помощь по matcad

													x						+ x			2	−2x					3	+4x							4	=		3
															1
																					x2 −2x3 +8x4 = −3 .
																																	40							3
																											x3 −										x4		=
																																13
																																							13
	Выразим неизвестные x1, x2 и x3 через x4 :
	x3 =		40	x4					3				; x2										40			x4						3					−8x4 −3 = −							24	x4			33
							+												= 2										+																		−			;
			13						13														13							13														13				13
							24											33								40										3
	x = −				−						x				−							+ 2							x			+							−4x				+3 = 4x				+6 .
							13
	1												4				13								13					4					13						4					4
	Обозначим x4	= t , тогда общее (базисное) решение системы имеет вид
					24								33						40					3
	4t	+6;		−					t		−						;				t +						;t		, где t – любое число, t R .
					13								13						13					13

Частное решение системы получится из базисного при конкретном значении

	9					37
параметра t : при t = −1 имеем 2; −			;		−				; −1 .
	13					13
Пример 7 . 2 . Решить систему уравнений
x	+ x			2	− x		3		= −4
1
x1 +2x2 −3x3 = 0 .
−2x					−2x					3	+3 = 0
	1

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

			1	1	−1		− 4 (-1)			2		1	1	−1		−4			1	1	−1		−4
B	~		1	2	−3		0	+			~	0	1	−2		4 (-2)		~	0	1	−2		4	.
		− 2 0			− 2		−3 +					0	2	−4		−11 +			0	0	0		−19

Так как rang A = 2 ≠ 3 = rang B , то система несовместна (не имеет реше-

ний). Действительно, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 0 x1 +0 x2 +0 x3 = −19 , не имеющее решений. Таким

образом, система решений не имеет.

Пример 7 . 3 . Решить систему уравнений

3x +4y +2z =82x −4y −3z = −1.

x +5y + z = 0

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

50

		3	4		2		8				1		5	1		0 (-2)(-3)							1	5	1		0
B ~		2		− 4	−3		−1			~	2		− 4	−3	−1			+		~			0	−14	−5		−1 (-11/14)
	1		5		1		0			3			4	2		8 +						0 −11 −1					8 +
		1 5				1			0							1	5		1			0
~														~
		0		−14	−5					−1		(-1/14)				0		1	5 /14		1/14			.
	0			0	41/14			123 /14				14/41			0			0	1			3
Так как				rang A = rang B = 3									и число неизвестных системы равно рангу

матриц, то система совместна и имеет единственное решение. Из последней строки ступенчатой системы следует, что z = 3, следовательно:

y = −145 z +141 = −145 3 +141 = −1; x = −5y − z = −5 (−1) −3 = 2 .

Таким образом, единственное решение исходной системы имеет вид (2;-1;3). Замечание.

Метод Гаусса по сравнению с другими методами:

1)применим для исследования и решения любых систем;

2)позволяет однозначно установить, совместна ли система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

3)дает возможность найти ранг матрицы системы.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором Mathcad обеспечивает встроенной функцией rref (A) , при этом последний

столбец полученной матрицы совпадает с искомым решением. Пример 7 . 4 . Решить системы уравнений

3x +4y +2z =8

x

+ x

− x

= −4

−4y −

3z = −1;

1

2

3

а) 2x

б) x1 +2x2 −3x3 = 0 ;

x +5y + z

= 0

−2x

−2x

3

+3 = 0

1

− x

+4x

2

+5x

3

−4x

4

= −15

1

в) x1

+ x2 −2x3 +4x4 = 3

.

2x

+6x

2

+ x

3

= −3

1

Решение. а) Составим основную матрицу A и столбец свободных членов C данной системы и сформируем расширенную матрицу системы с помощью команды B = augment(A,C) :

51

						МЕТОД ГАУССА
Обозначим
	3	4		2		Основная матрица системы
A :=	2	−4		−3
	1	5		1
C :=		8				Столбец свободных членов системы
		−1
		0
B := augment			( A ,C )			Формируем расширенную матрицу системы
						3	4	2	8
			B →			2 −4 −3 −1
						1	5	1	0
rref	( B ) →			1	0	0	2		Находим ступенчатую систему
				0	1	0	−1
				0	0	1	3
ORIGIN		:=	1
x := rref ( B ) 1 , 4						y	:=	rref	( B ) 2 , 4		z := rref ( B ) 3 , 4
x = 2							y	= −1			z = 3

В данном примере использовалась операция нахождения элемента aij матрицы rref (B) : rref (B)i, j (см. лаб. раб. 1).

