- •Содержание
- •Глава 1. Приближенные методы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений……………………………………………………………5
- •Глава 2. Приближенные методы решения дифференциальных уравне-
- •Глава 3. Приближенные методы решения интегральных уравне-
- •Глава 4. Статистическая обработка данных………………………………40
- •Примерный тематический план проведения лабораторных работ
- •Глава 1. Приближенные методы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений
- •1.1. Справочные материалы по приближенным методам решения обыкновенных дифференциальных равнений
- •1.1.1. Постановка задачи Коши
- •1.1.2. Метод последовательных приближений
- •1.1.3. Метод Эйлера
- •1.1.6.Многошаговые методы. Метод Адамса. Методы прогноза–коррекции
- •1.1.7. Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •1.1.8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
- •1.1.8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки
- •1.2. Лабораторная работа № 1. Приближенное решение обыкновен-ных дифференциальных уравнений методом последовательных прибли-жеий.
- •1.3. Лабораторная работа № 2. Приближенное решение обыкно-
- •1.4. Лабораторная работа № 3. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса. Методы прогноза-коррекции.
- •1.5. Лабораторная работа № 4 Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.
- •1.6. Лабораторная работа № 5. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки
- •Глава 2 Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
- •2.1. Справочный материал по приближенным методам решения дифференциальных уравнений с частными производными
- •2.1.1. Постановка задачи Дирихле. Приближенное решение уравнения Лапласа.
- •2.1.2. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана)
- •2.2. Лабораторная работа № 6. Метод сеток для задачи Дирихле.
- •2.3. Лабораторная работа № 7. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана)
- •Глава 2. Приближенные методы решения интегральных уравнений
- •3.1. Справочный материал по приближенным методам решения интегральных уравнений
- •3.2. Лабораторная работа № 8. Решение уравнения Фредгольма второго рода методом конечных сумм
- •Глава 4. Статистическая обработка данных
- •4.1. Справочный материал по статистической обработке данных
- •4.2. Лабораторная работа № 9. Методы обработки статистических
- •Список литературы
1.1.6.Многошаговые методы. Метод Адамса. Методы прогноза–коррекции
В многошаговых методах для вычисления требуется не одно предыдущее значение, а несколько. Так, дляk-шагового метода требуются значения:.
Метод Адамса является примером многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейший случай метода Адамса получается при и совпадает с рассмотренным ранее методом Эйлера первого порядка. В практических расчетах чаще используется метод Адамса, имеющий четвертый порядок точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех значений приближенного решения. Именно этот метод называют обычно методом Адамса. Рассмотрим расчетные формулы для данного метода.
Пусть вычислены значения в четырех последовательных узлах . Формула для вычисления значенияпо методу Адамса имеет вид:
. (1.8)
Первые четыре значения для начала вычисления значений решения по методу Адамса получаются любым другим методом соответствующей точности, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
Сравнивая метод Адамса с методом Рунге-Кутта той же точности, следует отметить его экономичность, так как он требует при вычислении лишь одного значения правой части на каждом шаге, а метод Рунге–Кутта – четырех. Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет только по известному значению , надо вычислить ещекаким-либо другим способом (например, методом Рунге–Кутта), что существенно усложняет алгоритм. Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шагh в процессе счета.
Существует еще одно семейство многошаговых методов, которые используют неявные схемы, - методы прогноза и коррекции. Суть этих методов состоит в следующем.
На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:
1) с помощью явного метода (прогноза) по известным значениям функции в предыдущих узлах находятся начальное приближение в новом узле;
2) используя неявный метод (корректор), в результате итераций находятся приближения
Один из вариантов метода прогноза и коррекции может быть получен на основе метода Адамса четвертого порядка. Для этого используются следующие расчетные формулы.
На этапе прогноза используется рассмотренная выше формула (1.8), а на этапе коррекции:
(1.9)
Явная схема (1.8) используется на каждом шаге один раз, а с помощью неявной схемы (1.9) строится итерационный процесс вычисления .
Итерации можно прекратить, если две последовательные итерации дают практически одинаковые результаты. На практике, если метод k -шаговый, то итераций должно быть не болееk. Дальнейшее увеличение числа итераций порядок точности не увеличивает. Если точность мала, то надо менять шаг, что в многошаговых методах затруднительно.
1.1.7. Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
(1.10) |
Двухточечная краевая задача для уравнения (1.10) ставится следующим образом.
Найти функцию , которая внутри отрезкаудовлетворяет уравнению (110), а на концах отрезка — краевым условиям
(1.11) |
Рассмотрим случай, когда уравнение (1.10) и граничные условия (1.11) линейны. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:
(1.12) | |
(1.13) |
где – известные непрерывные на отрезкефункции,– заданные постоянные, причеми.