Вычитание

Вычитание выполняется в столбик по тем же правилам, как и в 10-ой ПСС, то есть по разрядам. Если вычитаемая цифра больше той из которой вычитают, то выполняют заём 1 из соседнего левого разряда, которая переходя в правый разряд превращается в K единиц (K=2 для двоичной ПСС). В следующих примерах знак единицы над разрядом будет означать единицу заёма из соседнего левого разряда.

Пример 1.

Вычтем 1 из числа 10₂: Вычтем 1 из числа 100₂:

1. 1 1 Заёмы

10 100

1 1

1 11

2-1=1 2-1=1

1-0=1

Пример 2. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Десятеричная: 201.25₁₀ - 59.75₁₀ Двоичная: 11001001.01₂ - 111011.11₂

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в двоичной ПСС, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих таблиц умножения и сложения (6)-(7).

Пример1. Перемножим числа 5 и 6.

Десятичная: 5₁₀ ∙ 6₁₀ Двоичная: 101₂∙110₂

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51.

Десятичная: 115₁₀ ∙ 51₁₀ Двоичная: 1110011₂∙11001₂

115 1110011

^х 51 ^х 11001

115 1110011

575 1110011

5865 1110011

101100111011

Заметим, что умножение в двоичной ПСС сводится к операциям сложения и сдвига. Складывается один из множителей с самим собой, но сдвинутым влево на некоторое количество позиций, зависящих от вида второго множителя.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 1. Разделим число 30 на число 6.

Десятичная: 30₁₀ ∙ 6₁₀ Двоичная: 11110₂:110₂

30 6 11110 110

30 5 110 101

0 110

110

0

Ответ: 30 : 6 = 5₁₀ = 101₂.

Пример 2. Разделим число 35 на число 14.

Ответ: 35 : 14 = 2.5₁₀ = 10.1₂.

Необходимо помнить, что конечная двоичная дробь при делении получается далеко не всегда. Поэтому, процесс деления заканчивают когда получено требуемое количество цифр после точки плюс ещё одна двоичная цифра для правильного округления. Если отбрасываемая цифра равна единице, то в младший оставляемый разряд добавляют единицу.

ВЫВОДЫ

1. Во всех ПСС с любым основанием К умножение на числа вида K^m, где m – целое число, сводится просто к переносу (сдвигу) точки, отделяющей дробную часть от целой части, у множимого на m разрядов влево или вправо (в зависимости от знака m).

Например, в двоичной ПСС: умножение числа 101.11₂ на

4₁₀ = 2² =100₂ даст результат 10111₂. Умножение этого же числа на 0.25₁₀ = 2^-2 = 0.01₂ даст результат 1.0111₂. Другой пример: 5₁₀ /8₁₀ = 5∙2^-3 = 101₂∙10₂^-3 = 0.101₂.

2. Двоичная ПСС максимально упрощает реализацию цифр и, следовательно, чисел, так как в двоичной ПСС для изображения любых чисел используется только два знака.

Это позволяет использовать элементы, которые могут находится в двух состояниях (например, высокое или низкое напряжение, есть или нет электрический импульс, и т.п.).

3. Любые арифметические операции для двоичной ПСС сводятся к операциям сложения или сдвига (сдвиг – это перенос точки, отделяющей целую часть от дробной вправо или влево).

4. Выводы двух предыдущих пунктов являются причиной того, что современные компьютеры используют двоичную ПСС.

5. Недостатком двоичной ПСС является существенно большая длина изображения числа в ней, чем в любой другой ПСС.