Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес

					работы
	эти оставшиеся векторы являются ли линейно зависимыми?
9. Дайте определение базиса системы векторов.
10.	Сколько существует способов разложения любого вектора из системы
	векторов по векторам базиса этой системы?
11.	Какая линейно независимая часть системы вект р в является базисом этой
	системы?
12.	Какая система векторов имеет базис?
13.	Какое количество векторов может быть в к ждом базисе данной системы
	векторов?
14.	Ранг данной системы векторов является					постоянной		или переменной
		самостоятельной				ВПО
	величиной?
15.	Каким числом определяется размерность векторного пространстваМБИ								?
16.	Какое утверждение дает возможн сть сформирвать процедуру отыскания
	базиса системы векторов?							.
Решить самостоятельно							2013	г
1.	Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой:
1)	А1	= (5, 7, 12), А2 =(0, –1, 4), А3		=(2, 3, 4). А4 =(3, 5, 4), А5 =(8, 6, –3);
				ЧОУ
2)	А1 = (2, 10, 12), А2 =(1, –6, –8), А3 =(3, 4, 4). А4					=(5, 3, 2), А5		=(8, 9, 0);
3)	А1 = (–2, 9, –2), А2 =(–3, 2, –1), А3 =(5, 3, 2). А4 =(–4, 4, –3), А5 =(–1, 16, –3);
4)	А1 = (5, 2, 4), А2 =(6, 9, 8), А3 =(1, 2, 2). А4 =(2, 5, 3), А5 =(1, 7, 4);
5)	А1 = (0, 1, 1), А2 =(3, 1, 1), А3 =(2, 1, 0). А4 =(1, 0, 1), А5 =(3, 4, 2);
2.				Москва
	Для систем векторов п.1 найти все базисы. Разложить все векторы системы
	по векторам одн го из базисов системы. Определить ранг каждой системы
	Для		студентов
	векторов.

31

Приложение А

Модель «затраты – выпуск»

Рассмотрим еще одно приложение линейной алгебры в экономике.

Предположим, что в замкнутой экономической системе функционируют две

зависимые друг от друга отрасли А и В. Характер функционирования и связей

между отраслями задан таблицей «затраты выпуск»:

Отрасль потребитель

Затраты

Конечный

Общее

продукт –

производство

А

В

(С)

п одукция

(выпуск)

Отрасль производитель

для рынка

продукции

Производство (выпуск) А

60

64

работы

МБИ

200

76

продукции

B

100

48

12

160

(С)

Начальные капитал (затраты)

40

48

Общие затраты

200

160

Эксперты прогнозируют, что через Т лет спрос на продукцию.отрасли А

упадет до 70 ед., а на продукцию отрасли В возрастет до 60 ед. г

Как должно измениться функционирование отраслей (без учета НТП) и

ВПО

связь между ними, чтобы удовл творить прогнозируемое изменение спроса на

продукцию, производимую отраслями?

▲ Для того , чтобы вый и на прогнозируемый объем спроса продукци,

т.е. на конечный продукт в виде вектора DT = (70. 60), отрасль А должна

выпускать x1

ед. пр дукции, а отрасль В – x2 ед. продукции2013.

Из таблицы видно, что сегодня для производства 200 ед. продукции

отрасль А использует 60 ед. продукцииЧОУ, произ еденной самой

отраслью А, и

100 ед. продукции, произ еденной отраслью В. Следовательно, для

производства 1 ед. продукции

трасль

А

использует 60/200 ед. продукции

отрасли А и 100/200 ед. продукции отра ли В.

Аналогично, для производства 160 ед. продукции отрасль

В использует

64 ед. продукции, произведенные отраслью А, и 48 ед. продукции,

произведенной

с мой отраслью

В. Следовательно, для производства 1 ед.

продукции отрасль

В использует 64/160 ед. продукции отрасли

А и 48/160 ед.

Москва

продукции отраслисамостоятельнойВ.

Таким образом, через Т лет для производства x1 ед. продукции отрасль А

до жна использова ь (60/200)x1 ед. продукции, произведенной самой отраслью

А, и (64/160)x2 ед. продукции, произведенной отраслью В. Тогда общий объем

производства

продукции отрасли А через Т лет можно выразить

соотношением:

студентов

Для

x1 = (60/200)x1 + (64/160)x2 +70.

