Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес

например, а*kj≠ 0 и выполняем преобразование Жордана.

Очевидно, что после k-го шага в СЛУ содержится не меньше, чем k уравнений. Причем каждое из первых k уравнений содержит хотя бы одно разрешенное неизвестное (уравнения с разрешенными неизвестными всегда можно записать выше уравнений, не имеющих разрешенных неизвестных).

Если после k-го шага система содержит ровно k нетривиальных уравнений, то процесс решения останавливается. Если же система содержит

более, чем k нетривиальных уравнений, то необходимо выполнить									k+1 шаг и
т.д.
	Не более, чем через m шагов (m – число у авнений в исходной системе)
	самостоятельной
мы или убедимся, что исходная СЛУ несовместнаработы, или получим СЛУ, каждое
				ВПО
уравнение которой содержит хотя бы одно разрешенноеМБИнеизвестное, т.е.
получим разрешенную систему, равн сильную исходной системе.
	При этом число сделанных	при	решении шагов				не	.
								больше числа
							г
уравнений в исходной системе (k≤m). Так как число уравнений в разрешенной
					2013
системе не превосходит числа неизвестных этой системы, то число шагов,
сделанных при решении СЛУ (1), не превосходит числа неизвестных (k ≤ n).
	Таким образом:	ЧОУ
	СЛУ (1) является несовм стной, если на каком-то					шаге мы получим
	систему, содержащую про иворечивые уравнения. В противном случае
	СЛУ (1) является совместной;
	совместная СЛУ (1) будет определенной, если при					ее		решении будет
	сделано ровно n шаг в (k = n), и – неопределенной, если количество
	студентов
	выполненных шагов меньше числа неизвестных (k < n).
	Замечание. Чи ло общих решений у СЛУ с m уравнениями и с n
неизвестными не прев сходит числа сочетаний из n по m , т.е. Cmn =									n!	.
									m!(n m)!
	Определение. СЛУ с нулевыми св б дными членами, т.е. В = Ө,
называется однородной.
	Следствие. Система АХ =	Ө (*)	однородных линейных уравнений, в

которой чи ло уравн ний м ньше числа неизвестных (m < n), всегда имеет
ненулевое решение.	Москва
▲ Любая система	однородных линейных уравнений совместна, т.к.

обладаетДля нулевым решением – Ө = (0, … , 0), при чем число шагов, при решении такой сис емы методом Гаусса, не больше числа уравнений системы (k ≤ m). Так как по условию число уравнений меньше числа неизвестных в системе (m < n), то (k < n) и система (*) является неопределенной, т.е. имеет более одного решения, в том числе и ненулевое. ■

21

Ответьте на вопросы					работы
1.	Напишите СЛУ в матричной и векторной формах.
2.	Может ли некоторое число быть решением СЛУ						с числом переменных
	более одного?
3.	Когда несовместная СЛУ является определенн й?
4.	В каком случае две СЛУ являются равносильными?
5.	Что общего и чем отличаются тривиальное и противоречивое уравнения?
6.	Что утверждает теорема о СЛУ с триви льным уравнением?
7.	Разрешенная неизвестная и разрешающий элемент – это одно и то же
	понятие?
8.		самостоятельной
	Как называют СЛУ, в каждом уравнении которой имеется хотя бы одна
	разрешенная неизвестная?				ВПО		МБИ
9.	Что утверждает теорема о своб дных неизвестных?							.
10.	Докажите существование реше ия у разрешенной СЛУ,							если свободным
	неизвестным придать определе ые з ачения.					2013		г
11.	Докажите существование единственного решения у разрешенной СЛУ,
	если свободным неизвестным придать определенные значения.
12.				ЧОУ
	При каких условиях разрешенная СЛУ является определенной и при каких
	неопределенной?
13.	Перечислите преобразования, переводящие СЛУ в равносильную СЛУ.
14.	Докажите, что СЛУ равносильна этой же СЛУ при замен в ней некоторого
20.	Если k – число шагов, проделанныхМосквапри решении определенной СЛУ с n
	уравнения суммой этого уравнения с другим уравнением.
15.	Что представляют с б й Жордановы преобр зов ния СЛУ?
16.			студентов
	Чем отличае ся базисное решение СЛУ от других частных решений той же
	СЛУ?
17.	На какие особенности СЛУ необходимо обращать внимание на каждом
	шаге решения ее метод м Гаусса?
18.	В каких случаях прекращае ся пр цесс решения СЛУ методом Гаусса?
19.	Если	k – число шагов, проделанных при решении СЛУ с						m уравнениями
	методом Г усса, то, какие из соотношений: m < k, m = k, m > k
	невозможны?
	переменными методом Гаусса, то, какие из соотношений: n < k, n = k, n > k
	невозможны?
21.	Ес и	k – число шагов, проделанных при решении неопределенной СЛУ с

	n переменными методом Гаусса, то, какие из соотношений: n < k, n = k, n	>
	k невозможны?
22.	ДляУкажите наибольшее число возможных общих решений СЛУ с	m

