Преобразование дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q-ую ПСС конечную десятичную дробь х (0< x <1). Так как х < 1, то число x в Q-ой ПСС можно представить в виде:

, (14)

где (i=1,2,…) – искомые коэффициенты Q-ого разложения числа х. Умножим обе части (14) на Q, причём в левой части равенства умножение выполним в 10-ой ПСС. Тогда:

. (15)

Учитывая, что и выделяя целую и дробную часть выражения (15), получим:

Здесь также скобками показано взятие целой частит числа, а символом D(∙) – мы обозначили операцию взятия дробной части числа. Ясно, что также будет правильной дробью, к которой можно применить аналогичную операцию. Таким образом, процесс вычисления величинможно записать в виде рекуррентных формул (полагая):

(16)

Теперь можно сформулировать правило. Для вычисления представления конечной десятичной дроби в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить умножение текущего результата х_i (16) на основание новой ПСС (все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить целую q_{-(i +1)} и дробную части х_{i +1} текущего результата по формулам (16).

3. Если новая дробная часть х_{i +1} равна 0 или получено достаточное количество цифр изображения числа, то перейти к пункту 4, иначе – к пункту 1.

4. Каждое целое q_{-(i +1)} записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Полученные целые записываем в прямом порядке после точки (отделяющей дробную часть от целой), они дадут изображение дробного числа х в новой ПСС.

К сожалению, большинство конечных дробей в десятичной ПСС в двоичной ПСС будут бесконечными. Поэтому, необходим критерий для остановки процесса вычислений, задаваемого формулами (16). Таким критерием является достижение требуемой точности изображения числа. Её будем определять исходя из эмпирических соображений, приведённые в нижележащей таблице.

Примерное соответствие между количествами цифр после точки в разных псс

Количество цифр в 10-ой ПСС	Количество цифр в другой ПСС
	16	2
1	1	3
2	1	7
3	2	10
4	3	14
5	3	17

В среднем на одну десятичную цифру приходится 3.4 цифры в двоичной ПСС и 0.6 цифр в шестнадцатеричной ПСС.

Надо помнить, что при остановке вычислений по формулам (16) вычислять необходимо на один разряд больше, чем требуется, чтобы правильно выполнить округление в последнем разряде.

Двоичное округление: если отбрасываемый разряд равен 1, то к последнему оставляемому разряду добавляем единицу.

Пример 1. Перевести число х = 0.2₁₀ в двоичную ПСС. Для начала оценим количества двоичных разрядов, которые необходимо оставить после точки. Согласно таблице необходимо получить 3 двоичные цифры после точки. С целью правильного округления необходимо будет вычислить на один разряд больше, то есть четыре двоичных разряда. Теперь, применяя последовательно формулы (16), получим:

0. | 2

0 | 4 ( 0.2 ∙ 2 = 0 + 0.4 => q_-1 = 0 )

0 | 8 ( 0.4 ∙ 2 = 0 + 0.8 => q_{- 2} = 0 )

1 | 6 ( 0.8 ∙ 2 = 1 + 0.6 => q_-3 = 1 )

1 | 2 ( 0.6 ∙ 2 = 1 + 0.2 => q_-3 = 1 ) и здесь можно остановиться.

В этой записи горизонтальной чертой мы отделили исходную дробь от процесса преобразования; вертикальной чертой отделены целая и дробная часть результата умножения только дробной части на новое основание – 2; в скобках показан процесс умножения. Таким образом, представлением точного числа 0.2₁₀ в двоичной ПСС является двоичная дробь (с учётом округления третьего двоичного разряда):

0.2₁₀ ≈ 0.01₂ .

Пример 2. Получить для десятичного числа 0.54₁₀ его двоичное представление. Сразу оценим количество двоичных разрядов, чтобы получить требуемую точность изображения числа в двоичной ПСС. Согласно таблице необходимо получить 7 двоичных цифр после точки. С целью правильного округления необходимо будет вычислить на один разряд больше, то есть 8 двоичных разрядов.

Действуя по формулам (16), получим:

0.|54

1 | 08 ( 0.54∙2 = 1 + 0.08 => q_-1 = 1 )

0 | 16 ( 0.08∙2 = 0 + 0.16 => q_-2 = 0 )

0 | 32 ( 0.16∙2 = 0 + 0.32 => q_-3 = 0 )

0 | 64 ( 0.32∙2 = 0 + 0.32 => q_-4 = 0 )

1 | 28 ( 0.64∙2 = 1 + 1.28 => q_-5 = 1 )

0 | 56 ( 0.28∙2 = 0 + 0.56 => q_-6 = 0 )

1 | 12 ( 0.56∙2 = 1 + 0.12 => q_-7 = 1 )

0 | 24 ( 0.12∙2 = 0 + 0.24 => q_-8 = 0 ) и здесь можно остановиться.

В итоге, с точностью до 7 знаков, имеем: 0.54₁₀ ≈ 0.1000101₂ .