17. Множества.
Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств.
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).
Существует два подхода к понятию множества. Первый — так называемая «наивная теория множеств» (созданная Кантором, см. ниже историю). Дать определение чему-либо — это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество — как раз одно из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой чётко определенный набор объектов (элементов множества). Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам. Второй — аксиоматическая теория множеств.
Операции над множествами
Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.
Сравнение множеств
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
.
В
этом случае A
называется подмножеством
B,
B
— надмножеством
A. Если
и
,
тоA
называется собственным
подмножеством
В.
Заметим, что
.
По
определению
.
Два
множества называются равными,
если они являются подмножествами друг
друга:
Операции над множествами
Ниже перечислены основные операции над множествами:
пересечение:
объединение:
Если
множества A
и B
не пересекаются:
то
их объединение обозначают также:
дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):
разность:
Декартово или прямое произведение:
Алгебрa множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно дополнения и объединения.
Определение
Семейство подмножеств множества X называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
1.содержит пустое множество .
2.Если , то и его дополнение
3.Объединение двух множеств также принадлежит
Замечания
- В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
- Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
- Если исходное множество X является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий – ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Бинарным отношением на множестве M называется подмножество R декартова квадрата (т. е. подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из M). В пределах этой статьи xRy будет означать, что .