математика

cos x : − A −3B + 2A = 0 .

Из данной системы получаем A = 0,3 и B = 0,1. Откуда частное решение равно y* = 0,3 cos x +0,1 sin x . Окончательно имеем общее решение:

y= C1ex + C2 e2 x + 0,3cos x + 0,1sin x .

5.Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему вида

	dx1		= a x + a x	2	+ f	( t )
		11 1 12			1
dt
dx2			= a21 x1 + a22 x2 + f2 ( t )
dt

гдеaij – постоянные числа, а fi ( t ) – заданные числа.

Данную систему будем решать путем сведения ее к одному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Проиллюстрируем это на примере.

Пример

	dx1		= 3x	−5x	2
		1
Пусть дана система dt					. Найти ее реше-
dx2			= −x1 + 7x2
dt

ние.

61

Решение

dx1

&

Решим

систему, введя

обозначение

= x1

и

dx2

dt

= x2 . Выразим из второго уравнения x1 = 7x2 − x2 . Най-

dt

&

&

= 7x2

− x2 .

дем производную из этого выражения x1

&

&

&&

Подставим данные выражения в первое уравнение

системы

и

получим

7x2

− x2 = 21x2 −3x2 −5x2 или

x2

−10x2

&

&&

&

+16x2 = 0 . Получили линейное однородное урав-

&&

&

нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим соответствующее характеристическое уравнение

λ2

−10λ +16 = 0 . Его корни равны λ = 2 ;

λ

2

= 8 , и общее

1

решение однородного уравнения равно

x

2

= C e2t + C

e8t .

1

2

Найдем

вторую

переменную, для

этого

вычислим

&

= 2C1e

2t

+8C2e

2t

и найдем первую переменную.

x2

Ответ: x1 = 5C1e2t −C2e8t , x2 = C1e2t + C2e8t .

Задания для контрольной работы №6

251-260. Решить квадратное уравнение. Корни записать в алгебраической, тригонометрической, показательной формах и изобразить на координатной плоскости.

251.	z 2	+ 2z + 4 = 0 .	252.	z 2	− 3z + 3 = 0 .
253.	z 2	− 2 3 z + 4 = 0.	254.	z2 + 4z +16 = 0 .
255.	z 2	− 2z + 2 = 0 .	256.	z 2	− 4z + 8 = 0 .
257.	z 2	− 3z + 9 = 0 .	258.	z 2	+	3 z + 3 = 0 .
259.	z 2	− 3 3 z + 9 = 0 .	260.	z 2	+	3 z +1 = 0 .
62

261-270. Найти все значения корня и изобразить их на плоскости.

261.	4	−1 .	262.	4	1 .	263.	3	8 .
264.	4	16 .	265.	3	− i .	266.	3	8i .
267.	3	1 .	268.	3	−1 .	269.	3	i .
			270.	4	−16 .

271-280. Найти значение выражения. Ответ записать в алгебраической, тригонометрической, показательной формах и изобразить на координатной плоскости.

271.

272.

273.

274.

275.

276.

277.

π

+ i sin

π

+ e

−

2π

i

+

4

5 cos

3

3

(1 −i ) .

3

1

(−

3

2

2

π

+ i sin

π

π i

.

8

3 −i ) +

cos

4

4

−3 e 2

1 + i

2

+ (cosπ +i sin π)−

3π

i

.

2

2 e 4

(i 3 −

3

4π

i

−

4

π

+ i sin

π

1 )

− 4 3 e 3

cos

6

6

.

(

5

+ 4

π i

π

+ i sin

π

1 + i )

e 2

+ 4 cos

3

3

.

π

π

4

2π

+ (1 −i )

−

4 cos

6

+ i sin

+ 4

3 e

3 .

6

(1 +i

4

3π

i

−

3

π

+i

sin

π

3 )

+ e 2

cos

2

2

.

63

		−	2π					3								π			π
278.	8 e		3 − (i −														+ i	sin
							3 )		+8 3			cos				6			.
																			6
	16				π	+ i sin		π			− 2		2π	i	+ (i −			3	4
279.
		cos			3				3			e 3							).

280. 2 2 e	π i	− (i 2	−	3		cos	π	+ i sin	π
				2 )	+10		4		4	.

