помощь по matcad

Свойства определителей

1. При транспонировании величина определителя не изменится, то есть:

a11	a12	...	a1n		a11	a21	...	an1
a21	a22	...	a2n	=	a12	a22	...	an2	.
... ... ... ...					... ... ... ...
an1	an2	...	ann		a1n	a2n	...	ann

2.Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна его умножению на −1.

3.Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен

нулю.

4.Умножение всех элементов одной строки (столбца) определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k .

5.Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6.Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.Если каждый элемент i -й строки (или j -го столбца) определителя

представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i -й строке (или соответственно в j -м столбце) имеет первые слагаемые, а другой– вторые; эле-

менты, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,

a11

+c1

a12

a13

a11

a12

a13

c1

a12

a13

a21

+c2

a22

a23

=

a21

a22

a23

+

c2

a22

a23

.

a31

+c3

a32

a33

a31

a32

a33

c3

a32

a33

8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель. Например,

a11	+ka12	a12	a13				a11	a12	a13
a21	+ka22	a22	a23		=		a21	a22	a23		.
a31	+ka32	a32	a33				a31	a32	a33

Пример 4 . 4 .

а) Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства:

x2 + a2	ax 1		x2	x 1
y 2 + a2	ay 1	= a	y 2	y 1	.
z 2 + a2	az 1		z 2	z 1

б) Вычислить определитель матрицы, используя свойства определителей:

30

		3	2	7	−3
		−1	1	0	2
							.
		0	3	3	4
		1	5	1	6

Решение.

а) Так как 1-й столбец левого определителя можно представить в виде суммы двух столбцов, то по свойству 7 этот определитель можно представить в виде суммы двух определителей:

x2 + a2	ax 1		x2	ax 1		a2	ax 1
y 2 + a2	ay 1	=	y 2	ay 1	+	a2	ay 1	.
z 2 + a2	az 1		z 2	az 1		a2	az 1

В правой части элементы 2-го столбца первого и второго определителей имеют общий множитель a , по свойству 4 общий множитель можно вынести за знак определителя. Кроме этого, элементы 1-го столбца второго определителя

имеют общий множитель a2 , поэтому

x2 + a2

ax 1

x2

ax 1

a2

ax 1

x2

x 1

1

x 1

y 2 + a2

ay 1

=

y 2

ay 1

+

a2

ay 1

= a

y 2

y 1

+ a2 a

1

y 1.

z 2 + a2

az 1

z 2

az 1

a2

az 1

z 2

z 1

1

z 1

	1	x	1
Определитель	1	y 1		= 0 , так как 1-й и 3-й столбцы совпадают (свойство 5).
	1	z	1

Таким образом, получаем:	x2 + a2	ax 1		x2	x 1		x2	x 1	,
	y 2 + a2	ay 1	= a	y 2	y 1	+ a2 a 0 = a	y 2	y 1
	z 2 + a2	az 1		z 2	z 1		z 2	z 1

что и требовалось доказать.

б) Метод эффективного понижения порядка. Используя свойства опре-

делителей, вычисление определителя n -го порядка всегда можно свести к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду (строке или столбце) определителя все элементы, кроме одного, равными нулю.

			3	2	7	−3
A		=	−1	1	0	2		.
			0	3	3	4
			1	5	1	6

Получим нули, например, в 3-м столбце данного определителя. Для этого будем последовательно умножать 4-ю строку на 3, 7 и вычитать ее соответственно из 3-й и 1-й строки, после этого будем иметь (меняются последовательно 3-я и 1-я строки, а 4-я остается без изменения):

31

			3	2	7	−3		3	2	7	−3		−4	−33	0	−45
A		=	−1 1		0	2	=	−1	1	0	2	=	−1	1	0	2		.
			0	3	3	4		−3	−12 0		−14		−3	−12 0		−14
			1	5	1	6		1	5	1	6		1	5	1	6

Теперь разложим определитель по 3-му столбцу:

−4

−33

0

−45

−4

−33

−45

−4

−33

−45

−1

1

0

2

=1 (−1)4+3

−1

1

2

= −

−1

1

2

.

−3

−12

0

−14

−3

−12

−14

−3

−12

−14

1

5

1

6

Получим нули во 2-й строке. Для этого сложим 2-й столбец с 1-м, затем, умножив 2-й на 2, вычтем его из 3-го (второй столбец без изменений):

−4

−33

−45

−37

−33

−45

−37

−33

21

−

−1

1

2

= −

0

1

2

= −

0

1

0

.