32

Аналогично рассуждая о производстве продукции отрасли В через Т лет,

придем к выводу, что для производства

x2

ед. продукции отрасль В должна

использовать (100/200)x1 ед. продукции, произведенной отраслью А, и

(48/160)x2 ед. продукции, произведенной самой о раслью

В. Тогда общий

объем производства продукции

отрасли

В

через

Т лет

можно выразить

соотношением:

x2 = (100/200)x1 + (48/160)x2 +60.

Таким образом, функционирование и вз имосвязь отраслей А и В через Т

лет можно описать системой двух линейных у авнений с двумя неизвестными:

x1 = (60/200)x1 + (64/160)x2 +70.

работы

МБИx

x2 = (100/200)x1 + (48/160)x2

+60.

с матрицей условий А =

0,3

0,4

и вектором

0,5

0,3

, вектором неизвестных Х =

1

x2

конечного продукта D =

70 .

.

60

Запишем теперь СЛУ в матричной форме, т.е. Х=АХ+D

Х–АХ=D

(Е–А)Х=D (Е–А)

–1

(Е–А)Х=(Е–А)

–1

D

Х=(Е–А)

–1

г

D. Следовательно,

чтобы найти вектор производства продукции через Т лет необходимо решить

ВПО

уравнение Х=(Е–А)–1D. Для этого находим матрицу

Е–А =

1

0

– 0,3

0,4

=

0,7

0,4

. Затем методом Гаусса находим

0

1

0,5

0,3

0,5

0,7

2013

матрицу (Е–А)–1.

0,7

–0,4

1

0

Далее

вычисляем

производства

вектор

–0,5

0,7

0

1

продукции в отраслях А и В , а именно:

1

–4/7

10/7

0

ЧОУ

40 / 29

70

7300 / 29

0

29/70

5/7

1

70 / 29

Х = 50 / 29

70 / 29

60

=

7700 / 29 .

1

0

70/29

40/29

0

1

50/29

70/29

Для

нового

набора конечного

продукта

D

=(70, 60) определим новые за раты начального капитала. Так как сегодня

отрасль

А для производства

200 ед. пр дукции использует 40 ед. начального

капитала, т.е. на производство 1 ед. продукции используется 40/200 ед.

начального капитала, то ч р з Т лет для производства x1=7300/29 ед. продукции

отрасли А потребуется (40/200)(7300/29) = 1460/29 ед. начального капитала.

Москва

самостоятельной

160

ед. продукции

Аналогично, сего ня отрасль

В для производства

использует 48 ед. начального капитала, т.е. на производство 1ед. продукции

испо ьзуется 48/160 ед. начального капитала. Поэтому через Т лет для

производства x2= 7700/29 ед. продукции отрасли В потребуется

(48/160)(7700/29) = 2310/29 ед. начального капитала.

Для

студентов

Следовательно, функционирование и взаимосвязь отраслей А и В через

Т лет можно представить в виде таблицы «затраты выпуск» вида:

33

Отрасль потребитель

Затраты

Конечный

Общее

продукт –

производство

Отрасль

А

В

(С)

продукция

(выпуск)

производитель

для рынка

продукции

Производство

А

2190/29

3080/29

работы

70

7300/29

(выпуск) продукции

B

3650/29

2310/29

60

7700/29

Начальные капитал

(С)

1460/29

2310/29

(затраты)

Общие затраты

7300/29

7700/29

где:

2190/29=(60/200)(7300/29) – количество ед. продукции, произведенное

отраслью А и использованное этой отраслью

МБИдля производства

7300/29 ед. продукции через Т лет;

3650/29=(100/200)(7300/29) – количество ед. продукции, произведенное

отраслью В и использован ое отраслью

А для производства 7300/29 ед.

продукции через Т лет;

.

г

3080/29=(64/160)(7700/29) – ко ичество

ед.

продукции,

произведенное

отраслью А и использованное отраслью

В для производства 7700/29 ед.

