строк матрицы А;

8.cols(А) вычисляет количество столбцов матрицы А;

9.tr(A) вычисляет след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы А;

10.max(В) вычисляет наибольший элемент матрицы В (вектора В);

11.min(В) вычисляет наименьший элемент матрицы В (вектора В);

12.mean(A) вычисляет среднее значение элементов матрицы А (вектора

А).

Задание 2 . 3 . Составьте четыре матрицы А, В, С и D такие, чтобы существовала матрица

K = a11 max(B) C +cols(C) stack(B, A) −diag(D) rows(A)2 ,

где a11 – соответствующий элемент матрицы A . Вычислите матрицу К.

Задания для самостоятельной работы

2.1. Даны матрицы:

20

2	−5	− k			0	15	6
					m	t	0
A = k m		−t		; B =				.
	−3 6				− k
t						− m −t

Вычислите матрицы 6A + B ; AT + B 2 ; A B ;	B A ; A3 .
2.2. Найдите все существующие из	произведений A B, B A, A C,
A D, B C, B D, C D , если

	1	5	−1	6
	−t	0	m	−m
						; B
A =	k	t	2 t	7
		−k	k	1
m
			D = (− k			1

2

=−kmt

m −t).

0

−m

−t

5

−t

0 ; C

1

3

t −1 = 5 ;m

2.3. Проверьте полученные результаты в заданиях 2.1.– 2.2, выполнив данные задания на ПЭВМ.

21

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1 . Теоретические сведения

Рассмотрим матрицу A размера m ×n .

a	11	a	a
		12	13
a	21	a22	a23
A =		...	...
...
		am2	am3
am1
Выделим в ней k строк и k		столбцов

...	a
...	1n
	a2n
...	...	.
...
	amn

( k ≤ min{m;n}). Из элементов,

стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. Например, для матрицы

	1	0	− 4	0
	− 2	6	2	1
	3	2	7	3

при k = 2 определители
		1	0		,		2	1		,		6	2
		−2	6				7	3				2	7

будут минорами данной матрицы. Заметим, что число миноров k -го порядка N

	можно вычислить по формуле N = Cmk Cnk , где Cnk =	n!		– число сочета-
		k!(n −k)!

ний из n элементов по k .

Определение 3 . 1 . Рангом матрицы A (обозначается rang A ) назы-

вается наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Из определения следует, что:

а) ранг матрицы Am×n rang A ≤ min{m;n};

б) rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны

нулю, т. е. A = O ;

в) ранг квадратной матрицы An×n rang A = n тогда и только тогда, когда матрица An×n – невырожденная.

Определение 3 . 2 . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Теорема 3 . 1 . Ранг матрицы не изменится, если:

1) поменять местами любые две строки (два столбца) матрицы;

22

2)умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель λ ≠ 0;

3)прибавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы любой другой строки (другого столбца), умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными.

Определение 3 . 3 . Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получена из другой матрицы с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц A и B обозначается A ~ B .

Пример 3 . 1 . Найти ранг матрицы

	1	2	3	6
	− 2	−1 2		1
A =					.
	1	3	5	2

Решение. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд (строка или столбец) будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Приведем данную матрицу A к такому виду. Для этого 1-ую строку вы-

чтем из 3-й строки, затем, умножив ее на 2,									сложим со 2-й строкой. Имеем
	1	2	3	6					2		1 2			3	6
									+
A ~	− 2	−1 2		1							~	0	−5	−4	−11 .
	1	3	5	2								0	1	2	−4

Далее умножая 1-й столбец на –2, –3 и на –6, складываем его соответст-

венно со 2-м, 3-м и 4-м столбцами, имеем:
	1	0	0	0
	0	−5	−4
A ~				−11 .
	0	1	2	−4

Теперь, умножив 3-ю строку на 5, складываем ее со 2-й строкой, после, умножим 2-й столбец на –2 и на 4, складываем его соответственно с 3-м и 4-м

	столбцами:	1		0	0	0					1 0 0				0			1 0 0				0
	A ~		0	−5	−4	−11		5		~		0	0	6	−31		~		0	0	6	−31 .
								+
			0	1	2	−4						0	1	2	− 4				0	1	0	0
	Умножив 3-й столбец на						31	, складываем его с 4-м столбцом и последнее
							6

действие – разделим 2-ю строку на 6, чтобы получить 1 в этой строке:

23

1 0 0				0		1 0 0				0			1	0	0	0
	0	0	6				0	0	6	0			0	0	1	0
A ~				−31		~						~					.
	0	1	0	0			0	1	0	0			0	1	0	0

В результате получили три единицы. Следовательно, rang A = 3.

