Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес

det A = det AT.		работы
Доказательство можно провести для определителя 3-го порядка
используя его определение или свойство 1.
Замечание. Из свойства 2 следует, что столбцы и с роки определителя
a11 a12 a13	a12 a11 a13		МБИ

матрицы равносильны. Поэтому последующие св йства определителей будем формулировать только для столбцов.

3. Если поменять местами два столбца матрицы, то абсолютная величина

определителя

матрицы

не

изменится,

знак

изменится

на

противоположенный.

Например, для определителя матрицы 3-го порядка , используя его

a

самостоятельнойa a

ВПО

определение, можно доказать, что

det

a21

a22

a23

=

– det a22

a21

a23 .

.

a31

a32

a33

a23

a31

a33

г

4. Определитель матрицы А11 с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

2013

Например, пусть в матрице 3-го порядка одинаковы два первых столбца.

Тогда

ЧОУ

det

a11

a11

a13

=

. Пом няв м стами эти столбцы, по свойству 3 получим

a21

a21

a23

a31

a31

a33

det

a11

a11

a13

= –

. Откуда следует, что

= –

2 = 0

= 0.

a21

a21

a23

a31

a31

a33

студентов

Москва

5.

Общий множи

ель одного столбца определителя матрицы

a11

a12

a13

Aλ = a21

a22

a23

можно вынести за знак определителя.

a31

a32

a33

a11

a12

a13

Например, используя свойство 1 можно п казать, что detAλ = det a21

a22

a23

a31

a32

a33

= λdet

a11

a12

a13

= λdetA.

a21

a22

a23

Для

31

32

33

Следствие. Если элементы одного столбца матрицы умножить на число,

то значение определи еля этой матрицы увеличится во столько же раз.

6.

Определитель матрицы, у которой элементы двух столбцов

пропорциональны, равен нулю.

Например, пусть в матрице 3-го порядка элементы первых двух столбцов пропорциональны, т.е. λ = а11/a12 = a21/a22 = a31/a32.Тогда а11 = λa12 , a21 = λa22 ,

11

работы

a31 = λa32. Следовательно, det Aλ = λ detA11 = λ 0=0.

7.

Если каждый элемент одного столбца матрицы есть сумма 2-х некоторых

элементов, то определитель такой матрицы может бы

ь представлен как

сумма определителей двух матриц.

МБИ

Например, если у определителя матрицы 3-го п рядка элементы первого

столбца равны сумме двух элементов, то,

разложив

этот определитель по

первому столбцу, используя свойство 1, получим

a11

b11

a12

a13

a11

a12

a13

b11

a12

a13

det

a21

b21

a22

a23 = det

a21

a22

a23

+ det

b21

a22

a23 .

a31

b31

a32

a33

a31

a32

a33

b31

a32

a33

8.

самостоятельной

изменится,

если к элементам

Значение

определителя

матрицы

не

некоторого столбца матрицы прибавить элементы другого столбца,

умноженные на одно и то же число.
▲ После замены элеме тов столбца исходной матрицы суммой
элементов	этого	столбца и	элементов	другого	столбца, умноженных на
некоторое	число,	определитель такой		матрицы		.
					по свойству 7 можно
					2013	г
представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен нулю,
			ЧОУ
так как имеет два одинаковых столбца, а другой ВПОравен определителю исходной
матрицы.■
9. Если один из столбцов ма			рицы является линейной комбинацией некоторых

других столбцов этой матрицы, то определитель такой матрицы равен нулю.

Например, элементы 3-го столбца исходной матрицы 3-го порядка являются линейной к мбинацией элементов первых двух столбцов той же матрицы, т.е. ai3 = λ1 ai1 + λ2 ai2, i=1,2,3. Тогда определитель исходной матрицы

по свойству 7 пред тавим в			иде суммы определителей двух матриц, которые
равны нулю, так как имеют			динаковые столбцы после вынесения общего
множителя за знак		пределителя.		Следовательно, определитель исходной
матрицы равен нулю.
10.	Определитель	атрицы,	у которой каждый элемент некоторого столбца
равен нулю, будет рав н нулю.
	▲ И пользуя свойство 1, разложить определитель матрицы по столбцу,
каждый элемент которого равен нулю.■					Москва
Ответьте на вопросы
1.	Каждая ли ма рица имеет определитель?
2.	Как вычи лить определитель матрицы 2-го и 3-го порядка?
3.	Как вычислитьстудентовминор элемента aij матрицы n-го порядка?
4.	Для			дополнение элемента aij матрицы n-го
	Как вычислить алгебраическое