продукции через Т л т;

ВПО

2310/29=(48/160)(7700/29) – количество ед. продукции, произведенное

отраслью В и использованное этой

отраслью

для

производства

7700/29 ед. продукции через Т лет;

2013

ЧОУ

Москва

Для

самостоятельной

студентов

34

															работы								Приложение В
					Расчетное задание по линейной алгебре
Задание 1. Вычислить определитель матрицы:
1	1	1	2	3	4	2	2	1	3	4	5		3	2	3	1	4		5		4		2	3	4	1	5
	0	3	0	3	4		1	0	0	6	1			2	2	1	0		6	МБИ			2	4	0	4	1
	2	0	3	1	2		0	2	3	1	2			0	3	2	1		2				0	2	3	2	1
	4	5	6	7	1		5	4	6	7	1			5	6	4	7		1				5	6	7	4	2
	0	0	1	2	3		0	0	1	2	3			0	1	2	3		2				0	1	2	0	3
	3	0	3	2	2		0	3	3	2	2			0	3	3	2		2				0	3	2	3	2
5	2	3	4	5	1	6	1	3	2	4	5		7	1	3	4	2		5		8		1	3	4	5	2
	0	3	1	2	2		2	1	3	2	2			2	0	0	6		4				2	1	4	0	0
	4	5	самостоятельной											3	3	1	2		0				3	3	2	2	1
			6	2	1		4	4	2	1	3
	2	1	0	0	2		3	3	0	0	2			4	4	2	9		0				1	1	0	0	4
9	3	0	3	2	2	10	5	4	6	7	1		11	0	ВПО		0		3	12			0	3	3	2	2
															1	2
	0	0	1	2	3		0	0	1	2	3			2	3	1	4		5			г		5	4	2	3
																							6
	2	3	2	1	1		2	1	3	4	5			0	1	0	2		1				0	1	3	0	2
																		2013					.2 3 1 4 0
	1	1	2	3	4		0	2	2	3	3			5	5	4	0		3
	3	3	0	2	2		5	5	0	0	4			1	2	2	0		1					4	0	0	1
13	6	6	5	6	1	14	2	1	0	4	4ЧОУ			9	2	2	2		3		6		1	4	4	4	4
	2	1	3	5	4		3	2	1	5	4		15	5	4	1	0		0				1	1	4	3	2
	0	5	2	0	1		3	3	0	0	3			2	0	3	3						3	1	0	2	0
	1	6	5	0	0		0	2	2	1	5			3	3	2	2						2	2	0	0	1
	6	6	1	1	1		4	4	0	2	1			7	2	1	1						0	1	4	4	0
	2	2	0	3	3		1	1	2	1	1			3	2	3	3		3				3	4	4	0	1
17	0	1	0	1	2	18	1	0	1	0	2	Москва				0	2		1	20			4	4	0	0	2
													19	0	2
	2	2	6	6	5		0	3	4	2	1			2	7	2	2		0				2	1	6	5	4
	0	0	2	2	1		4	3	3	0	0			1	2	0	0		1				2	1	1	1	1
	0	2	1	1	студентов					1	0			0	0	1	1		1				5	5	0	2	0
					1		4	0	2
21	0	0	2	2	2	22	1	2	1	2	1		23	3	4	3	4		3	24			3	2	3	2	4
	8	0	8	0	8		0	4	0	4	6			2	2	2	2		2				4	0	4	4	0
	2	2	0	0	1		3	3	0	2	2			0	0	1	1		1				0	2	2	1	2
	3	3	2	1	3		2	1	2	1	2			1	0	2	1		2				6	4	0	0	1
	5	0	4	2	0		0	0	2	2	3			0	4	4	4		0				4	2	3	1	1
25	2	2	0	3	3	26	1	1	1	1	1		27	3	4	2	0		0	28			3	4	0	4	1
Для	1	0	1	0	1		2	0	0	2	2			1	1	2	2		2				2	0	2	2	2
	3	0	3	3	3		1	3	0	0	5			1	0	2	0		1				0	5	4	0	5
	5	5	5	5	0		0	4	4	4	4			0	3	2	3		3				2	0	1	1	1
	1	1	1	0	1		1	1	1	1	0			2	2	1	4		0				6	6	0	0	6
29	0	0	1	1	1	30	0	0	2	1	3		31	0	0	3	3		3	32			0	0	4	4	2
	3	2	3	3	3		3	3	3	3	3			3	3	3	2		2				2	3	1	2	3
	2	0	2	0	2		1	0	2	0	3			4	0	2	0		4				1	0	2	0	1
	4	4	0	5	4		5	4	0	2	6			0	3	3	3		0				4	5	0	6	0
	1	1	1	1	0		2	1	2	1	2			4	1	4	1		0				2	3	0	1	1

35

5. 3x1 +4x2 +x3 +2x4 = 3,	6. 2x1	+x2 +4xработы3 +3x4 = –3,
Задание 2. Решить систему	линейных	уравнений методом Гаусса. Найти

базисное решение и неравное ему частное решение. Для частного решения

сделать проверку.