За базисный минор можно взять, например, определитель 3-го порядка, который находится на пересечении 1-й, 2-й, 3-й строк и 1-го, 2-го и 3-го столбцов (там, где стоят единицы). Так как перестановки рядов не было, то один из

базисных миноров матрицы A следующий:
		1	2	3
		−2	−1	2	≠ 0 .
		1	3	5

Теорема 3 . 2 ( Кронекера–

Капелли) .

Для того чтобы система

m линейных уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn

a x

+ a x

+... + a x

= b

11 1

12 2

1n n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

,

(3.1)

.......................................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b

m1 1

m

была совместной (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы (3.1)

a	11	a	a	...	a
		12	13		1n
a	21	a22	a23 ...		a2n
A =		...	... ...		...
...
		am2	am3 ...
am1					amn
и ранг расширенной матрицы
a		a	...	a	b
	11	12		1n	1
a21		a22	...	a2n	b2
B =			... ...		...
... ...
a		a	...	a	b
	m1	m2		mn	m

системы (3.1) были равны, то есть rang A = rang B = r . Далее, если

1)rang A = rang B и r = n , то система (1) имеет единственное решение;

2)rang A = rang B и r < n , то система (1) имеет бесконечное множество

решений, зависящих от n −r произвольных параметров.

В случае, когда r < n r переменных x1 , x2 , ..., xr называются основными

(или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n −r называются не основными

(или свободными).

24

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Пример 3 . 2 . Выяснить, совместны ли системы уравнений:

− x1 +4x2 +5x3 −4x4 = −15

4x1 +3x2 −3x3 − x4 = 4

x

+ x −2x +4x = 3

−

x

+

3x

−

2x

=

1

1

2

3

4

3x

а)

1

2

3

4

;

+6x2 + x3 = −3

; б)

+ x2 − x4 = 0

2x1

3x1

3x

1

+ x

3

+2x

4

=1

5x

+4x

−2x

+ x

4

= 3

1

2

3

x1 −6x2 +5x3 = 2

в)

4x

−4x

+3x

= 5.

1

2

3

−2x3 = 3

3x1 +2x2

Решение.

а) Составим основную и расширенную матрицы данной системы и найдем их ранги с помощью команды rank(A) :

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Обозначим
		−1	4	5	−4			Основная матрица системы
		−1	1	−2	4
A :=
		2	6	1	0
		3	0	1	2
		−1	4	5	−4	−15
		1	1	−2	4	3		Расширенная матрица системы
B :=
		2	6	1	0	−3
		3	0	1	2	1
Определим ранги матриц								rank ( A) → 4	rank ( B ) → 4

Так как rang A = rang B = 4 и

единственное решение.

б) Для данной системы имеем:

	4	3	−3	−1
	3	−1	3	−2
A :=	3	1	0	−1
	5	4	−2	1

n=r =4, то система совместна и имеет

Основная матрица системы

25

		4	3	−3	−1	4
		3	−1	3	−2	1		Расширенная матрица системы
	B :=	3	1	0	−1	0
		5	4	−2	1	3

Так как rang A ≠ rang B , то система уравнений несовместна (не имеет

решений).

в) Аналогично:

Обозначим
		1	−6	5
A :=		4	−4	3			Основная матрица системы
		3	2	−2
		1	−6	5	2
B :=		4	−4	3	5		Расширенная матрица системы
		3	2	−2	3
Определим ранги матриц							rank (A) → 2 rank (B) → 2

Так как rang A = rang B = 4 и n = 3, то система имеет бесконечное множество решений.

Задания для самостоятельной работы

3.1. Найти ранги следующих матриц методом элементарных преобразований:

k + m		2	3	0
	−t	4	−1 1			;
а) A =
	m	3	0	5

3.2. Исследовать системы уравнений:

	tx +					2x		−3x		+3x = 5
	1					2			3			4
а) (k −m)x1 + 4x2 −2x3 +6x4 = 7 ;
	3x	+				kx	−4x			+5x		= −3
	1					2			3		4
	x1 − x2 + x3 + 2x4 +3x5 =1
−tx			+ 2x			− x		+	3x		+ x = −2
	1				2	3			4			5
в) x −kx					−3x		+ 4x				+6x = 5 .
	1		2			3			4			5
	x	+ mx				+tx		+ x		−3x = 0
	1			2		3			4			5
						+ 2x3 +5x4 − x5 = 3
kx1 −3x2

	k				2		1	4
		−1	−3				m	1
б) B =					4		k	2		.
	m
		t			2	−t		3
	8x	−2x	2	+tx			−6x		= −1
	1				3		4
б)	3x1 + kx2 + 2x3 + x4 = 4										;
	−2x	−mx			+3x		−7x		4	= −2
	1		2			3
	x	+5x		+ 2x			−4x		= 0
	1	2			3		4

3.3. Проверьте полученные результаты в заданиях 3.1.– 3.2, выполнив данные задания на ПЭВМ.