22

	уравнениями и n переменными?	работы
23.	Если однородная СЛУ с m уравнениями		и n переменными имеет
	ненулевое решение, то какие из соотношений: n < m, n = m, n > m
	невозможны?
24.	Как, используя метод Гаусса, найти матрицу,		братную к данной матрице?
Решите самостоятельно
1.	Акции двух корпораций конкурируют на рынке. Зависимость спроса на

акции первой корпорации х’1 и на акции вто ой корпорации x’2 от цены p’1 , p’2

на эти акции выражается уравнениями:		х’1	= 17 – 2 p’1 + 0,5 p’2,
самостоятельной		’		’	+ 0,5 p’1,
		х2	= 20 – 3 p 2
а зависимость предложения этих акций х”1			ВПО
			, x”2 и цен МБИна них выражается
уравнениями:	р1 = 2 + х”1 + (1/3) x”2,					г
	p2 = 2 + 0,5 x”1+0,25x”2.
Рыночное равновесие представляет собой равенство спроса и предложения.
Найдите равновесные величины х’1, x’2, х”1, x”2, p’1, p’2.				2013		.

под 6% годовых, вторую часть – на 3 года под 8% годовых, а остатки, вдвое

2. Гонорар в 20000 руб., по ученный за опубликованную книгу, автор решил положить на счет в банке. При этом частьЧОУгонорара автор положил на один год

превосходящие сумму, вложенную на один год, – на 5 лет под

10% годовых.

Определите величину

каждого вклада, если суммарная прибыль от всех

вложений составил 1624 руб.

Москва

3.

Решить СЛУ мет д м Гаусса. Выписать б зисное решение и не равное ему

частное решение.

студентов

1

2

3x1

7x2

2x3

x4

2 ,

4x1

6x2

3x3

11x4

14 ,

1) 4x1

9x2

2x3

3x4

3 , 2) 2x1

12x2

3x3

x4

16 ,

2x1

4x2

x3

2x4

2 .

3x1

13x2

2x3

4x4

22 .

x1

7x2

2x3

3x4

5 ,

2x1

x2

2x3

3x4

1 ,

3) 6x1

8x2

2x3

2x4

1 , 4) 5x1

3x2

3x3

7x4

5 ,

4x1

3x2

3x3

2x4

1 .

7x1

4x2

3x3

8x4

6 .

Для

x1

x2

x3

1 ,

2x1

4x2

2x3

6x4

0 ,

5)

x1

x2

2x3

2 ,

6)

x1

5x2

4x3

11x4

10 ,

x

x

2

5x

3

5 ,

2x

x

2

2x

3

4x

4

5 ,

1

1

4x1

4x2

x3

0 ,

3x1

2x2

3x3

3x4

2 ,

4.

Найти хотя бы одну матрицу перестановочную с матрицей А=

3

4

.

23

		4	3		6		5		3	2	2	1	1	1
5.	Найти матрицу, обратную к матрице: а)			; в)				; с) 2 1			2 , д) 2		2	1
		2	1		3		4		6	3	4	3	2	1
6.	Найти матрицу С , если АС = В, А = 1	2		, В =		2		1	3 .
	3	5				7		4	10
									МБИ
					x1				x2		x3		0
7.	С помощью обратной матрицы решить СЛУ:				x1				2x2		x3		4 .
					2x1				3x2		x3	5
8.	Платежи Сi(t) через t лет, обещанные по облигации Bi с биржевой ценой Рi,