б) Для данной системы имеем:

Обозначим
A :=		1	1		−1		Основная матрица системы
		1	2		−3
		−2	0		−2
C :=		−4				Столбец свободных членов системы
		0
		−3
B :=	augment			( A ,C )			Формируем расширенную матрицу системы
		1	1		−1	−4
B →		1	2		−3	0
		−2	0		−2	−3
rref	( B )				1	0	1	0		Находим ступенчатую систему
			→		0	1	−2	0
					0	0	0	1

Так как rang A = 2 ≠ 3 = rang B , то система несовместна (не имеет реше-

ний).

в) Аналогично находим ступенчатую систему:

52

	1	0	0		−4		6
					24			−33
	0	1	0
rref ( B ) →				13			13					,
				−40			3
	0	0	1
				13			13

из которой также следует, что данная система имеет множество решений, так как rang A = rang B = 3 и 3 < 4 . Базисное и частное решения этой системы бы-

			24			33			40				3
	ли найдены выше. Таким образом, 4t +6;	−		t	−			;			t +				;t , где t – любое
			13			13			13				13
	число, t R – базисное решение; при t = −1					9				37
			2;		−			;	−			;		−1 – частное реше-
						13				13

ние исходной системы.

Задания для самостоятельной работы

7.1. Исследовать и решить системы:
	x1 −(k + 2)x2 + 4x3 = −6
а)	mx1	+tx2 −3x3 = 2 ;
(t +5)x1 + mx2 −kx3 = t −6
	5x	+(m −6)x		−(t +1)x		+ 2x		= 6	;
в)	1		2		3		4
(t −m)x1 + kx2 −6x3 +(k + 2)x4 = 3 −m

б)

г)

x −(t −6) y = k + 2mx +(k −5) y = 2 ;tx +(m +1) y = 4

6x1 −kx3 + mx4 = 7

2x2 −(m −5)x4 = −m .3x1 + mx2 −tx4 = 0

mx1 + kx3 −2x4 =1

В случае, когда система имеет бесконечное множество решений, написать общее и частное решения системы.

7.2. Проверьте полученные результаты в задании 7.1, выполнив данное задание на ПЭВМ.

53

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Теоретические сведения

Определение 8 . 1 . Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

a11x1 +a12 x2 +... +a1n xn								= 0
a21x1 +a22 x2 +... +a2n xn								= 0		.	(8.1)
...............................................
a	x +a	m2	x	2	+... +a	mn	x	n	= 0
	m1 1

Однородная система всегда совместна, так как x1 = x2 =... = xn = 0 явля-

ется решением системы. Это решение называется нулевым, или тривиальным. Определение 8 . 2 . Однородная система (8.1), имеющая единственное решение (нулевое), называется тривиально совместной. Однородная система,

имеющая ненулевое решение, называется нетривиально совместной. Исследовать однородную систему – значит установить, является ли она

тривиально или нетривиально совместной.

Теорема

8 . 1 .

Для того чтобы система однородных линейных уравне-

ний имела ненулевые решения,

необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее ос-

новной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r < n .

Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестны-

ми

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn

= 0

a

21 x1 + a22 x2 +... + a

2n xn

= 0

.

...............................................

a

n1

x + a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= 0

1

Теорема

8 . 2 .

Для того чтобы система n однородных уравнений с n

неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее

определитель был равен нулю, то есть

= 0 .

Пример 8 . 1 . Исследовать и решить однородные системы уравнений:

x + 2x

2

+ 4x

3

−3x

4

= 0

2x +5x

2

−8x

3

= 0

1

1

а) 3x1 +5x2 +6x3 −4x4 = 0

; б) 4x1 +3x2 −9x3

= 0 .

