помощь по matcad

−x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x4 −15

x1 + 2 x2 − 2 x3 + 4 x4 3

2 x1 + 6 x2 + x3 −6

3 x1 + x3 + 2 x4 11

Обозначим

−1		4	5	−4
	1	2	−2	4
A :=	2	6	1	0
	3	0	1	2
−15
	3
B :=	−6
	11

Используем логическое "Ctrl + ="

Основная матрица системы

Столбец свободных коэффициентов

:=

A

A

→ −240

Определитель системы

Определитель системы ≠ 0 , значит, система имеет единственное решение. Для нахождения решения системы составим определители Di , i =1, 2, 3, 4 :

	−15		4	5	−4
		3	2	−2	4
D1 :=	−6		6	1	0					D1				→ −720
		11	0	1	2
	−1 −15			5	−4
		1	3	−2		4
D2 :=		2	−6	1		0				D2				→ 480
		3	11	1		2
		−1	4	−15		−4
		1	2	3		4
D3 :=		2 6		−6 0						D3			→ 0
		3	0	11		2
		−1	4	5	−15
		1	2	−2		3
D4 :=		2	6	1	−6					D4				→ −240
		3	0	1		11

Заменяем первый столбец в определителе на столбец свободных коэффициентов

Заменяем второй столбец в определителе на столбец свободных коэффициентов

Заменяемтретий столбец в определителе на столбец свободных коэффициентов

Заменяемчетвертый столбец в определителе на столбец свободных коэффициентов

40

Тогда по формулам Крамера:

x1 :=

D1

x2

:=

D2

x3 :=

D3

x4 :=

D4

x1 → 3

x2 → −2

x3 → 0

x4 → 1

Пример 5 . 2 . Решить систему уравнений:
3x1 +2x2 − x3 +2x4 = −5
− x1 −3x2 +2x4 = 3									.
x −4x			3	+ x	4	= −6
1
x	− x	2	+3x		3	+3x	4	=1
1

Решение.

Составим основную матрицу системы и найдем ее определитель:

	3					2	−1	2
	−1					−3	0	2						Основная матрица системы
A :=	1					0	−4	1
	1					−1	3	3
−5
	3													Столбец свободных коэффициентов
B :=		−6
	1
:=		A							A		→ 0			Определитель системы
						− 5		2	− 1			2
						3		− 3	0			2			D1		→ 111
D1 :=						− 6		0	− 4			1
						1		− 1	3			3

Так как определитель D1 ≠ 0 , то система не имеет решений.

Задания для самостоятельной работы

5.1. Решить системы уравнений:

15x + (k + m) y −30		= 0			3x1 + kx2 −2x3 =1
			;		+(k +t)x2 + 2mx3 = k + 2 ;
а)	(m +t)x − my − 40	= 0		б) − x1
					mx1 −3x2 + x3 = −3

41

2x1−(km)x2

+ x4 = −7

x1+mx3

+ 2x5 = −1

x1 +(k +t)x2 −mx3 + 2x4 = 0

2x1 + kx2

+ x3 +(2 −m)x4

= 3

.

в)

− x +tx

−

(k + m)x

−6 = 0

; г)

4x +3x

+(k +1)x

−6x

= 0

3

4

3

4

5

1

1

3x

+ 2x

2

− x

3

+ mx

4

=1

− x

+ kx

2

− x

3

+ mx

4

+ x

5

= 2

1

1

5.2. Проверьте полученные результаты в задании 5.1, выполнив данное задание на ПЭВМ.

42

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

1 . Теоретические сведения

1 . 1 . Матричные уравнения

Пусть даны матрицы A, B, C, X .

Определение 6 . 1 . Равенства вида A X = B , X A = B , A X C = B

называются матричными уравнениями простейшего вида с неизвестной матрицей Х. В этих уравнениях матрицы A, B, C, X таких размеров, что все

используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон равенства находятся матрицы одинакового размера.

Если в уравнениях матрицы A, C невырожденные, то их решения можно записать следующим образом:

A X = B

X A = B

A X C = B

A−1 A X = A−1B

X A A−1 = B A−1

A−1 A X C C −1 = A−1 B C −1

E X = A−1B

X E = B A−1

E X E = A−1 B C −1

X = A−1B

X = B A−1

X = A−1 B C −1

Пример 6 . 1 . Решить матричное уравнение:

1

−

1

2

−1

X =

.

1

0

3

Решение.

−2

Данное матричное уравнение вида A X = B .

1). Проверим условие существования обратной матрицы A−1 ,

для этого

вычислим определитель матрицы А:

1

−1

det

A

=

= −1 ≠ 0 .

−2

1

Значит, единственным

решением

исходного

уравнения является

матрица

X = A−1B .

2). Найдем обратную матрицу:

1 1

−1

−1

−1

1

~

1

A

=

A

=

=

.

det

A

−1

−2

2

1

−1

3). Найдем матрицу X:

−1

−1 2 −1

−2

−2

X = A−1B =

=

.

