2.2. Лабораторная работа № 6. Метод сеток для задачи Дирихле.

Задание:

Применяя метод сеток с шагом h=0,25, найти решениеu(x,y) уравнения Лапласа в квадрате с вершинамиА(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0). Краевые условия приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Варианты заданий к лабораторной работе № 6

Номер варианта
1			0	0
2				0
3		0	0
4			0	0
5				0
6		0	0
7		20
8		10
9	0
10		20x	20y
11		10x	10y
12			20y
13			10y
14
15
16		0	0

2.3. Лабораторная работа № 7. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана)

Задание.

Найти приближенное решение уравнения Лапласа с шагом h=1/8 в квадрате с вершинами А(0,0)),B(0,1),C(1,1),D(1,0), используя процесс усреднения Либмана. Краевые условия приведены в таблице 2.2. Итерации проводить до тех пор, пока разности между последоватеными значениями функций для всех точек не станут меньше 0,01.

Глава 2. Приближенные методы решения интегральных уравнений

3.1. Справочный материал по приближенным методам решения интегральных уравнений

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода6

(3.1)

Идея метода конечных сумм заключается в замене определенного интеграла конечной суммой с помощью одной из квадратурных формул

(3.2)

где - абсциссы точек отрезка [a,b], - коэффициенты квадратурной формулы, не зависящие отF(x). Заменяя приближенно интеграл в уравнении (3.1) по формуле (3.2) и полагая, получим систему линейных уравнений относительно значений:

(i=1,2,…,n), (3.3)

где ,,.

Решив эти системы линейных уравнений одним из известных методов (Гаусса, итераций), мы получим таблицу приближенных значений y_iв точкахx_i. В результате получаем решение уравнения (3.1) в виде

(3/4)

В зависимости от выбора квадратурной формулы (3.2), будем иметь следующие значения коэффициентов и абсцисс:

1) для формулы трапеций:

, ,(j=1,2,…, n-1). (j=0,1,…, n).

2) для формулы Симпсона:

n=2m, ,, ,

, (j=0,1,…,2m).

Пример 3.1: Используя квадратурную формулу Симпсона при n=2, найти приближенное решение интегрального уравнения:

(3.5)

Для формулы Симпсона имеем

, , ,,,.

Уравнение (3.5) можно переписать:

.

Полагая в последнем равенстве , получаем систему

.

После упрощения система принимает вид:

Решив эту систему, получаем: .

Получаем приближенное решение уравнения:

.

3.2. Лабораторная работа № 8. Решение уравнения Фредгольма второго рода методом конечных сумм

Задание:

Применяя квадратурную формулу:

a) трапеций (n=2);

б) Симпсона (n=2)

найти приближенное решение интегрального уравнения.

Варианты заданий к лабораторной работе № 8

№ 1.	.
№ 2.	.
№ 3.	.
№ 4.	.
№ 5.	.
№ 6.	.
№ 7.	.
№ 8.	.
№ 9.	.
№ 10.	.
№ 11.	.
№ 12.	.
№ 13.	.
№ 14.	.
№ 15.	.
№ 16.	.