Выражая вибросмещение в комплексном виде

х=Ае^t

и подставив соответствующие значения х' – первой и х'' – второй производных по времени в формулу ( 1.5.1) найдем

(1.5.2)

Амплитуду виброскорости при резонансе (когда ₀ и -частоты соответственно собственных и вынужденных колебаний равны) определяют по формуле:

, (1.5.3)

где  – коэффициент потерь, ,

Динамический коэффициент  определяется по формуле:

,

Если ₀  , то  = 1, при   ₀ перемещения неограниченно растут (явление резонанса) и при   ₀ динамический коэффициент  стремится к нулю.

Режим работы системы при котором   0 называется виброизоляционным. Виброизоляция - основной метод снижения общей вибрации. Активная виброизоляция уменьшает передачу колебаний от источника их возникновения. Пассивная защищает оператора за счет виброгашения и индивидуальных защитных средств. Частота собственных колебаний определяется по формуле:

, (1.5.4)

где q – ускорение силы тяжести, Х_см – статическая осадка системы.

Таблица 1.5.1 Величина статической осадки под действием нагрузки

Материал	Допустимая нагрузка,Н/см^2	Динамический модуль упругости Н/см^2		Допустимая статическая осадка в зависимости от толщины прокладок
Резина средней жесткости	3-4	200-250	64	(0,015-0,016)h
Резина в виде ребристых плит	0,8-1,0	40-50	50	0,02h

Приближенно частоту собственных колебаний можно определить:

В общем случае вибросистему с одной степенью свободы можно изобразить в виде элемента массы, не обладающего деформацией, и элементов упругости и демпфирования, не имеющих массы (рис. 1.5.2).

Точка О обозначает положение статического равновесия, от которого отсчитывается смещение X тела массой М под действием гармонической вынуждающей силы F_t. К телу приложены сила инерции F_M, восстанавливающая сила F_G и диссипативная демпфирующая сила F_S.

В соответствии с принципом Д'Аламбера

( 1.5.5)

Свободная вибрация ( F_t=0) в отсутствии сил трения (F_S=0) с течением времени не затухает. Виброскорость определяется выражением:

, (1.5.6)

Рис. 4.2 Схема вибросистемы с одной степенью свободы.

в котором -сonst. Условие с учетом выражений:

, ( 1.5.7)

где Z_М  – механический импеданс материальной точки при гармонической вибрации и

, ( 1.5.8)

где Z_G – импеданс элемента упругости.

Эта величина – мнимая отрицательная, обратно пропорциональна частоте. В области высоких частот ею можно пренебречь.

Собственная частота вибросистемы

, ( 1.5.9)

где g-ускорение свободного падения, -прогиб при F₀=F_M в статике.

При наличии сил трения (F_S0) свободная вибрация (F_t=0) затухает. Амплитуда виброскорости с течением времени убывает. Чтобы учесть это, вводят комплексную угловую частоту ,где-коэффициент демпфирования. Подставив выражение в формулу ( 1.5.6 ) ^’ вместо , получим

, ( 1.5.10)

где _m()=_me^-t – амплитуда виброскорости с учетом затухания.

Из уравнения (1.5.11)

находят неизвестные величины  и ₀

, (1.5.12)

где – критический импеданс элемента демпфирования.

Таким образом, коэффициент демпфирования равен половине импеданса элемента демпфирования, приходящегося на единицу массы, и свободная вибрация с затуханием осуществляется с частотой ₀, зависящей от отношения импедансов S/S_кр, которое характеризует силы трения в системе. При отсутствии диссипативных сил (S/S_кр=0), частота _0*=₀, если S/S_кр=1 – диссипативные силы имеют критическое значение, то частота _0*=0.

Вибрация F_t 0 происходит с частотой  вынуждающей силы. Механический импеданс вибросистемы из (1.5.5 )

, (1.5.13)

Импеданс вибросистемы складывается из элементов демпфирования, массы и упругости. Его модуль Z и фазовый угол _ равны

( 1.5.14)

( 1.5.15)

Импеданс имеет минимальное значение при =₀, при этом

(М-G/)=0

т.е. в резонансной области (Z=S) импеданс вибросистемы определяется импедансом элемента демпфирования. Вне резонансной области импедансом S можно пренебречь, тогда из выражения ( 1.5.13) следует, что в диапазоне высоких частот движение определяется вибрирующей массой (Z=), а в диапазоне низких частот жесткостью системы (= -G/).