−2

−1 0 3

−4

−1

43

−2		−2
Итак, решением матричного уравнения является матрица			.
	−4	−1

1 . 2 . Метод обратной матрицы Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

a x

+a x

+K+a x

=b

,

11

1

12

2

1n n

1

a21x1 +a22 x2 +K+a2n xn =b2 ,

KKKKKKKKKKK

a

x

+a

n2

x

+K+a

x

=b .

n1

1

2

nn n

n

Составим матрицы A, B,

X :

a

a

K a

b

x

11

12

1n

1

1

a21

a22

K a2n

b2

x2

,

A =

K

K K K

,

B =

K

, X =

K

a

K a

a

n1

n2

b

x

nn

n

n

где A – матрица системы, содержащая коэффициенты при неизвестных; B –

матрица-столбец свободных членов; X – матрица-столбец (или векторстолбец) неизвестных.

Используя матрицы A, B, X и определение умножения матриц, исходную систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

		A								A X = B .
Если det				≠ 0 , то система совместна и имеет единственное решение:
										X = A−1B .
Пример 6 . 2 . Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
										x + 2y +3z = 5,
									4x +5y +6z = 8,
												= 2.
Решение.									7x +8y
													1 2 3				5		x
1) Составим матрицы A,									B,					4 5 6			8
											X : A =					, B =		,	X = y .
														7 8 0			2
																			z
2) Вычислим det						A			1	2	3		= 27 ≠ 0 . Матрица А невырожденная,
								=	4	5	6
									7	8	0

значит, существует матрица A−1 , поэтому решение системы существует и единственно.

44

3) Составим							матричное																			уравнение														A X = B													и			запишем																	его			решение
X = A−1B .
Для матрицы A найдем обратную матрицу:
A = +				5 6											= −48											, A = −										4 6							= 42 ,							A = +														4 5									= −3 ,
11					8			0																			12									7				0										13														7				8
A	= −						2		3							= 24, A														= +				1						3					= −21, A												= −										1	2						= 6 ,
21							8		0																	22								7						0													23														7	8
A = +							2 3										= −3 , A = −																					1 3							= 6, A = +															1 2										= −3.
31							5			6																		32											4	6										33											7							8
Таким образом,																																														−16								8				−1
																															−48 24											−3
																	1									~																							9 9 9
								−1																					1																		14								7						2
							A			=															A=						42 −21 6 =																						−														;
													det								A																										9								9
																												27																																	9
																																−3 6										−3							1 2 1
																																															−											−
																																																						9
																																															9															9
4) Найдем решение системы:
																	−	16										8				−		1												−16 5 +8																	8 −1 2
x																				9								9					9							5																		9																			−2
																																															14 5 −														8 +							2 2
		−1																14										7					2																									7
y = X	= A						B		=																	−															8	=																																	=		2	.
																				9								9					9																									9
																																									2																																				1
z																	−			1								2				−	1														−1 5 + 2 8 −1 2
Ответ: (− 2;	2;						1).													9								9						9																								9

2.Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Всистеме Mathcad, если задана матрица A и вектор B для системы линейных уравнений в матричной форме A X = B , то вектор решения можно по-

лучить из выражения X = A−1 B .

Поскольку решение систем линейных уравнений– довольно распространенная задача, в Mathcad начиная с шестой версии введена встроенная функция lsolve(A, B) , которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений

A X = B при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов

B .

Пример 6 . 3 . Решить систему уравнений

8x +14y +3z =18

2x +3y −3z = −1 .3x +5y + z = 6

45

Решение.

Введем матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов B :

							МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
				8	14	3						18
A :=				2	3	−3		B :=				−1
				3	5	1						6
	A		= −7					Определитель матрицы А не равен нулю, поэтому
									−17
									7					−2.429
									17
	X := A−1 B							X →					=	2.429
									7
									8					1.143
									7

	Таким образом, решение системы: x =	−17	;	y =	17		;	z =	8	.
		7				7			7
	Данную систему решим, используя функцию lsolve(A, B)								для введенных

матриц A и B :

		−17
		7
		17
X := lsolve(A,B)	X →
		7
		8
		7

	−2.429
	=	2.429
		1.143

Пример 6 . 4 . Решить матричное уравнение

3

−1

−1 4

1 0

11

−1

X

+6

=

.

−

2 5

2 6

−9 1

15 3

Решение.

