математика
.pdfПолучим |
x4 |
+1 |
|
|
= x +1 + |
2 |
. |
|
|||||
x3 − x2 |
+ x −1 |
x3 − x2 + x −1 |
|
||||||||||
Простейшими дробями называются правильные дроби |
|||||||||||||
следующих видов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
; |
|
A |
; |
|
Ax + B |
; |
|
Ax + B |
, |
||
|
x − a |
( x − a )k |
x2 |
+ px + q |
|
( x2 + px + q )k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где A, B, a, p, q – действительные числа, k ≥ 2 – целое положительное число, p2 − 4q < 0 .
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей. Для этого знаменатель правильной дроби запишем в виде произведения линейных и квадратичных многочленов:
Qn (x) = a0 (x − a)(x −b)(x − c)...(x2 |
+ px + q)(x2 |
+ lx + s) , |
|||||||||||||||||||||||||
где |
a, b, c |
|
– |
|
действительные |
|
корни |
|
знаменателя и |
||||||||||||||||||
p2 |
− 4q < 0 , |
|
l 2 |
|
|
− s < 0 . Некоторые из корней |
a, b, c |
могут |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k раз, |
|
|||
совпадать. Если какой-то корень встретился |
то он |
||||||||||||||||||||||||||
называется корнем кратности |
|
k , если k = 1 , то корень на- |
|||||||||||||||||||||||||
зывается простым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пусть |
a – простой корень, b – корень кратности 2, c – |
||||||||||||||||||||||||
корень кратности 3, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Qn ( x ) = a0 ( x − a )( x −b )2 ( x − c )3 ...( x2 + px + q )( x2 |
+ lx + s ). |
||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
A |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
||||
R( x ) = |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
||||||||||
x − a |
( x −b ) |
( x |
− b )2 |
|
( x − c ) |
|
( x − c )2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
|
C3 |
|
+ ... + |
|
Mx + N |
+ |
|
Ex + F |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( x − c )3 |
|
x2 + px + q |
x2 + lx + s |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 , M , N , E, F – неопределенные ко-
эффициенты, которые находят методом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x , а также методом ча-
11
стных значений аргумента. Тогда исходный интеграл сводится к сумме табличных интегралов.
Примеры
1. ∫ |
x2 − 2x + 2 |
=∫ |
x2 − 2x + 2 |
|
|
|
dx . |
||
x( x2 + 2x −8 ) |
x( x − 2 )( x + 4 ) |
Решение
Для нахождения этого интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
x2 − 2x + 2 |
|
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
|
. |
|
x( x − 2 )( x + |
4 ) |
x |
x − 2 |
x + |
4 |
|||||
|
|
|
|
Найдем А, В, С методом частных значений аргумента. Для этого приведем простейшие дроби с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и приравняем числитель получившейся дроби и числитель исходной правильной дроби.
x2 − 2x + 2 = A(x − 2)(x + 4) + Bx(x + 4) +Cx(x − 2);
x = 0 : 2 = −8A A = − 1 |
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x = −4 : 26 = 24C C = |
13 |
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
12 . |
|
||
x = 2 : 2 =12B B = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Тогда |
∫ |
|
|
x2 − 2x + 2 |
|
dx = − |
1 ∫dx |
+ |
|
||||||||||
x(x − 2)(x + 4) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|||||||
+ |
13 |
∫ |
dx |
|
= − |
1 ln |
|
x |
|
+ |
1 ln |
|
x −2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x + |
|
|
||||||||||||||
|
12 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. ∫ |
|
x2 −3x + 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x3 + 2x2 + x |
|
|
|
|
|
|
16 ∫ xdx− 2 +
+ 1213 ln x + 4 +С.
12
Решение
Разложим правильную рациональную дробь на про-
стейшие, учитывая, что x = 0 является |
простым |
корнем |
|||||||||
знаменателя дроби, а x = −1 – корнем кратности 2: |
|
||||||||||
|
x2 −3x + 2 |
= |
x2 −3x + 2 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
. |
|
x3 + 2x2 + x |
x( x +1)2 |
x |
x +1 |
( x +1)2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда x2 − 3x + 2 = A( x +1)2 |
+ Bx( x +1) + Cx . Используем |
метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x . Для этого распишем правую часть подробнее, собрав коэффициенты при одинаковых степенях:
x2 −3x + 2 = x2 ( A + B ) + x( 2A + B +C ) + A . |
|
||||||||||||||
|
2 |
: |
1 = A + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x : −3 = 2 A + B +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
: 2 = A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из этой системы получаем, что А=2. Тогда из первого |
|||||||||||||||
уравнения |
B = −1 . |
Из второго уравнения находим C = −6 . |
|||||||||||||
Следовательно, |
x2 |
−3x + 2 |
= |
2 |
+ |
−1 |
|
+ |
−6 |
|
. |
||||
x( x +1)2 |
x |
x +1 |
( x +1)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание.