1.

x1 +x2 +3x3 –2x4 +3x5

= 1,

2.

2x1 +x2 –6x3 +4x4 +x5 = –14,

3x1

+5x2

+3x3

+5x4

= 6,

5x1

+3x2

+5x3

+3x4

=МБИ–6,

2x1

+2x2

+4x3

–x4 +3x5

= 2,

– 2x1

+6x2

–8x3

+x4

–3x5

= 13,

3x1 +3x2 +5x3 –2x4 +3x5

= 1.

– x1 +x2 +2x3 +2x4 +2x5

=–2.

3.

–9x1

+3x2 –2x3 +x4 –3x5

= 22,

4. 13x1 –21x2 +47x3 +5x4 +4x5 =7,

–3x1

+3x2 +2x3 +4x4

= 67,

9x1 –9x2 +27x3 +3x4 +2x5 = –1,

7x1

+3 x3

+2x4

+3x5

= 32.

x1 –21x2 +23x3 +2x4 +3x5 = 6.

самостоятельной

ВПО

.

6x1 +8x2 +x3 +5x4

= 8,

5x1

+x2 +8x3

+6x4

= –8,

3x1 +5x2 +3x3 +7x4

= 8.

7x1

+3x2 +5x3 +3x4

= –8.

г

7.

2x1 +x2 –5x3 +14x4 +4x5 = 0,

8.

5x1

+7x2

+3x3

–31x4

+19x5 =11,

2013

–3x1 +2x2 +39x3 –7x4 –13x5 = –7,

–3x1 +2x2 +x3

+ x5

= 8,

4x1 +3x2 –x3 +32x4 +6x5 = –2.

3x1 +4x2 +2x3 –18x4 +11x5 =7.

ЧОУ

9. 5x1 +7x2 +2x3 +7x4 +14x5 = 6,

10.

–2x1 +5x2 +3x3 +7x4 + 5x5 =10,

2x1 –3 x3 –6x4 +4x5

= –9,

4x1 –7x2 –5x3 –9x4 –23x5 = –7,

2x1 +3x2 +x3 +4x4 +6x5

= 3.

5x1 +19x2 +3x3 +35x4 +36x5 =4.

11. –13x1 +25x2 +x3 +2x4 +3x5 =0,

12.

6x1 –8x2 –x3 + x4 +3x5

= –5,.

–2x1

+3x2 –10x3 +4x5 = –9.

–2xМосква1 +2x2 –6x3 +2x4

–4x5 =2.

2x2

–2 x4

+3x5

= –5,

2x2 +x3 +4x4 +3x5

= –1,

–13x1 +27x2 +5x3 +4x4 –2x5 =11.

–7x1 +13x2 +3x3 +5x4 +2x5 = 4.

студентов

13.

2x1

+5x2 +7x3 +9x4 +7x5 = 14,

14. –2x1 –3x2 +4x3 +6x4 +10x5 =–3,

–7x1

+2x2 +4x3 –3x4 –5x5

= –1,

3x1 +x2 –2x3 –4x4 –6x5 =10,

–5x1

+4x2 +3x3 –2x4 –x5

= 2.

3x1 –4x2 +x3 –5x4 +4x5 = 7.

15. x1 +2x2 + x4

= 8,

16. x1 +2x2 +3x3 –4x4 +4x5 = 5,

2x2 +3x3 +7x4 +5x5

=18,

2x1 +x2 +2x3 + 2x5

= 5,

x1 +2x2 +3x3 +8x4 +3x5 =20.

2x1 +3x2 +3x3 –2x4 +6x5 =5.

17.

2x1

+3x2 –2x3 +12x4 +8x5 =3,

18. 2x1 +3x2 +x3 +13x4 +9x5 =8,

2x1

+2x2 +10x4 +6x5 =8,

x1 –2x2 +4x3 –4x4 +x5

= –3,

Для

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

19.

x1 +3x2 +2x3

+2x4

–2x5

= –1,

20. x1

+3x2

+2x3

+5x4

+8x5

= 15,

2x1 +2x2 +x3

= 3,

2x1 +2x2 +3x3 +7x5

= 13,

3x1 +x2 +2x3 –2x4 +2x5

= 1.

