3.Численное решение систем нелинейных уравнений.

Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений.

Пусть дана система:

Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам:

, где

Начальные приближения определяются приближенно (например, графически).

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.

4.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау).

Метод Гаусса с выбором главного элемента для системы линейных уравнений

Система из п линейных уравнений с п неизвестными вида:

(3.1)

имеет единственное решение при условии: , где

­ матрица коэффициентов системы (3.1)

К точным методам относится метод Гаусса с выбором главного элемента. Среди элементов матрицыА выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет элемент . Строка с номеромр, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители: для всех. Затем преобразуем матрицу следующим образом: из каждой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную наm_i . В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца, за исключением , равны нулю. Отбрасываем этот столбец и главную строку и

получаем новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над матрицейповторяем аналогичные операции, после чего получаем матрицуА₂ и т. д. Такие преобразования продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку, которую считаем тоже главной. Затем объединяем все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных . Этот этап вычислений называетсяобратным ходом. Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать достаточно малым число m_i и тем самым уменьшить погрешность вычислений.

Вычисление обратной матрицы для системы линейных уравнений

Пусть дана невырожденная матрица , где(i, j = 1, 2,…, n). Для нахождения элементов обратной матрицы , где (i, j = 1, 2,… n) воспользуемся основным соотношением:

АА^-1 =Е, где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы А и А^-1 и используя равенство их матрице Е, получим п систем линейных уравнений вида:(i = 1, 2, …, n; j – фиксировано), где .

Полученные п систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные столбцы свободных членов. Эти системы можно решать методом Гаусса (см. п. 3.1.1). В результате решения систем получаем единичную матрицу A.

Метод простой итерации для систем линейных уравнений

Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.

Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:

.                                                 (3.2)

Правая часть системы (3.2) определяет отображение:

, преобразующее точку -мерного

метрического пространства в точку того же пространства.

Выбрав начальную точку , можно построить итерационную последовательность точекп - мерного пространства:

При определённых условиях данная последовательность сходится.

Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.

Если F – сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой , то существует единственная неподвижная точка, такая, что. При этом итерационная последовательность,, полученная с помощью отображенияF с любым начальным членом х⁽⁰⁾, сходится к .

Оценка расстояния между неподвижной точкой отображенияF и приближением х^(к) даётся формулами:

(3.3)

где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.

Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений .

Рассмотрим Достаточные условия сходимости итерационной последовательности .

Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:

(3.4)

Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:

а) в пространстве с метрикой :

, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.

б) в пространстве с метрикой :, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.

в) в пространстве с метрикой : , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Метод Зейделя для систем линейных уравнений

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Вычисление проводится по следующим формулам:

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности приближенных решений системы и оценка погрешности проводятся по тем же формулам, что и в методе простой итерации.