−3

−12

−14

−15

−12

−14

−15

−12

10

Разложим по 2-й строке:
	−37	−33	21		−37	21		= −(−370 + 21 15)= 370 −315 = 55.
−	0	1	0	= −
	−15	−12	10		−15	10

Замечание

1. Если определитель квадратной матрицы An×n не равен нулю, то матри-

ца называется невырожденной, в обратном случае – вырожденной. 2. Определитель вводится только для квадратных матриц.

1 . 2 . Обратная матрица

Определение 4 . 3 . Матрица A−1 , удовлетворяющая соотношениям

A−1 A = A A−1 = E , где E – единичная матрица, называется обратной к матрице A .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обрат-

ной матрицы). Обратная матрица A−1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица An×n невырожденная.

Обратная матрица A−1 вычисляется по формуле

A−1 = 1A A~T ,

~

где An×n – матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы An×n .

32

	3	−1	2
	2	0	1
Пример 4 . 5 . Найти матрицу, обратную к матрице A =				.
	5	2	0

Решение.

1) Найдем определитель матрицы A : A = −3 ≠ 0 , следовательно, обрат-

ная матрица существует.

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :

A11 = M11 = −2 ; A12 = −M12 = 5; A13 = M 31 = 4;
A21 = −M 21 = 4; A22									= M 22					= −10 ; A23 = −M 23 = −11;
A31 = M 31 = −1; A32 = −M 32 =1; A33 = M 33 = 2.
Составим матрицу из алгебраических дополнений																													~
																													A :
														~			−			2	5							4
																			4			−10
														A	=											−11 .
																			−1		1							2
															~				~T			−2						4					−1
3) Транспонируем матрицу																								5			−10						1
															A :				A		=															.
																								4				−11					2
4) Найдем матрицу A−1 по формуле:																																	2				−4			1
																−2					4					−1							3				3			3
				1					~T					1
	−1																												=			−5 10								−1			.
A		=							A	=									5 −10 1
				A									−3																				3				3			3
																			4 −11 2
																																−4 11								−2
																																	3				3
																																									3
5) Проверим выполнения равенств A−1 A = A A−1 = E :
					2					−4					1
					3					3					3					−2 5									4				1 0 0
A−1 A =				−5 10										−1							4 −10								−11 =								0 1 0						=
					3					3					3
																									1				2								0 0 1
				−4 11										−2						−1
					3					3					3
																					2				−4				1
		−2 5													4						3				3				3							1 0 0
A A−1 =					4 −10 −11																−5 10								−1				=				0 1 0						=
																					3				3				3
				−1						1					2																						0 0 1
																					−4 11								−2
																					3				3
																														3

E ;

E .

33

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

2 . 1 . Вычисление определителя матрицы

Символьный процессор системы M a t h C A D обеспечивает проведение операции вычисления определителя матриц, заданных в символьном виде и в числовом. Эта операция находится в меню Simbolics (Символьные вычисления): Simbolics Matrix Determinant. Также вычисление определителя можно произвести с помощью панели «Symbolic».

Вычислим определители матриц

					3	2	7	−3
	cos α	−sin α	; B =		−1	1	0	2
	A =								.
					0	3	3	4
	sin α	cos α
					1	5	1	6
Ввод	Описание действий							Отображение
									на экране

Меню Simbolics Matrix

Determinant

Или

Меню Veiw Toolbars Symbolic кнопка

далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничивающей выражение.

При вычислении определителя матрицы, заданной в символической форме, результат вычисления можно упростить с помощью команды simplify:

Меню View Toolbars Symbolic simplify

далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничивающей выражение, и получаем ответ:

34

Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:

Меню View Toolbars Symbolic

кнопка

2 . 2 . Нахождение обратной матрицы

Символьный процессор системы M a t h c a d обеспечивает проведение операции нахождения матрицы, обратной к данной матрице, заданной в символьном и в числовом видах. Эта операция находится в меню Simbolics (Сим-

вольные вычисления): Simbolics Matrix Determinant. Также вычис-

ление определителя можно произвести с помощью панели «Symbolic». Найдем матрицы, обратные к данным матрицам A и B :