–x1 –2x2 +x3 –8x4 –3x5 = 3.

21.

x1 +2x2 –2x3 +3x4 –x5

= 3,

22. x1 –2x2 +3x3 –x4 +2x5 =10,

2x1 +3x2 –x3 +4x4 –x5 = 5,

2x1 +2x2 –3x3 –2x4 –2x5 = –4,

–3x

+x

–15x

+5x

–4x

= –2.

–3x

+4x

+2x

+3x

–4x

= 26.

36

работы

23.

x1 +2x2 –2x3 +x4 +x5

= 0,

24. x1 +2x2 +2x3

–4x4 –2x5 =0,

2x1+2x2 –2x4

= 7,

2x1 –2x2 +x3 –2x4 +2x5 = –3,

x1 +3x2 –4x3 +3x4 +2x5 = –2.

x1 +2x2 –2x3 +4x4 –2x5 = 4.

25.

2x1 +x2 –2x3 –3x4 +x5 = –1,

26. 2x1 – x3 +x4 +x5

= 4,

= 2.

–5x1 +6x2 +x3

+3x4

+15x5

= –6.

–6x1

+2x2

–3x3

–8x4

+10xМБИ5

3x1 +3x2 +2x3

+2x4

+11x5

=4,

2x1

+x2 –x3 +5x4

–x5 = –6,

5x1 +4x2 +x3 +2x4 +15x5 = 5.

3x1 +5x2 +10x4 –2x5 = –1.

27.

–3x1 +4x2 +x3 +3x4 –2x5 = 26,

28. 4x1 +2x2 +3x3 +x4 +23x5 = –10,

–3x1 +3x2 +x3 +2x4 +2x5 = 20,

–5x1 +2x2 –3x3 +2x4 +9x5 = –7,

7x1 +x2 – 2x4 +3x5

= 3.

x1 –2x2 +2x3 –x4 –8x5 = 5.

29.

–5x1 +8x2 +3x3 +4x4

+25x5 = 2,

30. 4x2 –3x3 +2x4 +14x5 = 7,

самостоятельной

–2x2

+2x3

+2x4

= 1,

–4x1 +6x2 +2x3 +3x4

+18x5 = 0,

2x1

31.

2x1 –3x2 +5x3 +7x4

= 1,

32. 9x1

ВПО

= 4,

.

–3x2 +5x3

+6x4

4x1 –6x2 +2x3 +3x4

= 2,

6x1

–2x2 +3x3

+x4

= 5,

г

2x1 –3x2 –11x3 –15x4

= 1,

3x1

–x2 +3x3 +14x4

= –3.

2013

Задание 3. Является ли данная система векторов линейно зависимой? Найти

ЧОУ

базис данной системы векторов. Разложить вектора системы по найденному

базису. Перейти к новому базису и разложить по нему вектора системы.

1.

А1=(1,–1,0), А2=(–5, 4,–2), А3=(2, 2, 2), А4=(–1,–1,1), А5=(3, 0, 3);

2.

А1=( 2,3,4 ), А2=(–4,–6,–8 ), А3=(5,4,17), А4=(3,

,11 ), А5=(4,7,5 );

3.

А1=(6,9,6), А2=(–2,–3,–2), А3=(2,4,6), А4=(5,8,7), А5=(7,9,1);

4.

А1=(2,–3,4), А2=(–4,6,–8), А3=(5,–7,3), А4=(–20,–28,12), А5=(4,3,8);

студентов

5.

А1=(5,2,7), А2=(6,3,9), А3=(–2,–1,–3), А4=(7,4,5), А5=(4,2,6);

6.

А1=(1,3,2), А2=(–1,2,3), А3=(6,9,3), А4=(–3,–9,–6), А5=(2,–4,–6);

7.

А1=(3,2,4), А2=(2,3,1), А3=(1,1,–1), А4=(2,2,–2), А5=(5,5,–5);

8.

А1=(–3,–5,2), А2=(–2,–3,2), А3=(2,3,–2), А4=(4,7,3), А5=(1,2,3);

9.

