1.6. Лабораторная работа № 5. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки

Задание: Методом прогонки найти решение уравнения на отрезке [0; 1] cс шагомдля краевых условий.

Варианты заданий к лабораторной работе № 5

№1	.
№2	.
№3	.
№4	.
№5.	.
№6.	.
№7.	.
№8.	.
№9.	.
№10.	.
№11.	.
№12.	.
№13.	.
№14.	.
№15.	.
№16

Глава 2 Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными

2.1. Справочный материал по приближенным методам решения дифференциальных уравнений с частными производными

2.1.1. Постановка задачи Дирихле. Приближенное решение уравнения Лапласа.

Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных. Уравнения, описывающие такие задачи, могут содержать частные производные искомых функций. Такие уравнения называются уравнениями с частными производными.

Метод сеток, или метод конечных разностей, является одним из самых распространенных при решении уравнений данного типа.

Рассмотрим частный случай дифференциальных уравнений в частных производных - уравнение Пуассона:

(2.1)

Первая краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона ставится следующим образом: найти функцию u=u(x,y), удовлетворяющую внутри некоторой областиG уравнению (2.1), а на границеГ – условию:

(2.2)

где - заданная непрерывная функция.

Выбрав шаги h иlпоx иyсоответственно, строим сетку

и заменяем в каждом внутреннем узле производныеконечно-разностными уравнениями

(2.3)

где .

Уравнение (2.3) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функциив узлах. Наиболее простой вид эта система получает в прямоугольной области при.

При уравнение (2.1) называется уравнением Лапласа.

В этом случае уравнение (2.3) можно записать в виде:

(2.4)

Погрешность замены дифференциального уравнения разностным оценивается для уравнения Лапласа неравенством:

, где x,yпринадлежат областиG.

На практике для оценки погрешности метода обычно используется метод двойного пересчета.

Пример 2.1.

Применяя метод сеток, найти решение уравнения Лапласа в точках p, q,

r, s.

Граничные условия представлены на рис.1.

Рисунок 1

Используя симметрию граничных условий, составим конечно-разностные уравнения:

(2.5)

Решив систему уравнений (2.5), получаем ответ: .

2.1.2. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений (процесс усреднения Либмана)

Рассмотрим один из наиболее простых методов − процесс усреднения Либмана. Согласно методу Либмана вычисления ведутся так: выбрав начальные приближения , последовательные приближениядля внутренних узлов сеточной области определяем по формуле

(2.6)

Для получения начальных приближений можно указать следующий способ: Значения во внутренних узлах получают путем интерполяции, использующей известные граничные значения.

Пример 2.2. Найти решение уравнения Лапласа для квадрата при краевых условиях, указанных в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Таблица-шаблон для примера 2.2. (граничные условия)

	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
15,45						0,00
29,39						0,00
40,45						0,00
47,56						0,00
50,00						0,00
	50,00	47,56	40,45	29,39	15,45

Краевые условия занесены в таблицу-шаблон, построенную следующим образом. Каждый узел представлен в таблице соответствующей ячейкой. В каждую ячейку записывается значение функции u_ij, вычисленное соответствующем узле сетки. В процессе итерации граничные условия не.

Для получения начального приближения используем следующие соображения.

Первая строка содержит граничные условия, которые не меняются. Во второй строке будем считать, что функция u(x, y) убывает линейно от значения 15,45 до значения 0. Это означает, что в качестве начального значения, где1,2,3,4,5. Получаем следующие начальные условия:

.

Аналогично поступим в пятом столбце, учитывая симметричность граничных условий, можно принять: .

Получим следующую таблицу-шаблон начальных значений, представленную в таблице 2.2.

Таблица 2.2.

Таблица – шаблон для начальных приближений

	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
15,45	12,88	10,30	7,72	5,15	2,58	0,00
29,39					5,15	0,00
40,45					7,72	0,00
47,56					10,30	0,00
50,00					12,88	0,00
	50,00	47,56	40,45	29,39	15,45

Аналогично заполняем вторую строку таблицы, считая, что значения функции убывают линейно от 29,39 до 5,15, а затем, используя симметричность граничных условий, заполняем четвертый столбец таблицы-шаблона. Так можно заполнить все ячейки таблицы. В результате получаем таблицу-шаблон для начальных приближенных значений функции u(x, y) в узлах сетки.

Таблица 2.3.

Таблица-шаблон с начальными значениями для примера 2.2.

	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
15,45	12,88	10,30	7,72	5,15	2,58	0,00
29,39	24,54	19,69	14,85	10,00	5,15	0,00
40,45	34,05	27,65	21,25	14,85	7,72	0,00
47,56	40,92	34,29	27,65	19,69	10,30	0,00
50,00	45,46	40,92	34,05	24,54	12,88	0,00
	50,00	47,56	40,45	29,39	15,45

Вычисление последовательных приближений получаем по формуле (2.6), используя полученные начальные приближения. Так, представлена в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

Таблица – шаблон первого приближения примера 2.2.

	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
15,45	12,57	10,07	7,58	5,08	2,58	0,00
29,39	24,00	19,34	14,66	10,00	5,08	0,00
40,45	33,39	27,32	21,25	14,66	7,58	0,00
47,56	40,34	34,28	27,32	19,34	10,07	0,00
50,00	45,46	40,34	33,39	24,00	12,57	0,00
	50,00	47,56	40,45	29,39	15,45

Для получения заданной точности вычисления проводят до тех пор, покадля внутренних узлов сетки.