4x

+5x

2

−2x

3

+3x

4

= 0

2x

+3x

2

−5x

3

= 0

1

1

Решение.

а) Найдем ранг основной матрицы A :

54

	1 2 4				−3 (-3)(-4)							1 2			4 −3					1 2			4	−3
							+										(-3)									(-1)
A =		3 5 6			− 4								0	−1	−6 5						0	−1	−6 5
		4 5		− 2 3			+						0	−3	−18 15		+				0	0	0	0
1	2		4	−3
	1		6	−5	.
0

Ранг матрицы r(A) = 2 , а число неизвестных n = 4 : r < n , следовательно,

система имеет бесконечное множество решений (теорема Кронекера-Капелли). В качестве базисных неизвестных можно выбрать только x1, x2 , свободные не-

известные – x3 , x4 . Полученной после преобразований матрице соответствует система

x		+ 2x		+ 4x		−3x		= 0	.
	1		2		3		4	= 0
		x2 +6x3 −5x4

Из данной системы находим общее решение

(8x3 −7x4 ;−6x3 +5x4 ; x3 ; x4 ) , где x3 , x4 – произвольные числа. Частное решение системы при x3 = −1, x4 =1: (−15; 11; −1; 1) .

Таким образом, система нетривиально совместна, имеет бесконечное множество решений. Общее решение системы: (8x3 −7x4 ;−6x3 +5x4 ; x3 ; x4 ) ,

частное решение системы: (−15; 11; −1; 1) . б) Найдем ранг основной матрицы A :

2			5	−8		(-2)(-1)					2		5	−8					2			5	−8	1/2
						+
A =		4	3	−9								0	−7	7	(-2/7)					0		−7	7		(-1/7)
		2 3		−5		+						0	− 2	3		+				0	0		1
1			5/ 2	− 4
	0		1	−1 .
	0		0	1

Ранг матрицы равен числу неизвестных r(A) = 3 = n , следовательно, система тривиально совместна, то есть имеет только нулевое решение.

Заметим, что определитель системы:
		2	5	−8
=		4	3	−9	= −14 ≠ 0,
		2	3	−5

следовательно, система имеет единственное нулевое решение.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Пример 8 . 2 . Исследовать и решить систему однородных уравнений:

55

− x		+ 4x			2	+5x		3	−4x	4	= 0
	1
x1	+ 2x2 −2x3 + 4x4									= 0		.
2x		+6x		2		+ x	3	= 0
	1
3x		+ x	3	+ 2x			4	= 0
	1

Решение.

Составим основную матрицу системы и найдем ее ранг:

РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

−x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x4 0 x1 + 2 x2 − 2 x3 + 4 x4 0

2 x1 + 6 x2 + x3 0

3 x1 + x3 + 2 x4 0

Обозначим

−1		4	5	−4
	1	2	−2	4
A :=	2	6	1	0
	3	0	1	2

Используем логическое "Ctrl + ="

Основная матрица системы

rank(A) = 4									Ранг системы равен числу неизвестных
:=		A				A		→ −240	Определитель системы

Определитель системы ≠ 0 , значит, система тривиально совместна.

Пример 8 . 3 . Решить систему уравнений:

x1 −2x2 + 4x3 = 0 .2x1 −3x2 +5x3 = 0

Решение.

Составим основную матрицу системы и найдем ранг:

A :=		1	−2	4
		2	−3	5

rank(A) = 2

1 0 −2 rref (A) → 0 1 −3

Основная матрица системы

Ранг системы 2<3 - числа неизвестных, система имеет бесконечное множество решений

Ступенчатая матрица

56

За базисные неизвестные можно взять x1, x2 , а x3 – свободное неизвестное. Следовательно, при x3 =t : (2t; 3t; t)– базисное решение системы, где t – произвольное число. Частное решение: (2; 3;1) при t =1.