26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

1. Теоретические сведения

1.1. Определители

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		можно
Каждой квадратной матрице n -го порядка A =		...	...
... ...
	an2	...
an1			ann

поставить в соответствие число, которое называется определителем (детер-

минантом) матрицы A :

			a11	a12	...	a1n
A		=	a21	a22	...	a2n	или det A , или .
			... ... ... ...
			an1	an2	...	ann

Определитель 1-го порядка задается равенством

A= a11 = a11 .

Определитель 2-го порядка задается равенством

A

=

a11

a12

= a a

22

−a

21

a .

a21

a22

11

12

Определитель 3-го порядка задается равенством

a11

a12

a13

a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32

−

A

=

a21

a22

a23

(4.1)

= −(a

a

a

+a

a

a

+a

a a

)

31

22

23

32

21

33

a31

a32

a33

13

11

12

Формула (4.1) записана по правилу «треугольников» (правилу Саррюса).

Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:

•	•	•		•	•	•		•	•	•
• • •			=	• • •			−	• • •
•	•	•		•	•	•		•	•	•

произведения элементов матрицы, стоящих на главной диагонали, а также образующих равнобедренные треугольники, основания которых параллельны глав-

ной диагонали

произведения элементов матрицы, стоящих на побочной диагонали, а также образующих равнобедренные треугольники, основания которых параллельны

побочной диагонали

27

а)

б)

Пример 4 . 1 . Вычислить определители следующих матриц:

cos α		sin α				3	−1	0
			;	б)		0	1	1		.
а)
	−sin α
		cos α				− 2	4	3

Решение.

A

=

cos α

sin α

= cos α cos α−(−sin α) sin α = cos2 α +sin 2 α =1.

−sin α

cos α

A

3

−1 0

=

0

1

1

= 3 1 3 +(−1) 1 (−2) + 0 0 4 −(0 1 (−2) +0 (−1) 3 +3 1 4) = −1.

−2

4

3

Рассмотрим определитель n –го порядка, то есть определитель вида:

				a11	a12	...	a1n
	A		=	a21	a22	...	a2n	.
				... ... ... ...
				an1	an2	...	ann
Определение 4 . 1 . Минором M ij						элемента aij квадратной матрицы

A называется определитель (n −1) –го порядка, полученный из определителя n - го порядка вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.

Определение				4 . 2 . Алгебраическим дополнением			Aij к элементу aij
квадратной матрицы A называется число, определяемое равенством
						Aij = (−1)i+ j M ij	(4.2).
Пример 4 . 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение к элементу
		3	2	7	−3
		1	1	0	2
a21 матрицы
	A =	0	3	3	4	.
		1	5	1	6

Решение. Минором M 21 является определитель, составленный из эле-

ментов данной матрицы, оставшихся после вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца:

	3		2	7	−3
	1		1	0	2
							,
	0		3	3	4
	1		5	1	6
			28

поэтому M 21 =		2	7	−3		= 2 3 6 +7 4 5 +1 3 (−3)− (5 3 (−3)+1 4 2 + 7 3 6)= 78 .
		3	3	4
		5	1	6

Соответственно алгебраическим дополнением будет число

A21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 78 = −78.

Справедлива формула разложения определителя n -го порядка по i -й строке:

A		= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + aik Aik +... + ain Ain ,	(4.3)

а также формула разложения определителя n -го порядка по j -му столбцу:

A = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + akj Akj

где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij . Пример 4 . 3 . Вычислить определители матриц:

		3	−1	0					3	2	7
									−1	1	0
а)		0	1	1		;	б)
									0	3	3
		− 2	4	3
									1	5	1

+... + anj Anj ,

(4.4)

−3

2 .

4

6

Решение.

а) Для разложения определителя обычно выбирают ту строку или тот столбец, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю. Разложим определитель по элементам 3-го столбца:

					A		=		3				−1				0						= 0 (−1)1+3							0		1		+1 (−1)2+3					3 −1				+
									0				1 1
																															−2 4								−2 4
									−2				4				3
				+3 (−1)3+3												3			−1						= −1 (12	−2)+3 (3 −0)= −10 +9 = −1.
																0 1
	б) Разложим определитель, например, по элементам 2-й строки:
				3				2				7	−3																		2	7		−3						3	7			−3
				−1				1				0		2					=(−1) (−1)2+1																		+1 (−1)2+2
	A		=																												3 3 4									0 3 4					+
				0 3 3 4
																															5	1	6							1	1			6
				1				5				1		6
+ 0 (−1)2+3											3		2			−3					+ 2 (−1)2+4							3				2	7
											0		3				4											0				3		3		= 78 + 79 − 2 51 =55.
											1		5				6											1				5	1

29