В первом случае мы пренебрегли вторым слагаемым в F(ϕS ),

ответственным за заряд неподвижных акцепторов, во втором – зарядом инверсионного слоя (канала).

3.9. Плотность электронов в канале как функция поверхностного потенциала

Поверхностная плотность электронов в канале есть разность между полным зарядом в полупроводнике и зарядом обедненного слоя

	ϕS		ϕS − 2ϕF		1/ 2
nS = NS − N A xd = N ALD
	ϕT	+ exp	ϕT

	ϕ	1/ 2
				(3.9.1)
		S
−			.
	ϕT

Это приближение часто называют приближением зарядовых плоскостей (charge sheet approximation). Воспользовавшись алгебраическим тождеством a − b ≡ (a −b)( a + b ), получаем выраже-

ние для поверхностной плотности заряда в канале как функции поверхностного потенциала

nS (ϕS )= NALD	exp((ϕS − 2ϕF ) ϕT )	.(3.9.2)
	[ϕS ϕT + exp((ϕS − 2ϕF ) ϕT )]1/ 2 +[ϕS ϕT ]1/ 2

Эта классическая формула справедлива от глубокого обеднения до сильной инверсии. Плотность электронов в канале в предельных случаях сильной инверсии и глубокого обеднения записывается в виде

		ϕS
CD				− 2ϕF		,		2ϕF >ϕS > ϕF ,
	ϕt exp			ϕT
								(3.9.3)
qnS
			ϕS − 2ϕF				,	ϕS > 2ϕF .
qN A LD exp				2ϕT
где емкость обедненной	области			CD	определяется формулой

(3.3.8). Формула (3.9.2) может быть использована для расчета зависимости VG (ϕS ).

NB. Приближенная эмпирическая формула (3.7.4) дает nS (VG =VT ) 0 . На самом деле плотность носителей в канале при

напряжении, равном пороговому, может быть достаточно большой

(рис. 3.6):

79

q nT = q nS (ϕS = 2ϕF )= qN ALD					1
		[2ϕF ϕT +1]1/ 2 +[2ϕF ϕT ]1/ 2
	qNAεS kT				11		-2		(3.9.4)
					10	см		.
	4 ln(N		A	n )
				i

3.10. Тепловая толщина инверсионного слоя (канала)

Выражение (3.9.2) полезно получить иным способом, используя приближение эффективного прижимающего электрического поля Eeff . Действительно, потенциальную энергию электронов в очень

тонком инверсионном слое можно записать в виде U (x)= −qEeff x .

Тогда распределение объемной концентрации невырожденных электронов вблизи границы раздела можно записать в виде

qEeff x

n2

qϕ

S

qEeff x

n(x) = n(x = 0)exp

−

=

i

exp

exp

−

.

(3.10.1)

kT

N A

kT

kT

1442443

n(x=0)

Эта формула записана в приближении локальной объемной плотности носителей, которое для краткости будем называть квазиобъемным приближением. Формально говоря, оно неприменимо для таких квазидвумерных структур, какой является инверсионный слой МОП транзистора. Тем не менее, квазиобъемное приближение дает вполне разумные результаты. Поверхностная плотность электронов в инверсионном слое в этом приближении выражается формулой

∞	2		qϕS		kT			ϕT
nS = ∫0 n(x)dx =	ni						ϕS −2ϕF		.	(3.10.2)
	NA	exp	kT			= NA exp		Eeff
				qEeff			ϕT

Мы видим, что поверхностная плотность электронов в канале представляется в виде произведения объемной концентрации на границе раздела на т.н. тепловую толщину

xinv = ϕT Eeff .

(3.10.3)

Физический смысл тепловой толщины состоит в том, что для невырожденного случая в слое такой толщины находится экспоненциально большая часть носителей канала.

80

Используя выражение для эффективного значения электрического поля (3.3.10) и (3.10.2), можно вновь получить формулу

(3.9.2).

3.11. Зависимость эффективного прижимающего поля от затворного напряжения в надпороговом режиме

Эффективное прижимающее поле в канале является важной характеристикой, определяющей, в частности, значение подвижности носителей в канале в надпороговом режиме (VG >VT ). Поэтому

важно уметь вычислять эту величину как явную функцию напряжения на затворе. Для этого вспомним, что плотности зарядов в обедненном и инверсионном слоях в надпороговом режиме (VG >VT ) можно оценить по формулам

qNAxd (2ϕF ) = Co (VT −VFB − 2ϕF ) и q nS = Co (VG −VT ).

Для

МОПТ

с n+ поли-Si

затвором

имеем

приближенно

VFB + 2ϕF 0 . Тогда имеем

1/ 3

≈0

678

64748

q

ε

ox

V

−(V

+ 2ϕ

F

)

V

−V

T

FB

G

T

Eeff

=

(0.5nS + N A xd ) q

+ 0.5

,

εS

dox

dox

εS

и получаем оценку для эффективного прижимающего электрического поля в канале

Eeff	≈	VG +VT	.	(3.11.1)
		6dox

Отметим, что прижимающее поле точно на границе раздела больше эффективного ( ES > Feff )!

64748

V

− V

≈0

+

2ϕ

F

q

εox

G

FB

VG

E

=

(N

x

(2ϕ

) +n

)= q

≈

. (3.11.2)

ε

d

S

S

A

d

F

S

ε

S

ox

3d

ox

NB. Приведенные в этом пункте расчетные формулы справедливы для случая, когда зарядом, захваченным на дефектах в окисле и на границе раздела, можно пренебречь!

81

3.12. Контроль порогового напряжения за счет легирования подложки

Контроль порогового напряжения играет ключевую роль в разработке и изготовлении МОПТ. Пороговое напряжение для МОП транзисторов с разными типами подложек можно записать в форме

V	=V	FB	+ 2ϕ	F	±	QD	,	(3.12.1)
T						CO

где знак плюс соответствует подложке p-типа; минус – подложке n- типа. Повышение уровня легирования увеличивает пороговое напряжение для n-типа подложки и уменьшает для p-типа (рис. 3.7). Из формулы (3.12.1) видно также, что подгонку порогового напряжения можно проводить технологически за счет контролируе-

мого изменения:

•толщины подзатворного окисла (и удельной емкости CO );

•уровня легирования подложки (добавление акцепторов в под-

ложку увеличивает VT, а добавление доноров уменьшает порог вне зависимости от типа подложки!);

•изменения контактной разности потенциалов за счет подбора материала затворов (например, за счет использования сплавов кремния с германием).

82