Задания

для самостоятельной работы

8.1. Исследовать и решить системы однородных уравнений:

15x +(k + m) y =

0

3x1

+ kx2 −2x3 = 0

;

а)

(m +t)x −my =

0

б) − x1 +(k +t)x2 + 2mx3 = 0;

mx

−3x

2

+ x

3

=

0

1

2x1−(km)x2

+ x4 = 0

x1+mx3

+ 2x5 = 0

2x1 + kx2 + x3

+(2 −m)x4

= 0

x1 +(k +t)x2 −mx3 + 2x4 = 0

.

в)

− x +tx

−(k + m)x

−6 = 0

; г)

4x +3x

+(k +1)x

−6x

= 0

3

4

3

4

5

1

1

3x

+ 2x

2

− x

3

+ mx

4

= 0

− x + kx

2

− x

3

+ mx

4

+ x

5

= 0

1

1

8.2. Проверьте полученные результаты в задании 8.1, выполнив данное задание на ПЭВМ.

57

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

1. Решить матричное уравнение: Вариант

n =1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

n =8

n = 9

n =10

	2	2	−1 1			0		T	+		2	1			−8 14
					+									X = 0,5
		2	0		0	1					3	0			8 20

		8				5				−4						1	+5X T																		−42											5,5
		−1				2					2																		= 2								31
																2																														28,5
					3			−1							1 2								T								−3 5																				2 −10
2											−																+														X = −2
					7 1										3 4																−1 3																			11 5
					2 3 T														1							−3 5								3 −12
3											−3X						=
																		4									−1 3										−9 12
					3 3
					8 5					−	6				2			−2																							38								−26
																											+2X T =
				−1 2
															1 4																										15 54
					6 −1									−1 2																	42												−24 T
											+
4					3 4										5		−	1					X =																				−11
																															−40
					−1					8					3		0																	T							1					4				−4,4		−2,6
																													3X								=
2										2	+					2											+														2					3							−1
					1												−1																																	1,2
																T
								1 0																		5 2											1						3 6							−31		−16
2 X +																	+	5																	=
										0 1																																	2 1										15
																										2 1											9													−18 −
							1 3									T	+			0 5											5 −1																			23		−2
2 X −																																												= −2
										2 0										2 4
																															3 0																			18 2
					4	1 T											−	1									0										0							5		4,6					0,2
2											+3 X																					=
					2																						1									−1								4							−1,2
						3												0																												2,2

Значения переменных k, m и t в индивидуальных заданиях определяются в соответствии с лаб. раб. 1

58

n =11

n =12

n =13

n =14

n =15

n =16

n =17

n =18

n =19

n = 20

n = 21

n = 22

n = 23

	3		−2		1		0 T		+		3	2		10		−6
	3				+									X = −
		2	1			0	1				4	1			1	−14

9	6			−3 1	+5X T	−38 11
						= 2
0	3						26 45,5
				1 3

						4 0					1 3 T									+						−2 6																				6					−16
4									−																								X = −2
						8 2																					0 4
											4 6																																			26 16
						3 3 T													1					−			2 6						24 8
4											+3X = −
						2 4										8								0 4
																																	15 40
					9 6				−9				3		−1							+3X T =											69										−			15
					0 3
													1 5																						21 84
5						7 −			2		+		−1 3								X =									51 −38 T
													6 −2																												−7
						2 5																								−90
						−1 9							3			−1									+4X T															1					2 5						68 32
3										+																							= −
							2 3
														2 0																								14							3 4						0 34
								1 0						T							6 1																1						4 7							36 16
3					X +										+4																	= −
																																											3 2
								0 1													3 2															13														21 26
							2 4						T					1 6										6 −2																		78					−11
3 X							−							+																											= −
																		3 5												4 1
								3 1																																						61 19
3						5	0 T												1									0				=			1						6					5,4					0,6
											+2 X −
						1																													0						5									1,2
							4												0									1																		1,6
						4		−3					1					0		T							+			4			3			X =										−				4,5		0,25
4										+																																				4
							2 2																							5 2																			−3			4
										0 1
		10 7							−2 1							+3X T												= 3				−20 11
		1					4			0				4																					6
																																											45
							5 1						1 4 T									+						−1 7								X										8 −7
4										−																																= −4
													5 8														1 5
							9 3																																										21 14

59