11. Мезоскопические эффекты в наноэлектронных структурах

11.1.Диффузный и баллистический перенос носителей

вполупроводниках

Для эффектов с пространственными масштабами, занимающими промежуточное место между макроскопическим (как правило, больше 1 мкм) и микроскопическими (порядка размеров атомов и молекул < 1 нм) размерами, существует специальный термин «мезоскопические эффекты». Мезоскопические эффекты проявляются в целом ряде квантово-интерференционных явлений, описание которых выходит за рамки данной книги. В этой главе мы коснемся только нескольких вопросов, имеющих отношение к уже существующим и перспективным наноэлектронным приборам и структурам и представляющих интерес как для физиков, так и для специалистов по электронике.

Для проводников макроскопических размеров выполняется закон Ома, который эквивалентен предположению о том, что средняя дрейфовая скорость носителей пропорциональна электрическому полю внутри проводника:

	I = V		vdr = μ E =	q	τ E .	(11.1.1)
				m
	R

Такое соотношение может иметь место, только если набор импульса за счет разгона электронов в электрическом поле уравновешивается за счет потери импульса при множественных столкновениях с примесями и фононами. Такой режим переноса носителей часто называют диффузным, и он выполняется при условии малости длины пробега по импульсу по сравнению с размерами проводникаl<< L, W . Если выполняется обратное неравенство ( l > L), то

такой режим называется баллистическим (бесстолкновительным). Другим необходимым условием справедливости закона Ома является электрическая нейтральность внутри объема проводника. Она позволяет, не решая уравнение Пуассона, считать постоянным электрическое поле E =VL в проводнике длиной L с приложен-

ным напряжением V . Тогда для двумерного проводника выражение для тока имеет вид

251

	I =Wq nS μ E =	W q2		τ	V =	V	,	(11.1.2)
		L m				R

где W и L – ширина и длина 2D образца:

	R =	L m			.	(11.1.3)
		W q2n τ
				S

Глядя на это выражение, можно было бы сделать вывод, что, уменьшая длину проводника, сопротивление можно сделать сколь угодно малым.

R

L

Рис. 11.1. Зависимость сопротивления проводника от его длины

Эксперименты показывают, что сопротивление остается конечным даже при очень малой длине проводника (рис.11.1). При малой длине L перенос носителей через проводник становится баллистическим, а формула (11.1. 3) справедлива только для диффузных проводников. Для баллистического случая длина пробега и времена релаксации не могут входить в выражение для сопротивления. В этих условиях концепция подвижности и коэффициента диффузии теряет свой смысл, и сопротивление транзистора в линейном режиме перестает зависеть от длины канала.

11.2. ВАХ баллистического транзистора

Ток в баллистическом транзисторе можно представить в виде разности потоков электронов, идущих из истока в сток J (+) и из

стока в исток J (−) (рис. 11.2):
IDball = qW (J (+) − J (−)).	(11.2.1)

252

Рис. 11.2. Зонная диаграмма канала МОПТ

Поток из истока в сток J (+) определяется уровнем Ферми и концентрацией nS (0)у истока, поток из стока в исток J (+) определяется концентрацией nS (L) в районе стока:

IDball	1 qW veff (nS (0)−nS (L)),	(11.2.2)
	2

где множитель ½ учитывает приближенно, что только половина носителей движется от контактов в сторону канала. Формально более точный множитель 1π , что не очень существенно, учитывая

грубость аналитических моделей. Эффективная скорость veff для

баллистического канала соответствует тепловой скорости в невырожденном случае и скорости Ферми для вырожденного случая.

Отношение концентраций носителей в районе стока и истока для невырожденного случая дается формулой (см. п. 9.8)

nS (L)					κ			VDS
			−							(11.2.3)
nS (0)		= exp		1 +					.
						κ ϕT

Это соотношение получено ранее для диффузного канала, но можно показать, что оно остается справедливым для баллистического случая. Действительно, уравнение непрерывности плотности тока для баллистического пролета в канале транзистора можно записать как условие непрерывности для бесстолкновительного потока

dJ ball	=	d	(n	(y)v		(y))= 0	,	(11.2.4)
dy		dy
			S		y

253

где vy (y) – среднее локальное значение компоненты скорости но-

сителя вдоль канала.

Тогда уравнение непрерывности для плотности потока носителей в баллистическом канале запишется как

	dvy	=κ	qE			v	y	,
	dy		εD
решение которого имеет вид
					κ				qVDS
vy (L)= vy (0)exp				1+		κ				.
									εD

(11.2.5)

(11.2.6)

Вспоминая интегральную

форму

уравнения

непрерывности

nS (y)vy (y)= const(y), сразу получаем (11.2.3).

С учетом (11.2.3) соотношение (11.2.2) приобретает вид

1 qWn

(0)v

κ

VDS

(11.2.7)

I ball =

1−exp

−

.

D

2

S

eff

1+κ ϕ

T

В линейном омическом режиме, когда VDS

мало и/или κ <<1,

получаем в невырожденном случае

)v

I ball

W (C

O

+C

D

eff

V

DS

.

D

При относительно больших VDS

имеем

I ball

1 qWn

S

(0)v .

(11.2.8)

DSAT

2

eff

Эта формула напоминает формулу для тока насыщения (4.16.7) для диффузного канала за одним исключением. Вместо максимальной дрейфовой скорости vSAT в (4.16.7) входит некоторая эффек-

тивная баллистическая скорость veff . Обе скорости по порядку ве-

личины сопоставимы с тепловой скоростью, хотя всегда выполняется неравенство vSAT < veff < vth .

Эффективная баллистическая скорость меньше тепловой за счет того, что некоторая часть носителей рассеивается. Для связи описаний диффузного и баллистического канала введем следующее соотношение:

254

v

=

vth

.

(11.2.9)

eff

1+

L

l

По мере того как длина канала увеличивается, мы имеем

veff

v

l

D

→

th

=

n

.

(11.2.10)

2

2L

L

поскольку в двумерной

системе

коэффициент

диффузии

Dn = vthl 2 .

Тогда (11.2.7) дает в диффузном пределе L >> l

ball

L>>l

W

κ VDS

ID

→

L

qDnnS (0) 1−exp

−

,

1

+κ ϕT

что в точности воспроизводит формулу для ВАХ диффузного МОПТ.

Необходимо подчеркнуть, что физическая граница между диффузным и баллистическим режимом является довольно размытой. Длина пробега носителя по импульсу l, как правило, меньше, чем

длина пробега по энергии lε , и их взаимосвязь определяется соот-

ношением
lε = (2Dnτε )1/ 2 = (vF lτε )1/ 2 .	(11.2.11)

Для наноэлектронных транзисторов актуальным является диапазон длин канала от 10 до 70 нм, который подразумевает возмож-

ность реализации неравенства l≤ L ≤ lε . В этом «квази-

баллистическом» режиме остается возможность описания транспорта носителей с помощью коэффициента диффузии и подвижности. Перенос электронов носит упругий диффузный характер с сохранением полной энергии носителя при пролете через канал. Формула (11.2.11) соответствует переходной области между баллистическим и диффузным каналом.

255