номинальной стоимостью Аi , годовой ставкой купона fi и сроком погашения ni
	самостоятельной							работы
приведены в таблице.
									ВПО
	Облигация Вi		В1		В2		В3				В4		В5	В6
	параметр												.
	ni [год]		5	4		3				2		1		5
	Pi [руб.]		118,42	103,47		110,69				111,00		102,83		121,07
	Ai[руб.]		100,00	100,00		100,00				100,00		100,00		100,00
													г
	fi	%	8	7		10				12		9		11
	Ci(1)	[руб.]	8,00	7,00		10,00				12,00		109,00		11,00
					ЧОУ
	Ci(2) [руб.]		8,00	7,00		10,00				112,00		0		11,00
	Ci(3) [руб.]		8,00	7,00		110,00				0		0		11,00
	Ci(4) [руб.]		8,00	107,00		0								11,00
	Ci(5)	[руб.]	108,00	0		0				0		0		111,00

	Необходимо облигацию	В6 заменить эквивалентным		(арбитражным)
		Москва
портфелем из облигаций В1 – В5		с теми же платежами2013от портфеля, что и по
облигации В6. Пр вести сравнение стоимости облигации В6 и стоимости
Для	студентов
сформированного арби ражного портфеля.
	Для решения поставленной задачи введите ектор Х = (х1, х2, х3, х4, х5),
где хi	– доля облигации i-го вида в арбитражном портфеле, решите систему
		С1 (1)	... C5 (1)
линейных уравнений СХТ = С0Т, где матрица С = ...			... ...	,
		C1 (5)	C5 (5)

а С0 = (С6(1), …, С6(5)). Затем сравните стоимость облигации В6 и стоимость РА = РХТ арбитражного портфеля, где Р = (Р1, …, Р5) вектор цен облигаций портфеля.

24

1.4. Системы векторов

Определение. n-мерным вектором (матрицей строкой или столбцом) называют упорядоченную систему из n действительных чисел (a1, a2, … , an) и обозначают А= (а1 ,а2 , … , аn ), где n называют размерн сть вектора.

Определение. Совокупность всевозможных n-мерных векторов после введенeя операций сложения векторов и умножение вектора на действительное число называют n-мерным векторным простр нством.

Операции сложения векторов и умножение вектора на действительное число были рассмотрены в разделе «мат ицы и действия над ними».

Умножение двух

векторов называют

скалярным

произведением этих

векторов, которое

можно использовать

работы

для нахождения длины вектора по

МБИ

n

.

формуле

A

a 2j

, где А=(а1, … ,аj, … , аn).

j 1

Пусть дана система из n векторов размерности m.

Определение 1. Система m-мерных векторов А1, А2, … , Аn называется

линейно зависимой, если система инейных уравнений

г

А1х1 +…+ Аnxn = Ө

ЧОУ

ВПО

2013

(1)

… , Аn называетсясамостоятельнойлинейно независимой.

имеет не нулевые решения, Если же система (1) не имеет ненулевых решений, то данная система векторов А1, А2, … , Аn называется линейно независимой.

Замечание. Существование ненулевого решения у системы линейных

уравнений А1х1	+…+ Аnxn= Ө равносильно существованию такого ненулевого
		Москва
вектора К = (k1, … , kn) ≠ Ө , что выполняется линейное соотношение
Для	студентов
	А1k1 +…+ Аnkn = Ө		(2).

С другой стороны, отсутст ие ненуле ого решения системы линейных

уравнений А1х1 +…+ Аnxn = Ө равносильно тому, что из всякого соотношения вида А1k1 +…+Аnkn = Ө, следует, что К = Ө. Поэтому определение линейной зависимости и линейной независимости векторов можно сформулировать и так:

Определение 2. Система m-мерных векторов А1, А2, …, Аn называется линейно з висимой, если существует такой ненулевой вектор К = (k1, … , kn) ≠ Ө , что выполняется лин йное соотношение А1k1 +…+ Аnkn = Ө (2). Если же из всякого оотношения ви а (2) следует, что К = Ө, то система векторов А1, А2,

Рассмотрим примеры.

1. Система единичных векторов линейно независима.

▲ Запишем истему линейных уравнений Е1х1 +…+ Еnxn = Ө, матрица условий которой составлена из единичных векторов, в виде таблицы.

25

							работы
Е1		Е2	Е3	…	Еn	В	Из таблицы видно, что эта СЛУ имеет
1		0	0	…	0	0	единственное нулевое	решение, т.е. не имеет
0		1	0	…	0	0	ненулевых решений, а поэтому система единичных
…		…	…	…	…	…
0		0	0	…	1	0	векторов является линейно независимой.■
2.	Система m–мерных векторов А1, А2, … , Аn							является линейно зависимой,

если число векторов превышает размерность векторов, n > m.