12

	порядка?														работы
5.	Перечислите основные свойства определителя матрицы.
6.	Как вычисляется определитель матрицы, порядок которой больше 3-х?
7.	Изменится ли величина определителя матрицы, если в матрице заменить
	строки столбцами?
8.	Изменится ли величина определителя матрицы, если в матрице поменять
	местами две строки?
9.	Как изменится величина определителя м трицы, если матрицу умножить на
	число, не равное нулю?
10.Перечислите виды матриц, определители кото ых равны нулю.
					самостоятельной											ВПО		МБИ
Решите самостоятельно
1.	Вычислите определители следующих матриц:																		.
								b 1 1					a	a a		5 6 7			5 3 1
2 3 ,			4			5 ,		b 0 0 ,				m a		m a a ,		2 3 4 ,			г
																			6 4 2 ,
6	9	х2		4		2			1		16		20				2013
	4			3				0 b		b		n a		2n a a		8 9 12			21 13 4
3	1	2	0			2	2	4	4					ЧОУ
2 0 1 1				,		2 3 4			5 .
1	1	0	2			1	2	3	4
0	2	1	3			4	3	4	6					Москва
2.	Решить уравнения:
det						= 0 ;		det
	3	х		2					х		2		1	= 0 .
	Для						студентов
	1	1		1				2х		2	2	5

13

	работы
	1.3. Системы линейных уравнений
	Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными
	a11 x1 + a12 x2 +…+ a1j xj +…+ a1n xn = b1,
	a21 x1 + a22 x2 +…+ a2j xj +…+ a2n xn = b2,
	………………………………………….,
(1)	ai1 x1 + ai2 x2 +…+ aij xj +….+ ain xn = bi,
	………………………………………….,
	am1 x1+ am2 x2 +…+amjxj +…+ amnxn = bm.

где xj

– неизвестное,

j = 1, 2, …, n;

aij – коэффициент при j-м неизвестном в

самостоятельной

i-м уравнении i = 1, 2, …, m; bi – свободный член i-го уравнения.

ВПО

Обозначим

матрицу условий,

вектор

неизвестных иМБИвектор свободных

членов системы линейных уравнений (далее кратко СЛУ) соответственно:

.

a11

.

.

.

a1n

x1

b1

г

.

.

.

.

.

= А,

...

=X, . .. = B

2013

am1 .

.

.

amn

xn

bm

ЧОУ

Тогда матричная форма записи СЛУ (1) будет иметь вид АХ = В.

Если обозначить А1 = (а11, … , а1n), … , Аm = (аm1, … , amn), то векторная

форма записи СЛУ (1) имеет вид

А1Х = b1,

……..

АmX = bm

студентов

а11

a1n

Если же

… =A1, … , …. = An , то A1 x1 + A2 x2 + … + An xn = B.

аm1

amn

Определение. Решением СЛУ (1) называется такой набор из n чисел {k1, … , kn}, или такой n-мерный век ор К = ( k1, … , kn ), что каждое уравнение СЛУ (1) обращается в вер ое числовое равенство после замены в нем неизвестных xj соотв тствующими числами kj, где j = 1, 2, …, n.

Определение. Если СЛУ (1) не имеет ни одного решения, то она
называется несовместной.	Москва
Для

Определение. Если СЛУ (1) обладает хотя бы одним решением, то она называется совместной.

Определение. Совместная СЛУ называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если решений более, чем одно.

Определение. Две СЛУ называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

14

Определение.	Если	в	i-м	работы		при всех
				уравнении	коэффициенты
неизвестных и свободный член равны нулю, т.е. аi1					= аi2 = …. = аin = bi = 0, то
любой n-мерный вектор является решением этого уравнения, поэтому такое
уравнение называется тривиальным.
Определение.	Если	в	i-м	уравнении	к эффициенты	при всех