А1=(2,6,4), А2=(–1,–3,–2), А3=(1,1,–1), А4=(7,4,2), А5=(5,7,7);

10.

А1=(2,–2,2), А2=(3,3,–2), А3=(4,5,3), А4=(2,1,3), А5=(4,7,9);

11.

А1=(2,5,7), А2=(3,1,3), А3=(4,5,8), А4=(–3,8,8), А5=(–6,–2,–6);

12.

А1=(4,1,3), А2=(–2,–1,3), А3=(1,–2,2), А4=(5,–3,0), А5=(7,3,–1);

13.

А1=(1,2,7), А2=(7,5,4), А3=(2,3,9), АМосква4=(3,2,1), А5=(6,4,2);

14.

А1=(3,5,3), А2=(–9,–8,–5), А3=(2,1,1), А4=(9,8,7), А5=(5,6,5);

15.

А1=(5,2,–11), А2=(2,4,2), А3=(7,3,–15), А4=(–3,–6,–3), А5=(1,2,1);

16.

А1=(1,1,2), А2=(2,1,1), А3=(4,4,8), А4=(6,3,3), А5=(5,5,10);

17.

А1=(2,4,5), А2=(3,3,4), А3=(3,2,5), А4=(–3,4,2), А5=(–6,–1,–2);

18.

А1=(2,1,3), А2=(1,3,5), А3=(2,3,1), А4=(1,1,–1), А5=(3,3,–3);

19.

ДляА1=(1,3,5), А2=(2,4,6), А3=(3,5,7), А4=(–1,2,5), А5=(–3,0,3);

37

20.

А1=(3,2,4), А2=(4,3,5), А3=(6,9,3), А4=(–4,–6,–2), А5=(3,4,2);

21.

А1=(1,0,2), А2=(2,0,3), А3=(3,0,4), А4=(1,1,0), А5=(2,2,0);

22.

А1=(2,1,3), А2=(3,2,4), А3=(4,3,5), А4=(5,4,6), А5=(5,3,7);

23.

А1=(–2,2,3), А2=(–1,1,2), А3=(–3,3,4), А4=(2,–1,1), А5=(1,1,1);

24.

А1=(2,2,0), А2=(0,2,2), А3=(2,0,2), А4=(2,4,2), А5=(2,2,4);

25.

А1=(2,2,1), А2=(3,2,1), А3=(5,4,2), А4=(–2,0,0), А5=(9,8,4);

26.

А1=(4,3,2), А2=(3,2,1), А3=(5,4,2), А4=(2,0,–2), А5=(0,3,4);

27.

А1=(1,1,2), А2=(2,2,3), А3=(3,3,4), А4=(4,4,5), А5=(–1,–1,0);

28.

А1=(–3,–2,1), А2=(–2,0,2), А3=(–3,2,2), А4=(2,3,5), А5=(–1,1,6);

29.

А1=(2,2,3), А2=(1,–1,2), А3=(3,1,1), А4=(4,0,–1), А5=(5,–1,–3);

30.

работы

А1=(1,1,–1), А2=(2,3,–2), А3=(1,2,–1), А4=(3,5,–3), А5=(5,8,–5);

31.

А1=(2,1,4), А2=(3,3,1), А3=(2,–2,3), А4=(–1,2,2), А5=(5,2,4);МБИ

32.

А1=(0,1,1), А2=(–1,1,4), А3=(–4,2,1), А4=(2,2,–4), А5=(8,7,6).

Задание

4. Найти обратную матрицу

А–1

к

данной матрице А. Сделать

проверку

умножением

найденной

матрицы

на

исходную

.

матрицу слева и

справа.

г

Матрицу

А получить из матрицы в 1-м задании,

вычеркиванием первой

и пятой строк, а также первого и пятого столбца.

ВПО

Задание 5. Найти матрицу «затраты

выпуск» для конечного спроса продукции

отраслей

– А,

В, (С)

народного

хозяйства

через

Т лет. Конечный спрос

продукции отраслей задан матрицей Dk, где индекс

k

2013

соответствует номеру

варианта.