▲ Так как системы линейных уравнений А1х1 +…+ Аnxn = Ө содержит m уравнений и n неизвестных, а по условию n > m., то по следствию из метода Гаусса система имеет ненулевые решения и, следовательно, система векторов

А1, А2, … , Аn является линейно зависимой. ■
самостоятельной
3. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, является линейно
независимой.	ВПО	МБИ
▲ Пусть вектор А ≠ Ө. Тогда из с тн шения Ak = Ө имеем, что k = 0, и
				.
по определению система, состоящая из одного ненулевого вектора, является
линейно независимой.■		2013	г
4. Система векторов Ө, А1, … , Аn является линейно зависимой при любых
векторах А1, … , Аn.
ЧОУ
▲ Так как, соотношение Ө1+ А10+ … + Аn0 = Ө		выполняется при К ≠ Ө,

то по определению сист ма в кторов Ө, А1, …, Аn является линейно зависимой.■ 5. Любые три 3–х мерные ненулевых вектора А1, А , А3, не лежащие в одной

независима.■	Москва
плоскости, образуют линейно независимую систему векторов.

▲ Предпол жим пр тивное, т.е. данн я система векторов А1, А2, А3

является линейностудентовзависимой. Тогда по определению найдется такой вектор

К= (k1, k2, k3) ≠ Ө, для которого будет выполняться соотношение А1k1 + А2k2 + А3k3 = Ө. Пусть k1 ≠ 0. Тогда вект р А1 можно представить в виде диагонали

А1=А2 (–k2/k1)+А3 (–k3/k1)

параллелогра а, построенного на вект рах А2 (–k2/k1) и А3 (–k3/k1). Откуда следует, что векторы А1, А2, А3 лежат в дн й плоскости. Это противоречит

условию. Поэтому предположение о линейной зависимости данных векторов не являет я верным. Сл довательно, данная система векторов линейно

	Для	Свойства системы векторов
1.	Из определения линейной зависимости векторов следует, что любая
система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.
2.	Если часть данной системы векторов А1, …, Аn линейно зависима, то и вся

данная система векторов линейно зависима.

▲ Пусть А1, … , Аℓ линейно зависимая часть системы векторов А1, …,

26

Аn, где ℓ < n. По определению найдется такой вектор К = (k1, …, kℓ) ≠ Ө, что будет выполняться соотношение А1k1 +…+ Аℓkℓ = Ө . Тогда соотношение вида

А1k1 +…+ Аℓkℓ + Аℓ+1kℓ+1 +…+ Аnkn = Ө будет выполняться при К = (k1, …, kℓ,0, …, 0) ≠ Ө. Следовательно по определению вся сис ема векторов А1, …, Аn

является линейно зависимой.■ 3. Если данная система векторов линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

▲ От противного. Пусть часть А1, …, Аk д нной системы векторов А1, …, Аn является линейно зависимой. Тогда из свойства 2 следует, что вся данная

система векторов линейно зависима. Это противоречит	условию,
работы
Следовательно, предположение неверно, а верно то, что. любая часть линейно
независимой системы векторов является также линейно независимойМБИ	.■

4. Если система векторов А1, …, Аn,В является линейно зависимой, а ее часть А1, …, Аn – линейно независима, то вектор В линейно выражается через

векторы А1, …, Аn.			.
▲ Система векторов А1, …, Аn, В является линейно зависимой. Тогда по
самостоятельной	ВПО	2013	г
определению найдется такой вектор К = (k1, …, kn, kn+1) ≠ Ө, что выполняется
ЧОУ
соотношение А1k1 +…+ Аnkn + Bkn+1 = Ө. Покажем, что kn+1≠0. Если бы kn+1				= 0.,

то Вkn+1 = Ө. Тогда А1k1 +…+ Аnkn = Ө, а так как система векторов А1, …, Аn по условию линейно независима, о k1 = …= kn = 0, а следовательно, вектор К=Ө,

что противоречит, тому, что К =(k1, …, kn, kn+1) ≠ Ө. Т.о., kn+1 ≠ 0. Тогда можно
через векторы В1, …, Вr, например, В2 = ВМосква10 + В2 1 +… + Вr 0.
записать В = А1	(–k1/ kn+1) +…+ Аn (–kn/ kn+1) .■
системы.	студентов
	Базисы системы векторов

Определение. Базисом данной системы екторов А1, …, Аn называется такая ее часть В1, …, Вr, в к т р й каждый из ве торов есть один из векторов