неизвестных равны нулю, т.е. аi1 = аi2 = …. = аin = 0, а свободный член не равен

нулю, т.е. bi		≠ 0, то не возможно найти n-мерный вектор, который является
решением		этого	уравнения,	поэтому	т кое уравнение называется
противоречивым.
Теорема. Система линейных уравнений, содержащая тривиальное
уравнение, равносильна той же системе без тривиального уравнения.
▲ Рассмотрим систему линейных уравнений (1) и туМБИже систему (2), но
без тривиального уравнения.								.
	a11 x1 + a12 x2 +…+ a1j xj +…+ a1n xn = b1,
	………………………………………					(2)
(1)	am1 x1+ am2 x2 +…+amjxj +…+ amnxn = bm.
								г
	0 x1 + 0 x2 + … + 0 xj +….+ 0 xn = 0,
Пусть вектор К = (k1, … , kn) является решением системы ( ), тогда этот
вектор является и решени м сист мы (2).						ВПО
Обратно, пусть век ор L = ( ℓ1, … , ℓn) является решением системы (2).
Так как	n-мерный		вектор L вляется и решением тривиального уравнения, то
он является решением системы (1).							2013
Таким образом система линейных уравнений , содержащая тривиальное
уравнение, равносильна э ой же системе без тривиального уравнения.■
				ЧОУ
(*)	x2	+3x4	–x5 +x7 = 5,	Москва
	самостоятельной
		студентов
Следствие. При решении систем линейных уравнений тривиальное
уравнение можно не рассматривать (вычер ивать).
Определение. Неизвестн е				хj называет я разрешенным, если в системе

линейных уравнений (1) сущес вует s-е уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом аsj =1, а в остальных уравнениях системы (1) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. аij =0 при i ≠ s.

Пример. x1 +2x4 –2x5– x6 = 3

x3 +x4 –15x5 – 4x6 = –2.

где x1, x2, x3, x7 – разрешенные неизвестные.

Определение. Система линейных уравнений называется разрешенной,

если каждое уравнение системы содержит хотя бы одно разрешенное

неизвестное.
ПримерДля	. Система (*) является разрешенной.

15

Определение. Если из каждого уравнения данной разрешенной системы линейных уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то полученную совокупность неизвестных называют набором разрешенных неизвестных данной системы.

Пример. В системе (*) можно выбрать два набор разрешенных неизвестных:

(х1. х2, х3) и (х1, х7. х3).

Рассмотрим разрешенную систему с n неизвестными: х1, … хn, для которой существует набор из r разрешенных неизвестных: х1, … хr. Такую систему принято называть общим решением. При этом возможны два

варианта:				работы			МБИ
А) Если r = n , то система имеет единственное решение:
	x1	= b1
(2)	x2	= b2,						.
	………….
		xr = br.
В) Если r < n , то систему можно записать в виде:
	x1	+ а1, r+1 хr+1 + … + а1n хn = b1		ВПО				г
	x2	+ а2, r+1 хr+1+ … + а2n	хn = b2,
(3)		……………………………..
		xr + аm, r+1 хr+1 + … + аrn хn = br.
	Определение. Неизвестные называются				свободными для данного
						2013
набора разрешенных неизвестных разрешенной системы линейных уравнений,
если они не вошли в данный набор.			ЧОУ
			Москва
	Если всамостоятельнойразрешенной системе линейных уравнений (4) придать свободным
		студентов

Пример. В системе (3) с ободными неиз естными являются хr+1, … , хn, а

в (*)неизвестные х4, х5, х6 , х7 я ляются свободными для набор (х1, х2, х3).

	Систему (3) м жно записать в виде
	x1 = b1 + c1, r+1 хr+1 + … + c1n хn	где сij = –аij и (4) (3)
	x2 = b2 + c2, r+1 хr+1+ … + c2n хn,
(4)	……………………………..
	xr = br.+ cm, r+1 хr+1 + … + crn хn.
	Теорема (свойство свободных неизвестных)
Для
неизвестным хr+1, … , хn, произвольные значения kr+1, … , kn, т.е. хr+1= kr+1, … ,
хn= kn, то найде ся единственное решение		этой системы в виде n –мерного

вектора К, у которого значения координат, соответствующих свободным неизвестным, равны соответственно kr+1, … , kn.

▲ Подставим хr+1= kr+1, … , хn= kn в систему (4). Тогда разрешенные неизвестные х1, … хr примут значения k1, … kr такие, что:

16

k1 = b1 + c1, r+1 kr+1 + … + c1n kn , k2 = b2 + c2, r+1 kr+1 + … + c2n kn,

(5)……………………………..

kr = br.+ cm, r+1 kr+1		+ … + crn kn.		работы		МБИ
ℓ2 = b2 + c2, r+1 kr+1	+ … + c2n		kn,
Так как вектор К = (k1		, … , kr	, kr+1, … , kn )		бращает каждое уравнение

системы (4) в точное числовое равенство,то он является решением этой системы. Таким образом, доказано существование решения системы (4).