Запишем данное матричное уравнение в виде

P X (B + k C) = S ,

где матрицы P, B, C и S соответственно равны:

3 −1

−1 4

1 0

;

S =

11 −1

;

P =

;

B =

;

C =

− 2 5

2 6

−

9 1

15 3

k = 6, а X – неизвестная матрица, которую можно получить из выражения

X = P−1 S (B + kC)−1 ,

при условии, что определители матриц P и (B + k C) не равны нулю. Тогда:

46

МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

P :=

3 −1

B :=

−1 4

C :=

1 0

S :=

11 −1

−2 5

2 6

−9 1

15 3

P

= 13

F := B + 6 C

F

= 268

Определители матриц не равны нулю, поэтому

184

−145

−1

S (B + 6

C)

−1

871

1742

0.211 −0.083

X := P

X →

292

−233

=

0.335 −0.067

871

3484

Задания для самостоятельной работы

6.1. Решить матричные уравнения:

0 k

−4 k

−t X = 4

11

а)

+t

−3 m

9 2

m

k t

3

−7

−4 k

+3

X T

б)

+

0 5

m 4

9 2

−3			;
6
=		−9		m		1	−2
								.
		k		t			4
						m

6.2. Решить системы линейных уравнений методом обратной матрицы:

x −(k +

2)x

+ 4x

= −6

x −(t −6) y = k + 2

1

2

3

+(k −5) y = 2

;

а)

mx1

+tx2

−3x3 = 2 ;

б) mx

(t +5)x1 + mx2 −kx3 = t −6

tx +(m +1) y = 4

6x

−kx

3

+ mx

4

= 7

1

2x2 −(m −5)x4

= −m

.

в)

3x

+ mx

−tx

= 0

2

4

1

mx

+ kx

3

−2x

4

=1

1

6.2. Проверьте полученные результаты в задании 6.1– 6.2, выполнив данные задания на ПЭВМ.

47

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

1 . Теоретические сведения

Рассмотрим систему m линейных уравнений относительно n неизвест-

ных x1, x2 , ..., xn

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b

11 1

12

1n

1

a

21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

.

(7.1)

.......................................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b

m

m1 1

Определение 7 . 1. Две системы уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Любые две несовместные системы эквивалентны, так как множества их решений пусты.

Определение 7 . 2. Эквивалентными преобразованиями систем на-

зывают такие преобразования, которые приводят к системе, эквивалентной данной.

К эквивалентным преобразованиям систем относят:

1.Перестановку уравнений.

2.Умножение (деление) одного из уравнений на ненулевое число.

3.Замену одного из уравнений его суммой (разностью) с другим уравне-

нием.

4.Прибавление к одному уравнению членов другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

5.Вычеркивание уравнения со всеми нулевыми коэффициентами, а также одного из двух одинаковых уравнений.

В общем случае для решения системы (7.1) можно не вычислять отдельно ранги основной и расширенной матриц и сравнивать их, достаточно сразу применить метод Гаусса.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) эквивалентными преобразованиями система приводится к ступенчатому (в частности) виду, то есть системе, в которой каждое следующее уравнение содержит меньше неизвестных, чем предыдущее.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

a x		+a x	2	+... +a	x	k	+... +a	x	n	= b
	11 1	12		1k			1n			1
		a22 x2 +... +a2k xk +... +a2n xn = b2									,
				...........................................
				akk xk + +akn xn = bk

48

где k ≤ n, aii ≠ 0, i =1, 2,..., k. Коэффициенты aii называются главными эле-

ментами системы.

Для упрощения записи все эквивалентные преобразования системы производятся не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы, при этом действия выполняются только со строками матрицы. Поскольку полученная система эквивалентна исходной, то в случае ее несовместности делается вывод о несовместности исходной системы. Если же полученная система совместна, то ее решение находится на втором этапе (обратный ход) метода Гаусса, на котором происходит последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Пример 7 . 1 . Решить систему уравнений

− x		+4x		2	+5x			3	−4x	4	= −15
	1
x1	+ x2 −2x3 +4x4 = 3											.
2x		+6x	2		+ x	3	= −3
	1

Решение.

1) Прямой ход. Составим расширенную матрицу системы, отделив вертикальной чертой столбец свободных членов, и с помощью эквивалентных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

−1 4 5 − 4

−15

1 1 − 2 4

3

+

1 1 − 2 4

3

(-2)

B ~

~

~

1 1 − 2 4

3

−1 4 5 − 4

−15

0 5 3 0

−12

+

2 6 1

0

−3

2 6 1

0

−3

2 6 1 0

−3

1 1 − 2 4

3

+

1 1 − 2 4

3

1 1 − 2

4

3

~

0

~

0 1 − 2 8

~

0 1 − 2

8

~

0 5 3

−12

−3 (-4)

−3

0 4 5

−8

−9

(-1)

0 4 5 −8

−9

+

0 0 13 − 40

3

: 13

1 1 −2

4

3

~

8

−3

0 1 −2

.

−40 /13

3 /13

0 0 1

Полученная ступенчатая система эквивалентна исходной системе. Так как rang A = rang B = 3 и ранг матрицы меньше числа неизвестных 3 < 4 , то исход-

ная система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 4 −3 =1 произвольного параметра. В качестве базисных переменных возьмем неизвестные x1, x2 и x3 , тогда свободной переменной будет x4 . Найдем множество решений

исходной системы.

2) Обратный ход. Полученная ступенчатая система соответствует системе уравнений:

49