данной системы и к т рая уд влетв ряет					ледующим условиям:
1.	В1, …, Вr являются линейно независим й системой векторов;
2.	каждый вектор Аj да			ой системы вект р в линейно выражается через
вектора В1, …, Вr, т.е. Aj = B1k1j +…+ Brkrj					(1).
	Замечание. Любой в ктор Bj (j = 1,2, …, r) также линейно выражается
	Для
	Пример. Дана система векторов
		1	0	1	3	0
	А1 = 0 , А2 = 1 , А3 = 0 , А4				= 2 , А5	= –3 .
		0	0	0	5	1
	оказать, что		истема векторов А1, А2, А3 является базисом для данной

▲ Так как векторы А1, А2, А3 образуют единичную матрицу, то они

27

линейно независимы ( см. пример 1).								работы
Вектор Аj (j=1,2,…,5) линейно выражается через векторы А1, А2, А3 :
А4	=	А13	+	А22	+	А35,	Таким образом, в полняются оба условия
А5	=	А10	+	А2(–3)	+	А34,	определения базиса, поэтому векторы А1,
А1	=	А11	+	А20	+	А30.	А2, А3	являются базисом данной системы
							векторов.■
Теорема.			Коэффициенты k1j,…, krj					в разложении		вектора Аj по
									(1)
векторам базиса определены однозначно.

векторам базиса, а именно, Aj = B1k’1j +…+ Brk’ rj (2). ВычтяМБИсоотношение (2) из

▲ Предположим, что существует еще одно разложение вектора Аj по

С1, … , Сk+ℓсамостоятельнойистемы в кторов А1, …, АnМосква. При чем полученная система С1, … , Сk+ℓ удовлетворяет условиям определения базиса, т.к. она линейно независима.

соотношение (1), получим Ө = B1 (k1j – k’1j ) +…+ Br (krj – k’ rj ) . Так как векторы В1, …, Вr линейно независимы, то из последнего соотношения следует, что k1j –

k’1j = 0,…, krj – k’ rj = 0. Это равносильно т му , что k1j						= k’1j	,…, krj = k’ rj , т.е.
разложение по векторам базиса еди		стве	о.■
Определение. Линейно независимая часть В1, …, Вm							данной системы
							.
векторов А1, …, Аn называется максимально линейно независимой частью,
							г
если после добавления к этой части любого вектора данной системы, не
входящего в В1, …, Вm	получается линейно зависимая часть данной системы
векторов.					ВПО
Теорема. Любая линейно независимая часть С1, … , Сk							данной системы
векторов А1, …, Аn может быть дополнена до базиса этой системы.
▲ Если С1, …, Сk	не вляется максимально линейно независимой частью
						2013	(А1, …, Аn) \ (С1,
системы векторов А1, …, Аn, то найдется такой вектор Сk+1
…, Сk), что система век оров С1,		…, Сk		, Сk+1 будет линейно независимой
частью системы А1, …, Аn.		ЧОУ
Если и система	С1, …, Сk	, Сk+1		не является		максимально линейно

независимостиДля следстудентовет, что система векторов С1, …, Сk+ℓ, Аj линейно зависима. Тогда по 4–му свойс ву найдется такой вектор К≠Ө, что будет выполняться

независимой частью системы А1, …, Аn то найдется такой вектор Сk+2 (А1, …,

Аn) \ (С1, …, Сk, Сk+1), что сис ема вект р в С1, …, Сk , Сk+1, Сk+2 будет линейно независимой частью системы А1, …, Аn и т.д.

Через ℓ т ких шагов получим максимально линейно независимую часть

К тому же, если Аj ( С1, …, Сk+ℓ), то из определения максимальной линейной

соотношение С1k1 + … + Сk+ℓ kk+ℓ = Аj, т.е. любой вектор системы А1, …, Аn линейно выражается через вектора С1, …, Сk+ℓ. Следовательно вектора С1, …,

Сk+ℓ образуют базис системы А1, …, Аn.■

28

	работы
Следствие. Если система векторов содержит хотя бы один ненулевой
вектор, то эта система имеет базис.

▲ Пусть А1 ≠ Ө, тогда часть данной системы А1, …, Аn, состоящая из одного вектора А1, будет линейно независима. По доказанной теореме эту линейно независимую часть можно дополнить до базиса данной системы.■

Замечания

1. Система векторов может иметь несколько различных базисов. Например, в рассмотренном выше примере вектор А4 ≠ Ө. Следовательно его можно дополнить до базиса, который не будет совпадать с базисом А1, А2, А3 .