Докажем единственность такого решения. Пусть вектор L= (ℓ1 , … , ℓr, kr+1, … , kn) с теми же значениями свободных неизвестных является также решением системы (4). Тогда подставив его в систему (4), получим:

			ℓ1 = b1 + c1, r+1 kr+1 + … + c1n kn,
(6)				……………………………..							.
			ℓr = br.+ cm, r+1 kr+1 + … + crn			kn.
		Сопоставляя (5) и (6), видим,				что ℓ1=		k1, … , ℓr=
										kr. Таким образом,
											г
доказано, что существует единственное решение системы (4) с заданными
значениями свободных неизвестных. ■								ВПО
		Замечания:
1.	Так		как значения свободных неизвестных можно задать бесконечно
большим числом способов, то система (4) является неопределенной.
2.	Разрешенная система линейных уравнений всегда совместна. При этом она
определена, если									2013
					m = n , т.е. число уравнений р вно числу неизвестных, и не
определена, если число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m < n.
							ЧОУ
				Преобразование систем линейных уравнений
		Мы		уже представляем, как		выглядит		общее решение разрешенной
							Москва
				самостоятельной
		Покажем, чтостудентовсуществует преобразование, которое позволяет перейти от
системы линейных уравнений. Поэтому, чтобы найти решение данной
совместной систе ы линейных уравнений, необходимо перейти от данной
системы к р вносильной ей разрешенной системе.
		Рассмотрим сист му линейных уравнений:
Для			А1Х=b1,
			………
			i	Х=bi,
(1)			А
			………
			АjХ=bj,
			……
		АmX=bm ,			где Аi = ( аi1 , … ,аin ), I = 1, 2, … , m,						Х = (х1, …, хn)T

исходной системы линейных уравнений к равносильной разрешенной системе.

17

Утверждение. Элементарные преобразования:

умножение обеих частей любого уравнения исходной системы на число, не равное нулю;

замена i-го уравнения в системе (1) АiХ= bi, уравнением вида АiХ+АjХ= bi + bj, позволяют переходить от исходной системы линейных уравнений к равносильной.

▲ Докажем вторую часть утверждения. Пусть вектор К решение системы (1), тогда вектор К решение любого уравнения системы (1) и поэтому обращает в верное числовое равенство i-е и j-е у авнения, т.е. АiК = bi и АjК = bj.

Сложив эти числовые равенства, получим числовое равенство АiК+АjК = bi + bj,
		работы
из которого следует, что вектор К является решением уравнения вида
i	j	ВПО		МБИ
АХ+АХ = bi + bj , а, следовательно, и системы
				.
	А1Х = b1,
	………
(2)	АiХ+АjХ = bi + bj,
	………..
	АjХ = bj,
	………….			г
	АiХ+АjХ = bi + bj.
Так как (2) отличается от (1) только i-м уравнением.
	Обратно, пусть вектор L р шение системы (2), тогда вектор L решение
каждого уравнения этой сис емы и обращает i-е и			j-е уравнения в верные

числовые равенства АiL+АjL = bi + bj и Аj L= bj. Вычитая одно равенство из
другого, получаем верн е числовое равенство АiL = bi, из2013которого следует, что
(1) ar1 x1 +самостоятельнойar2 x2 +…+ ars xs +….+ arn xn = br,	следовательно и системы (1),
вектор L является решением уравнения АiХ = bi,
студентов
так как (1) отличае ся от (2) только i-м уравнениемЧОУ	.

Таким образом, показано, что решение системы (1) есть решение системы

(2) и обратно, решение системы (2) есть решение системы (1). Следовательно, доказана равносильность сис ем (1) и (2). ■

Жорданово преобразование

Д на система лин йных уравнений		где ars ≠ 0
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1s xs +…+ a1n xn	= b1,
………………………………………….,Москва

1. УмножениеДля

r-го уравнения системы (1) на число 1/ars , после чего получаем

………………………………………….,

am1 x1+ am2 x2 +…+amsxs +…+ amnxn = bm.

Определение. Жордановым преобразованием системы линейных

уравнений разрешающим элементом ars ≠ 0 называется совокупность двух операций :

18

(3)	a‘r1	x1	+ a‘ r2 x2 +…+ 1 xs +….+ a‘rn xn = b‘ r,работы
систему				a‘rj = arj/ars, по всем j ≠ s
	a11	x1	+ a12 x2 +…+ a1s xs +…+ a1n xn = b1,
	………………………………………….,
(2)	a‘r1	x1	+ a‘r2 x2 +…+ 1 xs +….+ a‘rn xn = b‘r,
	………………………………………….,				МБИ
	am1 x1+ am2 x2 +…+amsxs +…+ amnxn = bm.