Рекомендуется комбинировать два способа определе-
ния коэффициентов (как приведено ниже): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
= 0 : |
A = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= −1: |
6 |
= −C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
: 1 = A |
+ B. В = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Продолжим решение исходного интеграла: |
||||||||||||||||||||||||
|
x2 −3x + 2 |
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
−6 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
dx = |
|||||||
∫ x( x +1)2 |
|
∫ |
|
x +1 |
( x +1)2 |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
d( x +1) |
− |
|
d( x +1) |
= 2 ln |
|
x |
|
− ln |
|
x +1 |
|
− |
|||||||
= 2∫ x − |
∫ |
|
x +1 |
|
6∫( x +1)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
−6( −1) |
|
|
1 |
|
+ C = 2 ln |
|
x |
|
− ln |
|
x +1 |
|
+ |
|
|
6 |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
+1 |
|
x |
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. ∫ |
|
|
|
|
13dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x −1)(x2 |
+ 2x +10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
Bx + C |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
( x −1)( x2 + 2x +10 ) |
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
x2 + 2x +10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Найдем коэффициенты A, B, C : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
13 = A( x2 + 2x +10 ) +( Bx + C )( x −1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x =1 : 13 =13A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 = A + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
= 2 A + C − B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Откуда, A = 1, |
B = −1, C = −3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
( x −1)( x2 + 2x +10 ) |
x |
− |
1 |
|
x2 + 2x +10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Получим |
13dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||
9x −1)( x2 + 2x +10 ) |
|
x −1 |
|
|
x2 + 2x +10 |
14
|
|
|
= ∫ |
d (x −1) |
− ∫ |
x +1 + 2 |
|
|
x +1 = t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
d (x +1) = dt |
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(x +1)2 + 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
d (t2 + 9) |
|
|
|
||||||||||||
= ln |
|
x −1 |
|
|
− ∫ |
|
− 2∫ |
|
|
|
= ln |
|
x −1 |
|
− 2 ∫ |
t2 + 9 |
|
− |
|
||||||||||||||||||||
t2 + 9 |
t2 + 9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
2 arctg |
|
t |
+C = ln |
|
x −1 |
|
− 1 ln |
|
(x +1)2 |
+ 9 |
|
− |
2 arctg |
|
x +1 |
+C. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических функций
При нахождении интегралов типа ∫sinm x cosn xdx используются следующие приемы:
1)замена sin x = t , если n – целое положительное нечетное число;
2)замена cos x = t , если m – целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения степени 2 cos2 x =1 + cos 2x ,
2 sin2 x =1 − cos 2x , если n, m – целые неотрицательные четные числа. Рассмотрим примеры нахождения интегралов от тригонометрических функций.
Примеры
1. |
∫sin4 x cos xdx = |
|
|
sin x = t |
|
|
= ∫t4dt = |
t5 |
+ C = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dt = cos xdx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
= |
sin5 x |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫sin |
4 |
xdx = ∫ |
(sin |
2 |
x ) |
2 |
|
|
|
1 |
− cos 2x |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
2 |
|
|
dx = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
2 cos 2x + cos |
2 |
2x |
|
= |
1 |
|
dx − |
1 |
|
cos 2xdx + |
|||||||||
1 |
|
|
dx |
∫ |
∫ |
|||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
+ |
1 |
|
∫cos2 |
2xdx = |
x |
|
− |
sin 2x |
|
+ |
1 ∫ |
1 + cos 4x |
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
x |
|
− sin 2x + |
x |
+ sin 4x |
+C = |
3x − sin 2x + sin 4x |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. ∫tg 4 xdx = ∫tg2 x tg 2 xdx = |
tg 2 x = |
|
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= ∫tg |
|
x |
|
|
|
|
|
−1 dx = ∫tg |
|
x |
|
|
|
|
− ∫tg |
|
|
|
xdx |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 x |
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tgx = t |
|
|
|
|
∫t |
2 |
dt − ∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
− ∫ |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
+ ∫dx = tg3 x −tgx + x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
(sin2 |
x + cos2 |
x )dx |
|
|
|
|
sin2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
cos4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
= |
∫cos4 |
|
x dx + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
cos4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+ ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= ∫tg |
2 |
x |
|
|
dx |
|
tgx = t |
|
|
|
|
+ tgx +C = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
x |
|
|
cos2 x |
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫t2dt + tgx + C = |
t3 |
+ tgx +C = tg3 x |
+ tgx + C . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Методы интегрирования некоторых иррациональных функций
Если интеграл содержит иррациональности вида
k1 k2
x n1 ,x n2 ,..., то он сводится к интегралам от рациональных функций заменой x = tm , где m –наименьшее общее кратное знаменателей степеней n1 ,n2 ,.... Аналогично, если интеграл
16
k1 k2
содержит иррациональности вида ( ax + b )n1 ,( ax + b )n2 ,... ,
то делается подстановка ax + b = tm . Покажем этот метод на примерах.