2. Любая максимально линейно независимая часть системы векторов является
самостоятельной		ВПО
базисом этой системы.
Возникает вопрос о количестве векторов в каждомМБИбазисе данной
системы векторов. Ответ на этот вопр с дает утверждение теоремы:
Все базисы данной системы векторов состоят из					.
				одного и того же
числа векторов.			2013		г
Определение. Число векторов в любом базисе данной системы векторов
называют рангом этой системы векторов.
	ЧОУ
Определение. Данная система n-мерных линейно независимых векторов
называется базисом	n-м рного векторного пространства, если каждый

вектор этого пространства линейно выражается через векторы данной системы.

Например, одним из базисов		n-мерного векторного пространства
А1, …, Аn.		Москва
является система из n единичных векторов Е1, …, Еn. Следовательно, любой
другой базис этого пр странства состоит также из n векторов.
	студентов	n-мерного векторного пространства
Определение. Размерностью
называют число векторов в его базисе.

Для отыскания базиса системы ве торов используется утверждение следующей те ремы:

Пусть дана СЛУ: А1х1 +… +Аnx n= Ө (1) и некоторое ее общее решение:

Е1х1 +…+ Еrxr + А’r+1хr+1 +…+ А’nxn = Ө . Т гда векторы коэффициентов при неизвестных в данной СЛУ, соответствующие набору разрешенных

неизве тных данного общ го решения СЛУ, образуют базис системы векторов

ДляТаким образом, чтобы найти базис системы векторов А1, …, Аn выписываем систему однородных линейных уравнений А1х1+…+Аnxn= Ө. Находим общее решение и выписываем векторы из системы А1, …, Аn, соответствующие набору разрешенных неизвестных в общем решении.

Пример. Найти базис системы векторов: А1= (5,2,–3,1), А2= (4,1,–2,3),

А3= (1,1,–1,–2), А4= (3,4,–1.2).

29

										работы
	▲ Выпишем СЛУ в виде таблицы и найдем ее общее решение.
А1	А2	А3		А4	В		Неизвестные х2, х3, х4 образуют набор разрешенных
5	4	(1)		3	0		неизвестных, а соответствующие им векторы А2, А3, А4
2	1	1	4		0		образуют	базис	данной	сис емы			векторов. Векторы
–3	–2	–1		–1	0
1	0	1	0		0		данной системы		можно	разл жить			МБИ
1	3	–2	2										по	векторам базиса
5	4	1	3				следующим образом:
–3	–3	0		(1)			А1 = А2 1 + А3 1 + А4 0,
2 2		0		2
11 11		0	8				А2 = А2 1 + А3 0 + А4 0,
14 13		1	0				А3 = А2 0 + А3 1 + А4 0,
–3	–3	0	1				А4 = А2 0 + А3 0 + А4 1.
8	(8)	0	0		самостоятельной
35	35	0	0				Переход к другому базису можно осуществить, введением
										ВПО
0	0	0	1				в базис вектор А1 и исключением из базиса, например,
							вектора А3, для чего выбираем за разрешающий элемент
1	1	0	0				а11=1 и проводим преобразование Жордана								.
0	0	0	0
	Очевидно, что число базисов у системы векторов не превосходит числа
												2013
сочетаний из n (число векторов в системе)по m (размерность векторов системы)
Сmn = n!/m!(n–m)!									ЧОУ					г
	Для данного примера это число равно С34=4!/3!(4–3)!=4													■
Ответьте на вопросы
1.	Является линейно зависимой или линейно независимой система векторов,
	из которых состоит матрица условий однородной СЛУ, имеющей
	единственное решение?
2.					студентов
	Является линейно зависимой или линейно независимой система векторов,
	из которых				о тоит матрица условий однородной СЛУ, имеющей более
	одного решения?
3.	Почему система единичных векторов являет я линейно независимой?
4.	Поче у систе а из n ненулевых								m-мерных векторов не является линейно
	независи о, а система из одного ненулев го										m-мерного вектора (m> 2)
	является линейно независимой?
5.	Какой вектор нужно добавить в любую систему векторов, чтобы
	полученная таким образом система векторовМосквастала линейно зависимой?
6.	Что можно сказать о линейной зависимости системы векторов, если часть
	этой системы векторов линейно независима?
7.	Что можно сказа ь о линейной зависимости части системы векторов, если
	вся эта			и темы векторов линейно зависима?
8.	Если один				из		векторов	системы векторов				можно		представить, как
	Длялинейную комбинацию остальных векторов рассматриваемой системы, то

30