281-300. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

281.	y′=	y2	.
		xy − x2

283.y′= y2 + 5 y +8.

x2 x

285.y′+ 2ytg x =sin x .

287.	y′+ 2	y	= x3	+ 4 .
		x

289.y′+ xy = x2 ln1 2 x .

291.	y′′− 2	y′			=(x +1)5 .
		x +	1
293.	y y′′= −(y′)3 .

295.y′′(2 + y)=3(y′)2 .

297.y′′+ (yy′2)3 − (yy′)2 = 0 .

299. y′′= y′ (1 + (y′)2 ).

282.y′+ 2x y = ex3 .

284.	y′=	x2 + 3xy − y2					.
286.		3x2 − 2xy
		y − 4x
	y′=			.
288.		x + y
	2xy y′= x2					+ y2 .
290.	y′+	y2	−3		y	+1 = 0 .
		x2			x
292.	′′	+sin 2x)					′	cos2x
	y (1					= 2y

.

294.y′′ tg x = 2y′.

296.y′′+ 2x y′= 4x .

298.y′′(y + 2)= 4(y′)2 .

300. y′′x ln x = y′.

64

301-320. Найти частное решение дифференциального

уравнения, удовлетворяющее заданным начальным услови-

ям y(x0 )= y0 , y′(x0 ) = y0′.

301.

y′′ ctg y + 2(y′)2

= 0;

302.

y′′

y′

y′

y(0)= π , y′(0)=1.

y′

− 2

y

= y

;

4

′

y(0)= y

(0)=1.

303.

y′′ +

y′

=

2ln x

;

304.

y′′

−

y′

= −

3

;

x

y′

y

x2

y3

y(1)= y′(1)= 0 .

y(0)= y′(0)=1.

305.

y′′−

y′

y′

= 0 ;

306.

y′′+ 2 sin y cos3 y = 0 ;

1 + 2ln

y(0)= 0 , y′(0)=1.

x

x

y(1)=

e

,

y′(1)= e .

2

307.

y′′+3y′ tg x = 0 ;

308.

y′′+3y′ tg x =1 ;

y(0)=0,

′

y(0)= 0

,

y

′( )=

2

.

y (0)=1.

0

309.

2 y′′−

y′

−

x

= 0 ;

310.

y′′−(y′)2 tg y = y′;

x

y′

y(0)= 0 , y′(0)=1.

y(1)= y′(1)=1.

311.y′′−3y′− 4 y = 0; y(0)=3 , y′(0)= 2 .

313.y′′+ 2 y′+10y = 0 ; y(0)= −1, y′(0)= 4 .

315. y′′ + 8y′ +16 y = 0 ; y(0)=1, y′(0)= 0 .

317.y′′ + 2 y′ +17 y = 0 ; y(0)= 4 , y′(0)= 0 .

319.y′′ − 6 y′ +13y = 0 ; y(0)=1, y′(0)=3.

312.y′′−10y′+25y = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)= 2 .

314.y′′−4 y′+5y = 0 ; y(0)=1, y′(0)= −1.

316.y′′ + y′ − 6 y = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)=1.

318.y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 ; y(0)= 2 , y′(0)= −1.

320.y′′ + 4 y′ = 0 ; y(0)= 0 , y′(0)= 4 .

65

321– 330. Решить дифференциальное уравнение.

321.	y′′+ 6 y′+ 9 y = −3sin 3x .	322.	y′′− 6 y′+10 y = 6e3 x .
323.	y′′−8y′+16y =8cos4x .	324.	y′′− 4 y′=3
325.	y′′ + 25 y = e−5 x .	326.	y′′+ 4 y′+ 4 y =8sin 2x .
327.	y′′ − 4 y′ + 3y = 4ex .	328.	y'' + 4y' + 20y =
			=5 cos 4x – 3 sin 4x.
329.	y′′−10y′+ 25y =10.	330.	y′′+ 9 y = 6e3 x .
	331 – 340. Решить систему дифференциальных урав-
нений.
331.	x′= x − y,	332.	x′+ 2x + 4 y = 0,
	y′=5x − y.		y′+ x − y = 0.
333.	x′ = 2x + 3y,	334.	x′ = 4x − y,
	y′ = 4x − 2 y.		y′ = x + 2 y.
335.	x′ = 5x − y,	336.	x′ = x + y,
	y′ = 3x + y.		y′ = −2x − y.
337.	x′ = 3x − y,	338.	x′ = −2x + 5y,
	y′ = x + y.		y′ = x + 2 y.
339.	x′ = 2x − 4 y,	340.	x′ = 2x + y,
	y′ = x − 3y.		y′ = −x + 4 y.