						3	2	7	−3
		cos α	−sin α			−1	1	0	2
				; B =							.
	A =
						0	3	3	4
		sin α	cos α
						1	5	1	6
Ввод	Описание действий								Отображение
											на экране
	Меню Simbolics
	Matrix	Determinant

упростим полученное выражение:

Меню View Toolbars Symbolic simplify

35

Или

Меню View

Toolbars

Symbolic кнопка далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничиваю-

щей выражение:

и упрощаем выражение:

Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:

Меню View	Toolbars		далее щелкаем курсором
Symbolic	кнопка
			мышки вне рамки, огра-
			ничивающей выражение:

Ответ можно получить в виде десятичных дробей с помощью клавиши

«=»:

Задания для самостоятельной работы

4.1. Вычислить определители соответственно: а) по определению; б) с помощью правила треугольников:

36

	k m −t				3	k +t	m
а) d1 =		;	б) d2 =		−6	m	0		.
	3 m				k	t	−5

4.2. Вычислить определители соответственно: а) разложением по 2-й строке; б) по 3-му столбцу, а также с помощью метода эффективного понижения порядка:

t

k −t

k

k

t

0

3

12 −m

−1

2

4

а) D

=

−1

12

0

;

б) D

2

=

;

1

1

m

k −1

11

k +1

t

−3

3

−2

t

−t

4.3. Найти обратные матрицы к матрицам:

1

k

m +6

2

t

m +t

7

t

10

k

0

1

;

B =

5

0

k

;

C =

t + k

.

A =

−3

−1

3

−8

k m

−1

t

t −k

m

k

0

1

4.4. Проверьте полученные результаты в заданиях 4.1.– 4.3, выполнив данные задания на ПЭВМ.

37

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА

1. Теоретические сведения

Определение 5 . 1 . Системой линейных алгебраических уравнений,

содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b

11 1

12

1n

1

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

,

(5.1)

.......................................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b

m

m1 1

где числа aij , i =1,..., m , j =1,..., n называются коэффициентами системы, чис-

ла bi – свободными членами, x j – неизвестные системы.

Определение 5 . 2 . Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn , при подстановке которых все уравнения сис-

темы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Обозначим

a	a	...	a			a	a	...
11	12		1n			11	12
a21	a22	...	a2n		,	a21	a22 ...
A =	...	...	...			B =	... ...
...						...
am1	am2	...	amn			am1	am2 ...

A – матрица коэффициентов системы – основная матрица, матрица системы, дополненная столбцом свободных членов.

a1n b1 a2n b2

... ...

amn bm

B – расширенная

x					b
	1			~		1
x2			– вектор-столбец из неизвестных		b2			– вектор-столбец из
X =				x j , B	=
...					...
x	n				b
						n

свободных членов bi .

По определению матричного умножения система (5.1) может быть запи-

сана в виде матричного уравнения

= ~

AX B .

38

Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn									= b1
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn									= b2	.	(5.2)
................................................
a	x + a	n2	x	2	+... + a	nn	x	n	= b
	n1 1								n

Основная матрица A такой системы квадратная. Найдем решение данной системы уравнений в случае, когда определитель матрицы A ≠ 0 . Здесь

a11

a12

...

a1n

=

A

=

a21

a22

... a2n

.

... ... ... ...

an1

an2

...

ann

Теорема Крамера. Пусть

– определитель матрицы системы A , а

j – определитель системы, получаемой из матрицы A заменой

j – го столбца

столбцом свободных членов. Тогда, если

≠ 0 , то система имеет единственное

решение, определяемое по формулам:

x j

=

j

,

j =1,...,n .

(5.3)

Формулы (5.3) получили название формул Крамера.

.

В случае, когда определитель основной матрицы A системы (5.2) равен

нулю: = 0 и хотя бы один из определителей

i ≠ 0 , где

i =1,..., m , то система

(5.2) не имеет решений. Если

= 0 и одновременно i

= 0 , где

i =1,..., n , то

система (5.2) также может не иметь решений, но если система (5.2) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Пример 5 . 1 . Решить систему уравнений:
− x1 + 4x2 +5x3 −4x4 = −15
x1 + 2x2 −2x3 + 4x4								= 3	.
2x		+6x		2	+ x	3	= −6
	1
3x		+ x	3	+ 2x		4	=11
	1

Решение.

Составим основную матрицу системы и найдем ее определитель:

39