Примеры
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x = t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. ∫ x dx+ 4 x |
|
= x = t4 |
= ∫t42t3+dtt = 4∫1t2+dtt = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 4t3dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 4∫ |
t2 −1 +1 |
dt = 4∫( t −1)dt + 4∫ |
|
dt |
|
= 4 |
t2 |
|
− 4t + |
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
+ |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
+ 4 ln t +1 + C = 2 x − 44 x + 4 ln 4 x +1 +C . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x +1 = t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. ∫ |
2 |
+ |
3dx |
|
1 |
= x = t |
3 −1 = ∫3t2dt |
= 3∫( t − 2 )dt + |
||||||||||||||||||
|
|
|
x + |
|
dx = |
|
|
2 + t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t2dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ 3∫ |
|
|
|
4 |
|
dt = 3 |
t2 |
−6t +12 ln |
|
t +1 |
|
+ C = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
t + |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
3( x +1) |
3 |
−63 x +1 |
+12 ln 3 x +1 +1 + C . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме этого, встречаются иррациональности, от которых можно избавиться при помощи тригонометрических замен.
Интегралы вида ∫R(x, a2 − x2 )dx , ∫R(x, a2 + x2 )dx ,
∫R(x, x2 − a2 )dx приводятся к интегралам от рациональ-
ных относительно sin t иcos t функций с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла x = a sin t , для второго x = a tgt и для третьего
17
x = cosa t (при этом могут использоваться сходственные
функции cos t, |
sin t, |
|
|
ctgt ). Рассмотрим примеры. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
9 − x2 |
|
|
|
|
x = 3sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 −sin2 t cos t3dt |
|
|||||||||||||||||||||||
1. ∫ |
|
dx = dx = 3cos tdt = ∫ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
9 sin2 t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∫ |
cos2 tdt |
|
= ∫ |
1 |
−sin2 t |
dt |
= ∫ |
|
|
dt |
|
|
− |
∫dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
sin2 t |
|
|
|
|
sin2 t |
|
sin2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= −ctgt −t +C = −ctg arcsin |
x |
− arcsin |
|
x |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. ∫ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin tdt |
= ∫cos2 t |
|
2 sin tdt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 − 4 |
= dx = cos2 t |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
− 4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t = arccos |
|
2 |
cos t |
|
cos2 |
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sin t cos t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
acr cos |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= ∫ |
dt = |
∫dt = |
|
+ C = |
x |
|
|
+C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 cos t sin t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x = tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. ∫ x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 + x2 |
|
= dx = cos2 t |
|
|
|
=∫cos2 t tgt 1 + tg 2t |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ∫ |
dt |
|
= ln |
|
tg |
|
t |
|
+ C = ln |
|
tg |
arctgx |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sin t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.Понятие определенного интеграла и его свойства
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b так, что длина i-го отрезка равна xi = xi − xi−1 . Выберем на каждом отрезке произвольным образом точку ci [xi , xi−1 ] и вычислим значение функции в ней, то есть величину f (сi ) . Составим сумму
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
Sn = f (c1 ) |
x1 +... + f (cn ) xn = ∑ f (ci ) xi . Эта сумма на- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|||
зывается интегральной суммой (рис. 1). |
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y=f(x) |
||||||
f(ci) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a c1 x1 c2 x2 |
xi-1 ci xi |
cn b |
x |
Рис. 1
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке
[a, b] называется предел интегральной суммы при стремле-
19
нии к нулю максимальной длины частичных отрезков:
b |
f (x)dx = |
lim |
S |
|
= lim |
n |
f (c |
) |
x |
|
. |
|
∫ |
n |
∑ |
i |
|||||||||
|
max x →0 |
|
n→∞ |
i |
|
|
|
|||||
a |
|
i |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если функция |
f ( x ) |
непрерывна на отрезке [a, b], то |
этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные интервалы, ни от способа выбора точек ci в ка-
ждом из них.
Если f (x) ≥ 0 на [a, b], то определенный интеграл ра-
вен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции y=f(x) и прямыми x=a, x=b.
Свойства определенного интеграла
1. |
∫b ( f (x) + g(x))dx = ∫b |
f (x)dx + ∫b g(x)dx . |
|
|
a |
a |
a |
2. |
∫b kf (x)dx = k ∫b |
f (x)dx . |
aa
3.∫b f (x)dx = −∫a f (x)dx .
ab
4. ∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx . |
||||
|
a |
a |
|
|
|
c |
|
5. Формула Ньютона-Лейбница: |
|||||||
∫b |
f ( x )dx = F( x ) |
|
b |
= F( b ) − F( a ) , |
|||
|
|||||||
a |
|
|
|
|
a |
|
|
где F(x) – первообразная для функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b].
Рассмотрим применение этой формулы на примере.
20