66

Вопросы к экзамену

1.Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2.Свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов.

3.Замена переменной в неопределенном интеграле и метод интегрирования по частям.

4.Интегрирование тригонометрических функций.

5.Интегрирование рациональных дробей.

6.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

7.Основные свойства определенного интеграла.

8.Формула Ньютона-Лейбница.

9.Замена переменной в определенном интеграле.

10.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций.

11.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат.

12.Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат.

13.Вычисление длины дуги кривой.

14.Вычисление объема тела вращения.

15.Комплексное число. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи. Действия с комплексными числами.

16.Основные понятии дифференциальных уравнений первого порядка.

17.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

18.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

19.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

20.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

67

21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

22.Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Библиографический список

1.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш.Крамера. – М.: ЮНИТИ, 2000.

2.Высшая математика: Метод. руководство / А.Р. Данилин, И.Я. Кац. – Екатеринбург: УрГУПС, 2002.

3.Методическое руководство и контрольные задания (части1-4) / В.И.Белугин,Т.В.Величко, Э.Е.Поповский; Под общ. Ред. И.Я. Каца. – Екатеринбург: УрГУПС, 1995.

4.Высшая математика: Метод. руководство / В.И.Белугин, Т.В.Величко, Э.Е.Поповский. – Екатеринбург: Ур-

ГУПС, 2002.

5.Конспект лекций по высшей математике: Учебник для вузов /Д.Т.Письменный.–М.: Рольф, 2001.

6.Сборник домашних заданий по курсу высшей математики: Метод. руководство / В.Я.Егоров, А.И. Недвецкая, М.А. Толмачева. – Екатеринбург: УрГУПС, 2004.

68

Список рекомендуемой литературы

Основная литература:

1.Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1-2. М: Айрис-пресс, 2006.

2.П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I. – М.:

Высш. шк., 1999. – 304 с.

3.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. – М.:

Высш. шк., 1999. – 416 с.

Дополнительная литература

1.В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

2.В.С. Шипачев. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.

69

	Оглавление
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................		3
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ................................		4
I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ.........................................................		4
1.	Понятие неопределенного интеграла.....................................................	4
2.	Метод непосредственного интегрирования..........................................	6
3.	Метод замены переменной.....................................................................	7
4.	Метод интегрирования по частям........................................................	8
5.	Метод интегрирования рациональных функций.................................	10
6.	Методы интегрирования некоторых классов тригонометрических
функций.................. ...................................................................................		15
7.	Методы интегрирования некоторых иррациональных функций......	16
II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ...........................................................		19
1.	Понятие определенного интеграла и его свойства.............................	19
2.	Замена переменной в определенном интеграле....................................	21
3.	Метод интегрирования по частям в определенном интеграле......	22
4.	Приближенное вычисление интегралов................................................	22
Задания для контрольной работы №4......................................................		24
III. НЕСОБСТВЕННЫЕИНТЕГРАЛЫ. ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛА............................................................		28
1.	Несобственный интеграл I рода...........................................................	28
2.	Несобственный интеграл II рода..........................................................	29
3.	Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе
координат.................................................................................................		31
4.	Вычисление площадей плоских фигур в полярной
системе координат .................................................................................		32
5.	Вычисление длины дуги плоской кривой................................................	35
6.	Вычисление объема тела вращения ......................................................	37
Задания для контрольной работы № 5.....................................................		39
IV. КОМПЛЕКСНЫЕЧИСЛА.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ.................................................		42
1.	Комплексные числа.................................................................................	42
2.	Дифференциальные уравнения первого порядка.................................	49
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными.................................................		50
2.2. Однородные дифференциальные уравнения...................................................		51
2.3. Линейные дифференциальные уравнения .......................................................		52
3.	Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка..................................................................................		53

70