Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода заключается в следующем. Пусть известна запись числа Х в системе счисления с каким либо основанием Р:

p_n p_n-1 … p₁ p₀ p_-1 p_-2 … , (8)

где p_i - цифры Р-ичной системы (0 ≤ p_i ≤ P-1). Требуется найти запись этого же числа X в ПСС с другим основанием Q:

q_s q_s-1 … q₁ q₀ q_-1 q_-2 …, (9)

где q_i – искомые цифры Q-ичной ПСС (0 ≤ q_i ≤ Q-1).

Ограничимся случаем положительных чисел, так как перевод отрицательного числа сводится к переводу его модуля и приписыванием к нему знака минус. Рассмотрим два способа перевода числа из одной ПСС в другую.

Преобразование представления числа из некоторой системы счисления в десятичную

Способ на основе представления числа в виде многочлена по степеням основания ПСС (4). Его применяют для преобразования из Р-ичной в десятичную ПСС, хотя принципиально он применим для преобразования из любой ПСС в любую ПСС. Согласно (4) и (8) можно записать:

. (9)

Для получения 10-ого изображения числа Х необходимо все цифры p_i и основание ПСС число Р в (9) заменить их изображениями в новой 10-ной ПСС и выполнить арифметические операции в 10 - ной ПСС.

Пример 1. Перевести число Х = 101101₂ в десятичную ПСС. Согласно изложенному правилу

_{X =1011012 =1∙2}⁵ _{+ 0∙2}⁴ _{+ 1∙2}³ _{+ 1∙2}² _{+ 0∙2}¹ _+1∙2⁰ _{= 32+8+4+1 =4510}.

Пример 2. Перевести число 1011.101₂ в десятичную ПСС. Действуя аналогично первому примеру, получим:

X=1011.101₂ = 1∙2³ + 0∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ + 1∙2^-1 + 0∙2^-2 + 1∙2^-3 =

= 8 + 2 + 1 + 1/2 + 1/8 = 11.625 .

Преобразование представления числа из десятичной системы счисления в другую

Для преобразования представления любого числа из одной ПСС в другую достаточно уметь преобразовывать отдельно его целую и отдельно дробную части, а затем соединить преобразованные части. Рассмотрим отдельно эти два случая.

Пробразование целых чисел

Известна запись целого числа N в 10-ой ПСС. Согласно (4) запись этого числа в Q-ичной ПСС будет иметь вид:

(10)

где . Для определенияq₀ разделим обе части равенства (10) нацело на Q, причём в левой части произведём деление, пользуясь правилами 10-ной арифметики, и получим:

, (11)

. (12)

В (11) скобками указано взятие целой части числа, так как мы выполняем операция целочисленного деления. В (12) - записана операция получения остатка от деления N нацело на Q. В формуле (11) q₀ исчезло, так как все q_i < Q. Теперь, для определения q₁, к N₁ можно применить те же операции:

.

Таким образом, пологая , перевод чисел с использованием 10-ной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

. (13)

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено . Учитывая, что поскольку все операции выполняются в 10-ной ПСС, то в этой же ПСС будут получены искомые коэффициенты , поэтому каждый из них необходимо записать одной цифрой в новой Q-ичной.

Замечание. Рекуррентная формула – это соотношение вида:

_{an+1 = f(n, an ) , n=0, 1, 2, … ,}

которое позволяет вычислить все члены последовательности a₁ , a₂ , … _, , если задано a₀ и вид функционального отображения f(∙).

Таким образом, для вычисления представления числа в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить деление нацело текущего частного N_i на основание новой ПСС (все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить текущий остаток от деления нацело (q_i = N_i modQ) по правилам 10-ой ПСС.

3. Если новое частное N_i+1 не равно 0, то перейти к пункту 1.

4. Каждый остаток, записанный в 10-ой ПСС, записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Остатки записываем в обратном порядке, они дадут изображение числа в новой ПСС (последний остаток будет самой левой цифрой, а первый остаток – самой правой цифрой).

Пример 1. Перевести число N = 47 в двоичную ПСС. Применяя формулы (13), имеем:

47 | 1

23 | 1

11 | 1

5 | 1

2 | 0

1 | 1

0 |

Здесь слева от вертикальной черты пишем исходное число и частные, а справа указывается остаток от деления нацело на 2. Поскольку числа 0 и 1 в обеих ПСС (десятичной и двоичной) обозначаются одинаковыми цифрами, то переводить остатки в двоичную ПСС не требуется. Следовательно, записывая остатки в обратном порядке, имеем результат .