Исходная годовая зависимость между отраслями А, В. (С) задана

матрицей «затраты выпу к» в таблице

ЧОУ

ида:

Отрасль потребитель

Затраты

Конечный

Общее

продукт –

производство

Отр сль

А

В

(С)

продукция

(выпуск)

производитель

для рынка

продукции

Производство

А

Москва

Для

(выпусксамостоятельной) про укции B

(С)

Начальные капитал

(затраты)

Общие затраты

студентов

38

Исходные данные:										работы
8	52	20		80		D1	D2	120	384			96	600
						58	41							МБИ
56	26	48		130		79	49	420	280		252		952
16	52					D5	D6	60	288
4	12	3		1	20			80	16			80	44	220
						1	8
8	9	6		7	30	10	3	60	48			20	32	160
2	3	3		7	15	7	3	40	32			60	68	200
6	6	3						40	64			40
			самостоятельной
16	30	20		14	80	D9	D10	20	40			30	10	100
						20	25
32	15	80		23	160	50	40	30	20		ВПО		60	200
												90
24	75	40		61	200	70	75	40	100			60	100	300
8	30	60				D13	D14	10	40		120				г
													2013
20	48	18		14	100	24	30	22	80			76	42	220 .
30	12	64		24	130	33	40	88	40			38	34	200
30	36	36		78	180	75	80	66	60			57	7	190
20	34	62						ЧОУ	20			19
20	0	40		40	100	D17	D18	10	5			40	45	1	0
						70	50
40	40	100		20	200	50	50	30	0			30	40	100
0	80	40		80	200	120	100	20	40			0	40	100
40	80	20						Москва				30
						D21	D22	40	55
30	Для	20		20	студентов			11	40			38	21	110
	60				130	40	30
35	15	70		30	150	50	45	44	20			19	17	100
25	40	45		90	200	60	120	32	30			28	5	95
40	35	65				D25	D26	23	10			10
60	75	65		200		104	100	240	220			90	600
80	30	40		150		172	150	300	90			60	450
60	45					D29	D30	60	90
30	56	24		110				240	750		210		1200
						74	50
50	8	22		80		37	50	720	450		330		1500
30	16							240	300

D3 D4 140 160

287 220

D7 D8 50 80

60 50

80 70

D11 D12

150 95

280 200

420 200

D15 D16

68 50

51 50

17 20

D19 D20

100 90

50 70

80 90

D23 D24

30 15

30 30

10 20

D27 D28

63 80

105 100

D31 D32

312 300

299 300

39

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

2. 1. Введение в линейную оптимизацию

Из курса математического анализа [4] извес но, ч о для непрерывных

функций нескольких переменных fi (X), i M=(1,2,…,m), где Х=(х1, … , хj, … ,

хn), множество вида W = { X Rn : fi (X) 0,

i I; fi

(X) = 0,

i M\I} является

замкнутым, т.е. оно содержит все свои предельные точки. Если при этом

множество W является еще и ограниченным, т.е. это множество можно

поместить в n-мерный параллелепипед, то непрерывная на этом множестве

функция f (X) достигает как глобального минимума, так и глобального

максимума.

работы

Если при этом все указанные функции зависят от двух переменных, то

МБИ

нахождение глобального экстремума (минимума или максимума) функции f (X)

на множестве W можно осуществить графически.

Пусть необходимо найти наибольшее (наименьшее)

значение линейной

функции

f(x1, x2) = γ1 x1 + γ2 x2 +γ0

.(1)

на множестве W, принадлежащем плоскости и заданном системойг

линейных

неравенств:

ai1 х1 + ai1 х2

bi , i=1,2, … , n.

(2)

Для

решения

поставл нной

задачи

ВПО

что

скалярное

вспомним,

произведение двух векторов Г = ( γ1, γ2) и Х = (x1, x2) (где вектор Х есть радиус–

вектор точки Х(х1, х2))

определяется: либо как (Г,Х) = γ1 x1 + γ2 x2, либо как

(Г,Х)

=

Г

Х

Cosφ,

где φ – угол

между

данными векторами. Последнее

определение эквивалентно соотношению (Г, Х) =

2013

где ПрГ Х–

Г

ПрГХ ,

проекция вектора Х на вектор Г. Абсолютная величина этой проекции равна

ЧОУ

расстоянию от начала координат до прямой линии L, задаваемой уравнением

вида γ1 x1 + γ2 x2 + [γ0 – f(x1,х2)] = 0 (рис.1).

x2

Москва

grad f(X)

L

X(x1,x2)

самостоятельной

ПрГХ

W

0

х1

γ1x1+ γ2x2=0

Для

студентов

Рис.1

40