2. При помощи r-го уравнения системы (2) исключаем из всех остальных уравнений системы неизвестное хs , прибавляя к 1-му уравнению r-е уравнение,

умноженное на (–а1s), ко 2-му уравнению – r-е ур внение, умноженное на (–а2s) и т.д. После чего система (2) преобразуется в систему

a’11 x1 + a’12 x2 +…+ 0 xs +…+ a‘1n xn = b‘1,

………………………………………….,

………………………………………….,

a‘m1 x1+ a‘m2 x2 +…+0 xs +…+ a‘mnxn = b‘m.

Таким образом, с помощью Ж рданова преобразования получили систему (3) с разрешенным неизвест ым хs. Так как Жорданово преобразование

решение, свободные переменные которого приравнены нулю. Пусть дана СЛУ (1):

состоят из последовательного применения элементарных преобразований, то
оно переводит систему (1) в равносил ную систему (3).												.
													г
	Пример. Выполнить Жорданово преобразование с разрешающим
элементом а23=2 следующ й сист мы линейных уравненийВПО												:
	2х1 + 7х2 + 4х3 + х4 = 6,
				А1			А2		А3		А4	В
	3х1 + 5х2 + 2х3		+ 2х4= 4,	2			7	4			1	6
				3			5		2			4
	4х1 + 4х2 + х3 + 7х4 = 2.
				4			4	1			7	2
											2013
				–4			–3		0		–3	–2
				1,5			2,5		1		1	2
				2,5			1,5		0		6	0
						ЧОУ
	Решение		и темы линейных уравнений методом Гаусса
	Метод м Гаусса данная СЛУ преобразовывается в равносильную
разрешенную СЛУ.
	Определение.		Общим решением данн й системы линейных уравнений
называется р вносильная ей разрешенная система линейных уравнений.
	Определение. Частным решением данной СЛУ называют решение,
полученное из общего, присвоениемМоскваконкретных значений свободным
	самостоятельной
переменным.
Для	Определение.		Базисным решением данной СЛУ называется частное
		студентов

19

								работы
(1)	А1	А2	А3	…	Аn	В	1-й	шаг. Смотрим, в данной системе
	a11	a12	a13	…	a1n	b1	линейных уравнений:
	…	…	…	…	…	…		имеются ли тривиальные уравнения,
	am1	am2	am3	…	amn	bm	если имеются, о вычеркиваем их;
									МБИ

имеются ли противоречивые уравнения, если имеются, то исходная система является несовместной и процесс решения заканчивается;

в каждом ли уравнении системы имеется разрешенная неизвестная, если в каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором нет разрешенной неизвестной, то выбираем в нем разрешающий элемент, не равный нулю, например а11 ≠ 0, и выполняем преобразование Жордана. Тогда получим

систему (2)

следующего вида:

(2)

А1’

А2’

А3’

…

Аn’

В

2-й шаг. Смотрим, в системе (2):

1

a‘12

a‘13

…

a‘1n

b‘1

имеются ли

тривиальные уравнения,

0

а‘22

a‘23

…

a‘2n

b‘2

если имеются, то вычеркиваем их;

…

…

…

…

…

…

.

0

a‘m2

a‘m3

…

a‘mn

b‘m

имеются

ли

противоречивые

г

уравнения, если имеются, то исходная система является несовместной и

процесс решения заканчива тся;

ВПО

в каждом ли уравнении сист мы имеется разрешенная неизвестная, если в

заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором2013нет разрешенной неизвестной, то выбираем в этом уравнении разрешающий элемент, не равный

каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения

нулю, например а‘23≠ 0, и выполняем преобразов ние Жордана. Тогда получим
систему (3)			вида:						ЧОУ
									и т.д.
(3)	А1”		А2”		А3”	…	Аn”	В
	1		a‘12		0	…	a‘1n	b‘1
	0		а‘22		1	…	a‘2n	b‘2
	…		…		…	…	…	…
	0		a‘m2		0	…	a‘mn	b‘m

На k-м ш ге проводим д йствия с системой, полученной на предыдущем шаге.

имеются ли противоречивые уравнения, если имеются, то система является несовместной и процесс решения заканчивается;

Смотрим, в	и теме (k):	Москва
имеются ли тривиальные уравнения, если имеются, то вычеркиваем их;
Для	самостоятельной
	студентов

в каждом ли уравнении системы (k) имеется разрешенная неизвестная, если в каждом, то найдено общее решение данной системы и процесс решения заканчивается. Если же найдется уравнение, в котором нет разрешенной неизвестной, то выбираем в нем разрешающий элемент, не равный нулю,

20