1.1.8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей

Данный метод заключается в следующем.

Разбиваем отрезок наnравных частей с шагоми получаем точки, в которых требуется найти искомые значения.

Введем обозначения:

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные конечно-разностными схемами:

(1.14)

а на концах отрезка положим:

(1.15)

Используя формулы (1.14)–(1.15), приближенно заменим уравнения (1.12)-(1.13) системой уравнений:

(1.16)

Получим линейную алгебраическую систему, содержащую n+1 уравнение сn+1 неизвестным. Решив данную систему, получаем таблицу приближенных значений искомой функции.

Более точные формулы получаются, если заменить центрально-разностными отношениями:

(1.17)

а на концах отрезка положить:

(1.18)

Используя эти формулы, приближенно заменим уравнения (1.12)–(1.13) системой уравнений:

(1.19)

Пример 1.5. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи:

(1.20)

Решение: Используя формулы (1.17), заменяем уравнение (1.20) системой конечно-разностных уравнений

В результате приведения подобных членов получаем

.

(1.21)

Выберем шаг h, равный 0,1. Тогда получим три внутренних узла. Написав уравнение (1.21) для каждого из этих узлов, получим систему:

(1.22)

В граничных узлах имеем: .

Используя эти значения, решаем систему (1.22) и получаем:

.

Для сравнения приведем значения точного решения уравнения (1.18) в  соответствующих точках:.

1.1.8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки

При большом n непосредственное решение системы (1.16) становится громоздким. Поэтому были разработаны различные методы решения систем такого вида, например, метод прогонки.

Рассмотрим систему (1.16). Метод прогонки решения системы заключается в следующем.

Запишем уравнения системы (1.14) в виде:

,

где

(1.23)

Полученную систему приводим к виду:

(1.24)

Числа последовательно вычисляются по формулам:

при

(1.25)

При

(1.26)

Вычисления производятся в следующем порядке.

Прямой ход. По формулам (1.23) вычисляем значения. Находимпо формулам (1.25). Затем вычисляемпо формулам (1.26) для

Обратный ход. Из уравнения (1.24) прии последнего уравнения системы (1.16) получаем:

Решив эту систему относительно , будем иметь

(1.27)

Используя уже известные числа , находим. Затем вычисляем значения, последовательно применяя рекуррентные формулы (1.22):

(1.28)

Значение находим из предпоследнего уравнения системы (1.16):

(1.29)

Таким образом, все вычисления «прогоняются» два раза.

Вычисления прямого хода заготавливают вспомогательные числа в порядке возрастания индекса. При этом для вычисления значенийиспользуется краевое условие на левом конце отрезка интегрирования. Затем на первом шаге обратного хода происходит согласование полученных чиселс краевым условием на правом конце отрезка интегрирования, после чего последовательно получаются значения искомой функциив порядке убывания индекса.